Moti relativi 9

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Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un corpo puntiforme di massa $m$ è posto su un carrello, che può scorrere su un piano orizzontale liscio. Inizialmente il corpo è posto a una distanza $d$ dal bordo del carrello, la cui massa è $M$ . Il coefficiente di attrito tra il corpo e il carrello è $\mu_d$ . Il carrello viene messo in moto tramite l’applicazione di una forza orizzontale $\vec F$ e il corpo inizia a scivolare verso il fondo del carrello. Si assuma che $\vec{F}$ sia costante in modulo, direzione e verso, come nelle figura che segue. Calcolare in quanto tempo il corpo arriva alla parete del carrello. Si assuma, inoltre che, valgano le seguenti condizioni $F-g\mu_d(m+M)>0$ e $F-g\mu_d>0$ .

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Svolgimento. Scegliamo due sistemi di riferimento, $Oxy$ , fisso, e $O'x'y'$ , non inerziale, solidale con il carrello di massa $M$ e scelto tale per cui all’istante iniziale $m$ si trova proprio sull’asse $y'$ , come si può vedere dalla figura 1.

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Di seguito, per la massa $M$ analizzeremo le forze applicate dal sistema inerziale $Oxy$ , e per la massa $m$ le forze applicate dal sistema non inerziale $O'x'y'$ . Sulla massa $M$ saranno presenti solo le forze reali, mentre su di $m$ oltre che alla forze reali, bisognerà tenere conto delle forze apparenti, poiché $M$ ed $m$ sono osservati rispettivamente da un sistema inerziale e non inerziale.
Nel sistema di riferimento $Oxy$ , sul blocco di massa $M$ agisce la forza $\vec F$ , diretta nel verso negativo dell’asse $x$ , ed $M$ si muoverà rispetto ad $Oxy$ di moto rettilineo accelerato, con un’accelerazione che chiamiamo $\vec A$ .
A questo punto possiamo dimostrare che il sistema di riferimento $O'x'y'$ solidale con $M$ è non inerziale: infatti, sulla massa $M$ è applicata la forza reale $\vec F$ , diretta nel verso negativo dell’asse delle $x$ del sistema di riferimento inerziale; pertanto, dalla seconda legge della dinamica, si deduce immediatamente che il blocco di massa $M$ si muoverà con un’accelerazione pari ad $\vec A$ , e quindi il sistema di riferimento $O'x'y'$ è non inerziale.

Pertanto, avendo definito $\vec A$ l’accelerazione di $M$ rispetto ad $Oxy$ , si ha che dal sistema non inerziale su $m$ agiscono due forze:

La forza apparente $- m \vec A$ , orientata nel verso positivo dell’asse delle $x^\prime$ .
La forza di attrito dinamico $\vec f_d$ , generata dal contatto tra $m$ ed $M$ , orientata nel verso negativo delle $x^\prime$ .

Di conseguenza, sul corpo $M$ , per il III principio della dinamica, sarà applicata la forza $-\vec f_d$ , diretta nel verso negativo dell’asse delle $x$ .

Poiché su $M$ si sta applicando una forza $\vec F$ orientata nel verso negativo dell’asse dell’asse $x$ , costante in modulo, ci aspettiamo che anche $\vec A$ sia orientata nel verso negativo dell’asse $x$ e che sia costante. Pertanto la forza apparente $-m\vec A$ sarà orientata nel verso positivo dell’asse $x^\prime$ , cioè

(1) $\begin{equation*} - m \vec A = -m (-A)\; \hat x' = (mA) \;\hat x', \end{equation*}$

dove stiamo assumendo $A>0$ e si è definito $\hat x'$ il versore dell’asse delle $x^\prime$ . In questo modo abbiamo dedotto il verso della forza apparente $- m\vec A$ , che sarà diretta nel verso positivo delle $x^\prime$ . Come conseguenza, la forza di attrito dinamico $\vec f_d$ applicata su $m$ , poiché deve essere opposta a $-m\vec A$ , sarà diretta nel verso negativo delle $x^\prime$ . Infine, la forza $-\vec f_d$ applicata su $M$ sarà applicata nel verso positivo delle $x$ . Pertanto, per la massa $M$ , per la seconda legge della dinamica risulterà

(2) $\begin{equation*} -F+f_d=-MA, \end{equation*}$

dove abbiamo assunto $A>0$ e dove abbiamo dedotto dalla fisica del problema che poiché la forza $\vec F$ è applicata nella direzione negativa delle $x$ , allora anche l’accelerazione è diretta nel verso negativo delle $x$ .

