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Esercizio 9  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo puntiforme di massa m è posto su un carrello, che può scorrere su un piano orizzontale liscio. Inizialmente il corpo è posto a una distanza d dal bordo del carrello, la cui massa è M. Il coefficiente di attrito tra il corpo e il carrello è \mu_d. Il carrello viene messo in moto tramite l’applicazione di una forza orizzontale \vec F e il corpo inizia a scivolare verso il fondo del carrello. Si assuma che \vec{F} sia costante in modulo, direzione e verso, come nelle figura che segue. Calcolare in quanto tempo il corpo arriva alla parete del carrello. Si assuma, inoltre che, valgano le seguenti condizioni F-g\mu_d(m+M)>0 e F-g\mu_d>0.

 

 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge  \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Scegliamo due sistemi di riferimento, Oxy, fisso, e O'x'y', non inerziale, solidale con il carrello di massa M e scelto tale per cui all’istante iniziale m si trova proprio sull’asse y', come si può vedere dalla figura 1.

 

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Di seguito, per la massa M analizzeremo le forze applicate dal sistema inerziale Oxy, e per la massa m le forze applicate dal sistema non inerziale O'x'y'. Sulla massa M saranno presenti solo le forze reali, mentre su di m oltre che alla forze reali, bisognerà tenere conto delle forze apparenti, poiché M ed m sono osservati rispettivamente da un sistema inerziale e non inerziale. Nel sistema di riferimento Oxy, sul blocco di massa M agisce la forza \vec F, diretta nel verso negativo dell’asse x, ed M si muoverà rispetto ad Oxy di moto rettilineo accelerato, con un’accelerazione che chiamiamo \vec A. A questo punto possiamo dimostrare che il sistema di riferimento O'x'y' solidale con M è non inerziale: infatti, sulla massa M è applicata la forza reale \vec F, diretta nel verso negativo dell’asse delle x del sistema di riferimento inerziale; pertanto, dalla seconda legge della dinamica, si deduce immediatamente che il blocco di massa M si muoverà con un’accelerazione pari ad \vec A, e quindi il sistema di riferimento O'x'y' è non inerziale.

Pertanto, avendo definito \vec A l’accelerazione di M rispetto ad Oxy, si ha che dal sistema non inerziale su m agiscono due forze:

  • La forza apparente - m \vec A, orientata nel verso positivo dell’asse delle x^\prime.
  • La forza di attrito dinamico \vec f_d, generata dal contatto tra m ed M, orientata nel verso negativo delle x^\prime.

Di conseguenza, sul corpo M, per il III principio della dinamica, sarà applicata la forza -\vec f_d, diretta nel verso negativo dell’asse delle x.

Poiché su M si sta applicando una forza \vec F orientata nel verso negativo dell’asse dell’asse x, costante in modulo, ci aspettiamo che anche \vec A sia orientata nel verso negativo dell’asse x e che sia costante. Pertanto la forza apparente -m\vec A sarà orientata nel verso positivo dell’asse x^\prime, cioè

(3)   \begin{equation*} - m \vec A = -m (-A)\; \hat x' = (mA) \;\hat x', \end{equation*}

dove stiamo assumendo A>0 e si è definito \hat x' il versore dell’asse delle x^\prime. In questo modo abbiamo dedotto il verso della forza apparente - m\vec A, che sarà diretta nel verso positivo delle x^\prime. Come conseguenza, la forza di attrito dinamico \vec f_d applicata su m, poiché deve essere opposta a -m\vec A, sarà diretta nel verso negativo delle x^\prime. Infine, la forza -\vec f_d applicata su M sarà applicata nel verso positivo delle x. Pertanto, per la massa M, per la seconda legge della dinamica risulterà

(4)   \begin{equation*} -F+f_d=-MA, \end{equation*}

dove abbiamo assunto A>0 e dove abbiamo dedotto dalla fisica del problema che poiché la forza \vec F è applicata nella direzione negativa delle x, allora anche l’accelerazione è diretta nel verso negativo delle x.

