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Esercizio 7  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si consideri un blocco di massa M poggiato su di un piano orizzontale. Il piano si muove di moto rettilineo verticale con accelerazione \vec{A} di modulo costante rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Si calcolino il modulo e il verso di \vec{A} per cui l’oggetto si distacca dal piano.

 

 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge  \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy e un sistema di riferimento non inerziale O'x'y' solidale con il piano che si muove, come in figura 2. Inizialmente il verso dell’accelerazione \vec{A} è ignoto, pertanto ipotizziamo che essa sia orientata nel verso negativo delle y del sistema di riferimento fisso.

 

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Il sistema di riferimento non inerziale si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato rispetto al sistema di riferimento fisso, ne consegue che l’unica forza apparente che agirà sul blocco nel sistema O'x'y' è -M\vec{A}, diretta verticalmente come la forza peso M\vec{g}. Affinché il distacco del blocco possa avvenire le due forze M\vec{g} e -M\vec{A} devono essere opposte, e questo giustifica la scelta che abbiamo fatto sul aver orientato l’accelerazione \vec{A} nel verso concorde con l’accelerazione di gravità \vec{g}: la piattaforma deve accelerare verso il basso, come supposto correttamente dall’inizio.

Le forze che agiscono sul blocco nel sistema di riferimento O'x'y' sono la forza peso M\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N} esercitata dal piano e la forza apparente -M\vec{A}, come mostrato in figura 3.

 

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Applicando la seconda legge della dinamica nella direzione dell’asse y^\prime, si ha:

(3)   \begin{equation*} N+MA-Mg = M{a'} = 0 \ \ \Longrightarrow \ \ N = M(g-A)\ , \end{equation*}

avendo considerato che l’accelerazione \vec{a}^{\,\prime} del blocco nel sistema non inerziale è nulla, poiché stiamo studiamo la situazione di distacco in cui l’oggetto può considerarsi solidale alla piattaforma.

Finché N\geq 0 il corpo rimane a contatto con il piano, dunque N=0 è il valore critico per il quale il corpo è sul punto di staccarsi. Posto N=0, dall’equazione (3) si ottiene

(4)   \begin{equation*} A = g. \end{equation*}

Si conclude che, affinché avvenga il distacco tra la massa m e la piattaforma, la direzione e il verso di \vec{A} deve essere lungo l’asse negativo delle ordinate del sistema di riferimento fisso, e il modulo A deve assumere un valore maggiore di g, cioè A>g.

 


Fonte.

S.Longhi, M.Nisoli, R.Osellame, S.Stagira – Fisica, Esculapio.