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Esercizio 1  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un nuotatore attraversa un tratto rettilineo di un fiume di larghezza D muovendosi di moto rettilineo uniforme.
La corrente del fiume va verso valle con velocità \vec{V}, mentre il nuotatore si muove con velocità relativa costante \vec{v}^\prime. Quanto tempo impiega il nuotatore ad attraversare il fiume, sapendo che il suo percorso è ortogonale alle sponde?

 

 

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Presentiamo due metodi di risoluzione.

 

Svolgimento primo metodo. Per un osservatore fisso sulla sponda del fiume, il nuotatore si sposta con velocità di modulo, direzione e verso costante \vec{v}_1 mentre la corrente si muove con velocità in modulo, direzione e verso costante \vec{V}.
Si sceglie un sistema di riferimento fisso Oxy con l’origine coincidente con l’osservatore sulla sponda e un secondo sistema di riferimento inerziale O^\prime x^\prime y^\prime solidale con la corrente del fiume, come rappresentato in figura 1.

 

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Dati due sistemi di riferimento Oxy e O^\prime x^\prime y^\prime entrambi inerziali, sia \vec{r}_{O^\prime} la distanza tra di essi e sia P un punto materiale a distanza rispettivamente \vec{r} e \vec{r}^{\, \prime} dal sistema Oxy e O^\prime x^\prime y^\prime, allora vale la seguente relazione

(1)   \begin{equation*} \vec{r}=\vec{r}_{O^\prime}+\vec{r}^{\,\prime}. \end{equation*}

Derivando (1) rispetto al tempo, otteniamo

(2)   \begin{equation*} \vec{v}=\vec{v}_{O^\prime}+\vec{v}^{\, \prime}, \end{equation*}

dove \vec{v} è la velocità del punto materiale P rispetto ad Oxy, {\vec{v}}_{O^\prime} è la velocità del sistema O^\prime x^\prime y^\prime rispetto al sistema Oxy ed infine {\vec{v}\,}^\prime è la velocità del punto materiale P rispetto al sistema O^\prime x^\prime y^\prime.
Ora torniamo al nostro problema e consideriamo la figura 2.

 

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dove \vec{v}^{\, \prime} è la velocità relativa del nuotatore rispetto alla corrente e \theta è l’angolo che forma la velocità relativa con l’asse y^\prime.

Applichiamo (2) ottenendo

(3)   \begin{equation*} \vec{v}=\vec{v}_{O^\prime}+\vec{v}^{\, \prime} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{v}_1=\vec{V}+\vec{v}^{\, \prime} \end{equation*}

e dal momento che

    \[\vec{V}=-V\, \hat{y}\]

e

    \[\vec{v}^{\, \prime}=v^\prime \sin \theta\, \hat{x}+v^\prime \cos \theta \, \hat{y},\]

allora (3) diventa

    \[\vec{v}_1=\vec{V}+\vec{v}^{\, \prime}= -V\, \hat{y}+v^\prime \cos \theta \, \hat{y}+v^\prime \sin\theta \, \hat{x}= (-V+v^\prime\cos\theta) \hat{y}+ v^\prime\,\sin\theta \; \hat{x}.\]

Per procedere con velocità costante lungo l’asse x del sistema riferimento fisso deve valere

    \[-V+v^\prime\cos\theta=0 \quad \Leftrightarrow \quad \theta=\arccos\left(\dfrac{V}{v^\prime}\right) .\]

Determiniamo il modulo di \vec{v}_1 sostituendo il valore appena ottenuto di \theta

    \[\vert \vec{v}_1 \vert= v^\prime \sin\theta = v^\prime \sin \arccos \left(\dfrac{V}{v^\prime}\right) .\]

da cui[1]

    \[\vert \vec{v}_1 \vert= v^\prime \sqrt{1-\left(\dfrac{V}{v^\prime}\right)^2} = \sqrt{(v^\prime)^2-V^2}.\]

Dal momento che il nuotatore si muove di moto rettilineo uniforme possiamo scrivere la sua legge oraria come

(4)   \begin{equation*} x(t)=\vert \vec{v}_1 \vert \, t \end{equation*}

e ponendo

    \[x(t)=D\]

allora il tempo che impiega a fare tale percorso è t = T, da cui

    \[T = \dfrac{D}{\vert \vec{v}_1 \vert} = \dfrac{D}{\sqrt{(v^\prime)^2-(V)^2}}.\]

Dunque concludiamo che il tempo cercato è

    \[\boxcolorato{fisica}{ T=\dfrac{D}{\sqrt{(v^\prime)^2-(V)^2}} .}\]

 

Svolgimento secondo metodo. Da (2) abbiamo che

    \[\vec{v}_1=\vec{V}+\vec{v}^{\, \prime} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{v}_1-\vec{V}=\vec{v}^{\, \prime}.\]

Consideriamo la seguente rappresentazione dei vettori dove abbiamo applicato la regola del parallelogramma

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Consideriamo ora solo il triangolo

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Dalla figura 2 osserviamo che \vec{V} e \vec{v}_1 sono ortogonali, quindi possiamo porre \alpha = \pi/2 e quindi il precedente triangolo diventa

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Allora abbiamo

    \[(v^\prime)^2=v_1^2+(V)^2 \quad\Leftrightarrow \quad v_1=\sqrt{(v^\prime)^2-(V)^2}.\]

Abbiamo così determinato la velocità con la quale si muove il nuotatore rispetto all’osservatore fisso.

Tenendo nuovamente in considerazione (4), otteniamo

    \[T = \dfrac{D}{\sqrt{(v^\prime)^2-(V)^2}}\]

concludendo che il tempo cercato è

    \[\boxcolorato{fisica}{ T=\dfrac{D}{\sqrt{(v^\prime)^2-(V)^2}}.}\]

 

 

1. Dalla prima relazione fondamentale della goniometria abbiamo

    \[\sin^2x+\cos^2x=1\quad \Leftrightarrow \quad \left \vert \sin x \right \vert =\sqrt{1-\cos^2 x}\]

e, ponendo in quest’ultima x=\arccos \theta, abbiamo

(5)   \begin{equation*} \left \vert \sin \arccos \theta \right \vert =\sqrt{1-\cos^2 \arccos \theta}=\sqrt{1- \theta^2}. \end{equation*}

 

 

 

Fonte: ignota.