 

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La forza apparente, di modulo mA, “trascina” m nel sistema O'x'y', quindi in tale sistema di riferimento m si muoverà nel verso positivo delle x'.

Infine, nella direzione dell’asse y \> \vert \vert \> y', su di m sarà applicata la reazione vincolare \vec N e la forza peso m\vec g, orientate rispettivamente nel verso positivo e negativo dell’asse y'.

Riassumendo, per il II principio della dinamica per M ed m, si ha:

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} -F+f_d=-MA\\ mA-f_d = ma^\prime\\ A>0\\ f_d=N\mu_d\\ N=mg, \end{cases} \end{equation*}

dove a^\prime è l’accelerazione relativa di m rispetto ad M nella direzione dell’asse x', ed è positiva.

 

Usando la (5)_5 nella (5)_4, e dopo la (5)_4 nella (5)_1 e nella (5)_2, si trova

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} -F+mg\mu_d = -MA\\ mA-mg\mu_d=ma^\prime. \end{cases} \end{equation*}

Ricavando A dalla (6)_1, si ha

(7)   \begin{equation*} A= \dfrac{F-mg\mu_d}{M}. \end{equation*}

Osserviamo che l’ipotesi fatta che A>0 è concorde con le ipotesi assunte dal testo del problema, in quanto vale F-g\mu_d>0. Sostituendo A (calcolata nella precedente equazione) nella (6)_2, si ottiene

(8)   \begin{equation*} {\mbox{\fbox {$a^{\prime}= A - g\mu_d=\dfrac{F-mg \mu_d}{M}-g\mu_d = \dfrac{1}{M} (F-g\mu_d (m+M))$ }}.} \end{equation*}

L’accelerazione a^\prime risulta costante, in quanto dipendente da quantità a loro volta costanti: pertanto m nel sistema di riferimento O'x'y' si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato nel verso positivo delle x^\prime, la cui legge oraria, che definisce la posizione x'(t) di m nel sistema di riferimento O'x'y', è

    \[x'(t)=x_0'+v_0't+\dfrac{1}{2}a^\prime t^2,\]

dove x_0' e v_0' sono rispettivamente la posizione e la velocità relativa iniziale di m nel sistema O'x'y'. La velocità iniziale è nulla per ipotesi, mentre dalla scelta iniziale dei sistemi di riferimento risulta x_0' = 0 m. Posto x'(t)=d, abbiamo

    \[d=\dfrac{1}{2}a^\prime t^2.\]

In definitiva, ricordando la (8), il corpo m arriva alla parete del carrello nel tempo t pari a

    \[\boxcolorato{fisica}{$t=\sqrt{\dfrac{2d}{a^\prime}} =\sqrt{\dfrac{2dM}{F-g\mu_d (m+M)}},}\]

dove, si osservi che l’espressione appena trovata è ben definita, in quanto vale

(9)   \begin{equation*} F-g\mu_d (m+M) > 0. \end{equation*}

 


Approfondimento.

Nello studio della dinamica di un corpo, per dedurre se il moto rettilineo accelerato sia uniformemente accelerato, è necessario dapprima aver scritto la seconda legge della dinamica. Ad esempio, nel nostro caso l’accelerazione per M nel sistema inerziale è

(10)   \begin{equation*} -F + f_d = MA \quad \Rightarrow\quad -F + N\mu_d = MA\quad \Rightarrow \quad A = \dfrac{-F + mg\mu_d}{M} , \end{equation*}

dove N = mg. In tal caso, l’accelerazione A è una funzione costante nel tempo, ed il moto risulta rettilineo uniformemente accelerato. Immaginiamo, invece che, m sia una scatola bucata con all’interno della sabbia. Con il passare del tempo, mentre si muove su di M, m perde massa e pertanto sarà una funzione del tempo. A sua volta, anche l’accelerazione sarà una funzione del tempo, e l’accelerazione sarà

    \[A(t) = \dfrac{-F + m(t)g\mu_d}{M}.\]

Dalla precedente relazione si conclude quindi che M si muove di moto rettilineo accelerato, ma non uniforme. La descrizione di come varia A dipende dalla scrittura analitica di m(t).