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Moti relativi 24

Moti relativi in Meccanica classica

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Esercizio 24 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Sopra un piano orizzontale liscio è poggiato un cubo di massa M e su di esso è poggiato un altro cubetto di massa m a distanza d dalla faccia AB del cubo più grande, come rappresento in figura 1. Al cubo di massa M è applicata una forza \vec{F} costante in modulo, direzione e verso, come rappresentato in figura 1. La direzione della forza \vec{F} è parallela al piano orizzontale e il verso è indicato in figura 1. Dopo un tempo pari a t=t_1>0 il cubetto di massa m cade. Calcolare il coefficiente di attrito tra i due cubi.

 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy tale per cui l’asse delle x sia coincidente con il piano orizzontale. Rispetto a tale sistema di riferimento M accelera, dunque, se scegliamo un secondo sistema di riferimento solidale con M è non inerziale. Scegliamo un secondo sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime solidale con M, come rappresentato in figura 1. I sistemi di riferimento sono stati scelti tale per cui x\parallel x^\prime e y\parallel y^\prime.    

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    Sia \vec{A} l’accelerazione di M lungo l’asse delle x. Osservando da O^\prime x^\prime y^\prime notiamo che su m è agente la forza peso m\vec{g} diretta nel semiasse negativo delle y^\prime, la reazione vincolare \vec{N} diretta nel semiasse positivo delle y^\prime, la forza di attrito dinamico \vec{f}_d diretta nel semiasse positivo delle x^\prime e, infine, la forza apparente -m\vec{A} diretta nel semiasse negativo delle x^\prime. La direzione della forza apparente -m\vec{A} è stata dedotta dal fatto che il corpo di massa M accelera nella direzione positiva delle x, pertanto la forza -m\vec{A} è orientata nella direzione del semiasse negativo delle x^\prime \parallel x. In figura 2 rappresentiamo lo schema delle forze agenti su m.    

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    Sia a^\prime l’accelerazione relativa tra m ed M lungo l’asse delle x^\prime. Per la seconda legge della dinamica per m osservando dal sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime abbiamo

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} N=mg\\-mA+f_d = -ma^\prime. \end{cases} \end{equation*}

Ricordando che f_d = N \mu_d avvalendoci del precedente sistema otteniamo

(4)   \begin{equation*} -mA + mg \; \mu_d = - ma^\prime, \end{equation*}

cioè

(5)   \begin{equation*} \boxed{a^\prime=A-g \; \mu_d .} \end{equation*}

Osserviamo M dal sistema di riferimento fisso Oxy. Le forze agenti su M sono la forza peso M\vec{g} orientata nel semiasse negativo delle y, la reazione vincolare \vec{R} generata dal contatto con il piano orizzontale e orientata nel semiasse positivo delle y, la reazione vincolare -\vec{N} diretta conseguenza del terzo principio della dinamica per via del contatto con m e orientata nel semiasse negativo delle y, la forza \vec{F} orientata nel semiasse positivo delle x e, infine, la forza di attrito dinamico -\vec{f}_d diretta conseguenza del terzo principio della dinamica per via del contatto con m e orientata nel semiasse negativo delle x. In figura 3 rappresentiamo lo schema delle forze agenti su M.    

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Chiaramente poiché il corpo di massa M è osservato da un sistema di riferimento fisso su di esso non sono agenti forze apparenti. Per la seconda legge della dinamica per M osservando dal sistema di riferimento O x y abbiamo

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} -N+R = Mg\\ F-f_d = MA\\ f_d = N \mu_d = mg \mu_d. \end{cases} \end{equation*}

Confrontando l’equazione (6)_2 (seconda equazione del precedente sistema) e l’equazione (6)_3 (terza equazione del precedente sistema) otteniamo

(7)   \begin{equation*} F - mg \; \mu_d = M A , \end{equation*}

o anche

(8)   \begin{equation*} \boxed{A = \dfrac{F-mg \; \mu_d}{M}.} \end{equation*}

Mettendo a sistema la precedente equazione con l’equazione (5) si ottiene

(9)   \begin{equation*} -A+g \; \mu_d = - a^\prime, \end{equation*}

conseguentemente

(10)   \begin{equation*} \mbox{\fbox{$a^\prime = A-g \, \mu_d = \dfrac{F-mg \; \mu_d}{M}-g \, \mu_d$.}} \end{equation*}

L’accelerazione a^\prime è costante, come si può dedurre dall’equazione (10), pertanto m si muove di moto uniformemente accelerato lungo l’asse delle x^\prime. La legge oraria di m è

(11)   \begin{equation*} x^\prime(t) =x^\prime_0 + v_0^\prime t + \dfrac{1}{2} a^\prime t^2, \end{equation*}

dove x^\prime_0 è la posizione iniziale lungo l’asse delle x^\prime e v_0^\prime è la velocità iniziale. La velocità relativa iniziale per ipotesi è nulla, quindi v_0^\prime = 0. Nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime la massa m percorre uno spazio pari a d in un tempo t=t_1. Fissiamo l’origine O^\prime del sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime coincidente con m all’istante t=0, quindi {x_0}^\prime=0 e x^\prime(t_1)=d. Imponendo tali condizioni dalla precedente equazione abbiamo

(12)   \begin{equation*} x^\prime(t_1) = d = \dfrac{1}{2}a^\prime t_1^2 , \end{equation*}

conseguentemente

(13)   \begin{equation*} a^\prime = \dfrac{2d}{t_1^2}. \end{equation*}

Mettendo a sistema la precedente equazione con l’equazione (10) si trova

(14)   \begin{equation*} \begin{aligned} & \dfrac{F-mg \, \mu_d}{M} - g \mu_d = a^\prime = \dfrac{2d}{t_1^2} \quad \Leftrightarrow \\[10pt] & \Leftrightarrow\quad F-mg \mu_d - Mg \, \mu_d = M \, \dfrac{2d}{t_1^2} \quad \Leftrightarrow\\[10pt] & \Leftrightarrow \quad \mu_d = \dfrac{1}{g(M+m)} \; \left(F- M \dfrac{2d}{t_1^2}\right). \end{aligned} \end{equation*}

Dunque, concludiamo che il coefficiente di attrito tra i due cubi è

    \[\boxcolorato{fisica}{\mu_d = \dfrac{1}{g(M+m)} \; \left(F- M \dfrac{2d}{t_1^2}\right).}\]

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