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Moti relativi 10

Moti relativi in Meccanica classica

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Esercizio 10 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un motociclista affronta una curva, a raggio di curvatura r, con velocità di modulo v = √3rg/5. Trascurando il fatto che le ruote hanno uno spessore finito, e trattando la moto non come un punto materiale ma come un corpo esteso, si calcoli:

  • a) quale inclinazione α, costante, rispetto all’orizzontale deve tenere il motociclista per non cadere né verso l’interno né verso l’esterno;
  • b) quanto deve valere il coefficiente di attrito statico μS affinché le ruote non slittino sopra il terreno.

 

 

Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (3):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}


Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento Oxy non inerziale solidale con il motociclista e rappresentiamo le forze agenti su di esso (si veda figura 1). Nello schema, in particolare, l’origine O coincide con il punto di contatto della ruota con il suolo, e a tale punto sono applicate la reazione vincolare \vec{N} e la forza d’attrito statico \vec{f}_{att}. Il motociclista risente anche della forza peso m\vec{g} e della forza centrifuga \vec{F}_c=-m\dfrac{v^2}{r}\,\hat{x} (\hat{x} è il versore dell’asse delle x). Le forze m\vec{g} e \vec{F}_c sono applicate nel centro di massa del motociclista (indicato con C in figura 1).

Osserviamo che la forza centrifuga è rivolta verso il semiasse negativo delle ascisse, poiché il centro della curva è posto sull’ascissa r, indicata in figura 1.

Affinché il motociclista mantenga sempre lo stesso angolo \alpha senza cadere, imponiamo che la somma dei momenti delle forze esterne rispetto al punto di contatto sia zero. Il punto di contatto coincide con il polo O, da cui, imponendo la somma dei momenti esterni uguali a zero, si ottiene

(3)   \begin{equation*} \overrightarrow{OC}\wedge\vec{F}_c+\overrightarrow{OC}\wedge m\vec{g} = \vec{0}, \end{equation*}

dove si è indicato di \overrightarrow{OC} il vettore con modulo \overline{OC}, direzione la retta passante per O e C, e diretto verso C. Osserviamo che la reazione vincolare \vec{N} e la forza di attrito statico \vec{f}_{\text{att}} hanno momento nullo perché sono applicate nel polo O), mentre il momento relativo alla forza centrifuga è m\dfrac{v^2}{r}\overline{OC}\sin \alpha, e il momento relativo alla forza peso è -mg\overline{OC}\sin \beta, dove \beta è l’angolo illustrato in figura 2.

 

 

 

 

L’equazione (3) diventa allora

(4)   \begin{equation*} m\frac{v^2}{r}\overline{OC}\sin \alpha - mg\overline{OC}\sin\beta=0. \end{equation*}

\noindent

Osservando che \beta = 90^{\circ} - \alpha, l’equazione (4) può essere riscritta come

(5)   \begin{equation*} m\frac{v^2}{r}\overline{OC}\sin \alpha - mg\overline{OC}\cos\alpha=0, \end{equation*}

da cui, dividendo ambo i membri della precedente relazione per \overline{OC}m\cos \alpha\neq 0 (il termine \overline{OC}m\cos \alpha\neq 0 poiché per costruzione \alpha \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)), otteniamo

(6)   \begin{equation*} \tan \alpha = \frac{gr}{v^2}. \end{equation*}

Per completezza, grazie a considerazioni puramente matematiche, sostituendo \alpha=\dfrac{\pi}{2} si trova subito che non è soluzione dell’equazione (6), poiché verrebbe m\dfrac{v^2 }{r}\overline{OC}=0 che è impossibile; da cui, deduciamo che è lecito\smallbreak \noindent dividere ambo i membri della (6) per il termine \overline{OC}m\cos \alpha. \smallbreak \noindent

Sostituendo la velocità v=\sqrt{3rg/5} data nel testo del problema troviamo l’angolo \alpha richiesto, cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ \alpha=\arctan \left(\frac{5}{3}\right)\simeq 59^\circ . }\]

Per determinare il coefficiente d’attrito statico \mu_S affinché le ruote non slittino dobbiamo imporre che il punto O sia in quiete nel nostro sistema di riferimento, ossia che il punto di contatto tra le ruote e il terreno non trasli. Imponiamo la somma delle forze esterne agenti sul sistema uguale a zero e ricordiamo che la forza di attrito statico deve soddisfare la seguente disuguaglianza: f_{att}\leq N \mu_S. Dunque, per la seconda legge della dinamica, abbiamo

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle N-mg = 0\\ \displaystyle f_{att}-F_c = 0, \end{cases} \end{equation*}

da cui

(8)   \begin{equation*} \begin{cases} N=mg\\[10pt] f_{att}= F_c=m\dfrac{v^2}{r}. \end{cases} \end{equation*}

Sfruttando i risultati pervenuti nel sistema (8) e imponendo la condizione f_{att}\leq N \mu_S, si trova

(9)   \begin{equation*} m\frac{v^2}{r}\leq mg \mu_S , \end{equation*}

conseguentemente

(10)   \begin{equation*} \mu_S \geq \frac{v^2}{gr}. \end{equation*}

Sostituendo la velocità v=\sqrt{3rg/5} nella disuguaglianza (10) determiniamo il coefficiente di attrito statico minimo richiesto dal problema, ovvero

    \[\boxcolorato{fisica}{ \mu_S = \frac{3}{5}=\text{0,6}. }\]


 
 

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