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Esercizio 8  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un pendolo semplice, costituito da una massa m collegata ad un filo inestensibile di lunghezza \ell e di massa trascurabile, è appeso al soffitto di un ascensore in moto con accelerazione di modulo costante, pari ad A. Un osservatore solidale con l’ascensore, misurando le oscillazioni del pendolo, scopre che il periodo di oscillazione è maggiore del 10\% rispetto a quanto previsto dalla teoria. Si determini modulo e verso dell’accelerazione \vec{A} dell’ascensore.

 

 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge  \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy e un sistema di riferimento mobile, solidale con l’ascensore, O'x'y' (si veda la figura 2). Quest’ultimo si muove con accelerazione costante A rispetto al sistema fisso, quindi O'x'y' è un sistema di riferimento non inerziale.

   

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Iniziamo con lo studio delle forze agenti sulla massa m, nel sistema di riferimento O'x'y'. Per fare ciò, si ricordi che nei sistemi non inerziali bisogna tener conto anche delle forze apparenti (o fittizie) derivanti dal moto accelerato di O'x'y' rispetto a Oxy. Nel nostro caso non c’è rotazione relativa tra i due sistemi, pertanto l’unica forza apparente che appare nell’equazione di Newton è quella legata all’accelerazione di O' rispetto a O, cioè -m\vec{A}. La seconda legge della dinamica “modificata” nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime si scrive come segue

(3)   \begin{equation*} \vec{f} - m\vec{A} = m\vec{a}^{\,\prime} , \end{equation*}

dove \vec{f} è la risultante delle forze reali agenti sulla massa m, - m\vec{A} la forza apparente precedentemente discussa, e \vec{a}^{\,\prime} l’accelerazione relativa di m nel sistema non inerziale.

Supponiamo che l’accelerazione dell’ascensore sia diretta verso l’alto, ovvero nel verso positivo dell’asse delle y del sistema inerziale. Le forze reali agenti sulla massa m sono la forza di gravità m\vec{g}, diretta nel verso negativo dell’asse delle y^\prime, e la tensione del filo \vec{T} diretta lungo il filo, dalla massa al punto di aggancio al soffitto. La forza fittizia agente su m è -m\vec{A}, diretta nel verso negativo dell’asse delle y^\prime (avendo assunto che \vec{A} sia diretta nel verso positivo delle y^\prime). Rappresentiamo le forze reali e la forza apparente agente sulla massa m, quando questo forma un angolo \theta' con la verticale, come in figura 3.

 

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Nella figura 3 sono stati introdotti i versori \hat{t}' e \hat{n}', che indicano rispettivamente le direzioni tangenziale e normale alla traiettoria del pendolo, quando questo forma un angolo \theta' con la verticale (asse delle y^\prime). Scomponendo quindi le forze lungo queste due direzioni, cioè la direzione normale e tangenziale, ed applicando la seconda legge della dinamica nel sistema di riferimento non inerziale, si ha:

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} (mg+mA)\cos\theta^\prime - T = -ma'_{c} = -\dfrac{m(v^\prime)^2}{\ell} \\[10pt] -(mg+mA)\sin\theta^\prime = ma'_{t} = m\ddot{\theta^\prime}\ell, \end{cases} \end{equation*}

avendo esplicitato l’accelerazione tangenziale \displaystyle a'_t = \ddot{\theta'}\ell, e quella centripeta \displaystyle a'_c = \frac{(v')^2}{\ell}, dove v' è il modulo della velocità nella direzione tangenziale.

Ricordando che per piccole oscillazioni si ha \sin\theta' \sim \theta', la seconda equazione del precedente sistema diventa

(5)   \begin{equation*} -(mg+mA)\theta' = m\ddot{\theta'}\ell \ \ \Longrightarrow \ \ \ddot{\theta'} + \frac{g+A}{\ell}\theta' = 0\ . \end{equation*}

Osserviamo che l’equazione (5) rappresenta l’equazione di un oscillatore armonico semplice, pertanto m sotto le ipotesi di piccole oscillazioni, nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime, si muove di moto armonico. Dalla precedente equazione deduciamo che la pulsazione del moto armonico di m è pari ad \tilde{\omega} = \sqrt{\dfrac{g+A}{\ell}}. Segue che il periodo del pendolo, nel sistema di riferimento non inerziale, vale:

(6)   \begin{equation*} \tilde{T} = \frac{2\pi}{\tilde{\omega}} = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g+A}}. \end{equation*}

Confrontiamo questi risultati con il caso in cui il pendolo si trovi in un sistema di riferimento inerziale, come in figura 4.

 

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Con riferimento alla figura 4, proiettando la forza peso lungo la direzione tangenziale, per la seconda legge della dinamica, abbiamo

(7)   \begin{equation*} -mg\sin\theta = m\ddot{\theta}\ell \ , \end{equation*}

dove \theta rappresenta l’angolo che il filo forma rispetto alla verticale, misurato da un osservatore solidale al sistema di riferimento inerziale. La precedente relazione si approssima per piccole oscillazioni come:

(8)   \begin{equation*} -g\theta = \ddot{\theta}\ell \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta} + \frac{g}{\ell} \theta = 0, \end{equation*}

la quale rappresenta l’equazione di un’oscillatore armonico semplice. Dall’equazione (8) deduciamo che la pulsazione è \omega = \sqrt{g/\ell} nel sistema di riferimento inerziale. Poi, dalla semplice relazione \omega=2\pi/T, ricaviamo il periodo misurato nel sistema di riferimento inerziale, cioè T = 2\pi\sqrt{\ell/g}.

A questo punto riprendiamo l’ipotesi fatta sulla misura del periodo del pendolo, ossia che “un osservatore solidale con l’ascensore [\dots] scopre che il periodo di oscillazione è maggiore del 10\ \% rispetto a quanto previsto dalla teoria”. Questo significa che il periodo misurato nel sistema di riferimento O'x'y', ossia \tilde{T}, è di un decimo più grande del periodo misurato nel sistema di riferimento Oxy, che sarebbe T. In formule questa relazione si scrive come:

(9)   \begin{equation*} \tilde{T} = T + \frac{1}{10}\ T = \frac{11}{10}\ T \quad \Longrightarrow \quad \tilde{T}^2 = \left(\dfrac{11}{10}\right)^2 T^2\ , \end{equation*}

da cui, sostituendo nella precedente relazione i valori dei periodi calcolati in precedenza, si ottiene:

(10)   \begin{equation*} \frac{ 4\pi^2\ell}{g+A} = \frac{121}{100}\left(\frac{4\pi^2 \ell}{g} \right) \quad \Longrightarrow\quad \ g+A = \frac{100}{121} g\ , \end{equation*}

cioè

(11)   \begin{equation*} A = \left(\frac{100}{121}-1\right) g = -\frac{21}{121}g = -\text{1,7}\,\text{m}\cdot \text{s}^{-2}\ . \end{equation*}

L’aver trovato un’accelerazione A<0 vuol dire che l’ascensore, rispetto al sistema di riferimento inerziale, si muove nel verso negativo dell’asse y, contrariamente a quanto supposto inizialmente.