Login Abbonati
Accedi ai contenuti scaricabili
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio moti relativi 10

Moti relativi in Meccanica classica

Home » Esercizio moti relativi 10

Esercizio sui moti relativi 10 è il decimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 11, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 9. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

 

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 10

Esercizio 10 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un motociclista affronta una curva, a raggio di curvatura r, con velocità di modulo v = √3rg/5. Trascurando il fatto che le ruote hanno uno spessore finito, e trattando la moto non come un punto materiale ma come un corpo esteso, si calcoli:

  • a) quale inclinazione α, costante, rispetto all’orizzontale deve tenere il motociclista per non cadere né verso l’interno né verso l’esterno;
  • b) quanto deve valere il coefficiente di attrito statico μS affinché le ruote non slittino sopra il terreno.

 

 

Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

\begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (3):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

\begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}


Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento Oxy non inerziale solidale con il motociclista e rappresentiamo le forze agenti su di esso (si veda figura 1). Nello schema, in particolare, l’origine O coincide con il punto di contatto della ruota con il suolo, e a tale punto sono applicate la reazione vincolare \vec{N} e la forza d’attrito statico \vec{f}_{att}. Il motociclista risente anche della forza peso m\vec{g} e della forza centrifuga \vec{F}_c=-m\dfrac{v^2}{r}\,\hat{x} (\hat{x} è il versore dell’asse delle x). Le forze m\vec{g} e \vec{F}_c sono applicate nel centro di massa del motociclista (indicato con C in figura 1).

Osserviamo che la forza centrifuga è rivolta verso il semiasse negativo delle ascisse, poiché il centro della curva è posto sull’ascissa r, indicata in figura 1.

Affinché il motociclista mantenga sempre lo stesso angolo \alpha senza cadere, imponiamo che la somma dei momenti delle forze esterne rispetto al punto di contatto sia zero. Il punto di contatto coincide con il polo O, da cui, imponendo la somma dei momenti esterni uguali a zero, si ottiene

\begin{equation*} \overrightarrow{OC}\wedge\vec{F}_c+\overrightarrow{OC}\wedge m\vec{g} = \vec{0}, \end{equation*}

dove si è indicato di \overrightarrow{OC} il vettore con modulo \overline{OC}, direzione la retta passante per O e C, e diretto verso C. Osserviamo che la reazione vincolare \vec{N} e la forza di attrito statico \vec{f}_{\text{att}} hanno momento nullo perché sono applicate nel polo O), mentre il momento relativo alla forza centrifuga è m\dfrac{v^2}{r}\overline{OC}\sin \alpha, e il momento relativo alla forza peso è -mg\overline{OC}\sin \beta, dove \beta è l’angolo illustrato in figura 2.

 

 

 

 

L’equazione (3) diventa allora

\begin{equation*} m\frac{v^2}{r}\overline{OC}\sin \alpha - mg\overline{OC}\sin\beta=0. \end{equation*}

\noindent

Osservando che \beta = 90^{\circ} - \alpha, l’equazione (4) può essere riscritta come

\begin{equation*} m\frac{v^2}{r}\overline{OC}\sin \alpha - mg\overline{OC}\cos\alpha=0, \end{equation*}

da cui, dividendo ambo i membri della precedente relazione per \overline{OC}m\cos \alpha\neq 0 (il termine \overline{OC}m\cos \alpha\neq 0 poiché per costruzione \alpha \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)), otteniamo

\begin{equation*} \tan \alpha = \frac{gr}{v^2}. \end{equation*}

Per completezza, grazie a considerazioni puramente matematiche, sostituendo \alpha=\dfrac{\pi}{2} si trova subito che non è soluzione dell’equazione (6), poiché verrebbe m\dfrac{v^2 }{r}\overline{OC}=0 che è impossibile; da cui, deduciamo che è lecito\smallbreak \noindent dividere ambo i membri della (6) per il termine \overline{OC}m\cos \alpha. \smallbreak \noindent

Sostituendo la velocità v=\sqrt{3rg/5} data nel testo del problema troviamo l’angolo \alpha richiesto, cioè

\[\boxcolorato{fisica}{ \alpha=\arctan \left(\frac{5}{3}\right)\simeq 59^\circ . }\]

Per determinare il coefficiente d’attrito statico \mu_S affinché le ruote non slittino dobbiamo imporre che il punto O sia in quiete nel nostro sistema di riferimento, ossia che il punto di contatto tra le ruote e il terreno non trasli. Imponiamo la somma delle forze esterne agenti sul sistema uguale a zero e ricordiamo che la forza di attrito statico deve soddisfare la seguente disuguaglianza: f_{att}\leq N \mu_S. Dunque, per la seconda legge della dinamica, abbiamo

\begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle N-mg = 0\\ \displaystyle f_{att}-F_c = 0, \end{cases} \end{equation*}

da cui

\begin{equation*} \begin{cases} N=mg\\[10pt] f_{att}= F_c=m\dfrac{v^2}{r}. \end{cases} \end{equation*}

Sfruttando i risultati pervenuti nel sistema (8) e imponendo la condizione f_{att}\leq N \mu_S, si trova

\begin{equation*} m\frac{v^2}{r}\leq mg \mu_S , \end{equation*}

conseguentemente

\begin{equation*} \mu_S \geq \frac{v^2}{gr}. \end{equation*}

Sostituendo la velocità v=\sqrt{3rg/5} nella disuguaglianza (10) determiniamo il coefficiente di attrito statico minimo richiesto dal problema, ovvero

\[\boxcolorato{fisica}{ \mu_S = \frac{3}{5}=\text{0,6}. }\]

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 37 esercizi risolti, contenuti in 131 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione dei moti relativi in meccanica classica.

 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..


 
 

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

    Leggi...

    Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.


     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

    Leggi...


     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

    Leggi...

    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     






    Document