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La forza apparente, di modulo $mA$ , “trascina” $m$ nel sistema $O'x'y'$ , quindi in tale sistema di riferimento $m$ si muoverà nel verso positivo delle $x'$ .

Infine, nella direzione dell’asse $y \> \vert \vert \> y'$ , su di $m$ sarà applicata la reazione vincolare $\vec N$ e la forza peso $m\vec g$ , orientate rispettivamente nel verso positivo e negativo dell’asse $y'$ .

Riassumendo, per il II principio della dinamica per $M$ ed $m$ , si ha:

(3) $\begin{equation*} \begin{cases} -F+f_d=-MA\\ mA-f_d = ma^\prime\\ A>0\\ f_d=N\mu_d\\ N=mg, \end{cases} \end{equation*}$

dove $a^\prime$ è l’accelerazione relativa di $m$ rispetto ad $M$ nella direzione dell’asse $x'$ , ed è positiva.

Usando la (3) $_5$ nella (3) $_4$ , e dopo la (3) $_4$ nella (3) $_1$ e nella (3) $_2$ , si trova

(4) $\begin{equation*} \begin{cases} -F+mg\mu_d = -MA\\ mA-mg\mu_d=ma^\prime. \end{cases} \end{equation*}$

Ricavando $A$ dalla (4) $_1$ , si ha

(5) $\begin{equation*} A= \dfrac{F-mg\mu_d}{M}. \end{equation*}$

Osserviamo che l’ipotesi fatta che $A>0$ è concorde con le ipotesi assunte dal testo del problema, in quanto vale $F-g\mu_d>0$ .
Sostituendo $A$ (calcolata nella precedente equazione) nella (4) $_2$ , si ottiene

(6) $\begin{equation*} {\mbox{\fbox {$a^{\prime}= A - g\mu_d=\dfrac{F-mg \mu_d}{M}-g\mu_d = \dfrac{1}{M} (F-g\mu_d (m+M))$ }}.} \end{equation*}$

L’accelerazione $a^\prime$ risulta costante, in quanto dipendente da quantità a loro volta costanti: pertanto $m$ nel sistema di riferimento $O'x'y'$ si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato nel verso positivo delle $x^\prime$ , la cui legge oraria, che definisce la posizione $x'(t)$ di $m$ nel sistema di riferimento $O'x'y'$ , è

$x'(t)=x_0'+v_0't+\dfrac{1}{2}a^\prime t^2,$

dove $x_0'$ e $v_0'$ sono rispettivamente la posizione e la velocità relativa iniziale di $m$ nel sistema $O'x'y'$ .
La velocità iniziale è nulla per ipotesi, mentre dalla scelta iniziale dei sistemi di riferimento risulta $x_0' = 0$ m. Posto $x'(t)=d$ , abbiamo

$d=\dfrac{1}{2}a^\prime t^2.$

In definitiva, ricordando la (6), il corpo $m$ arriva alla parete del carrello nel tempo $t$ pari a

$\boxcolorato{fisica}{$t=\sqrt{\dfrac{2d}{a^\prime}} =\sqrt{\dfrac{2dM}{F-g\mu_d (m+M)}},}$

dove, si osservi che l’espressione appena trovata è ben definita, in quanto vale

(7) $\begin{equation*} F-g\mu_d (m+M) > 0. \end{equation*}$

Approfondimento. Nello studio della dinamica di un corpo, per dedurre se il moto rettilineo accelerato sia uniformemente accelerato, è necessario dapprima aver scritto la seconda legge della dinamica.
Ad esempio, nel nostro caso l’accelerazione per $M$ nel sistema inerziale è

(8) $\begin{equation*} -F + f_d = MA \quad \Rightarrow\quad -F + N\mu_d = MA\quad \Rightarrow \quad A = \dfrac{-F + mg\mu_d}{M} , \end{equation*}$

dove $N = mg$ . In tal caso, l’accelerazione $A$ è una funzione costante nel tempo, ed il moto risulta rettilineo uniformemente accelerato.
Immaginiamo, invece che, $m$ sia una scatola bucata con all’interno della sabbia. Con il passare del tempo, mentre si muove su di $M$ , $m$ perde massa e pertanto sarà una funzione del tempo. A sua volta, anche l’accelerazione sarà una funzione del tempo, e l’accelerazione sarà

$A(t) = \dfrac{-F + m(t)g\mu_d}{M}.$

Dalla precedente relazione si conclude quindi che $M$ si muove di moto rettilineo accelerato, ma non uniforme. La descrizione di come varia $A$ dipende dalla scrittura analitica di $m(t)$ .