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Esercizio 2  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).Lungo l’asse x di un sistema di riferimento inerziale avente origine O, un punto materiale P descrive un moto armonico di equazione x=A_1\sin (\omega t), dove A_1 è l’ampiezza e \omega è la pulsazione.  Un secondo sistema di riferimento, con assi paralleli e concordi al primo sistema, è in movimento rispetto a quest’ultimo in modo tale che la posizione della sua origine O^\prime sia individuata dall’equazione x_{O^\prime}=A_2\sin(\omega t+\pi ) mentre y_{O^\prime}=z_{O^\prime}=0.

  1. Determinare l’accelerazione del punto nel secondo sistema di riferimento.
  2. Descrivere, sempre nel secondo sistema, il moto del punto.

 

Svolgimento punto 1. Il moto del punto materiale P avviene solo lungo gli assi x e x^\prime dei due sistemi di riferimento come in figura:

 

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La relazione tra le posizioni del punto P rispetto ai due sistemi di riferimento è la seguente:

(1)   \begin{equation*} x=x_{O^\prime } +x^\prime, \end{equation*}

da cui

(2)   \begin{equation*} x^\prime=x-x_{O^\prime}. \end{equation*}

Sostituendo la forma esplicita di x e x_{O^\prime} fornita dal problema, otteniamo

    \begin{equation*} x^\prime=x-x_{O^\prime}=A_1\sin(\omega t )-A_2 \sin(\omega t+ \pi)=A_1\sin(\omega t )+A_2 \sin (\omega t )=(A_1+A_2)\sin(\omega t ), \end{equation*}

ovvero

(3)   \begin{equation*} x^\prime = (A_1+A_2)\sin(\omega t ). \end{equation*}

Derivando (2) due volte rispetto al tempo abbiamo

(4)   \begin{equation*} \dfrac{d^2x^\prime}{dt^2}=-(A_1+A_2)\omega^2 \sin (\omega t ) \end{equation*}

e concludiamo che l’accelerazione cercata nel secondo sistema di riferimento è

    \[\boxcolorato{fisica}{ \dfrac{d^2x^\prime}{dt^2}=-(A_1+A_2) \ \omega^2 \sin (\omega t ) \ .}\]

 

Svolgimento punto 2. Da (3) osserviamo che P si muove di moto armonico con pulsazione \omega ed ampiezza massima A_1+A_2 nel secondo sistema di riferimento. Derivando (3) una volta rispetto al tempo abbiamo

    \[\dfrac{dx^\prime}{dt}=-(A_1+A_2)\omega \ \cos( \omega t ) \ ,\]

da cui si evince che il modulo della velocità massima è (A_1+A_2)\omega.
È altresì possibile dedurre da (4) che il modulo dell’accelerazione massima è \omega^2(A_1+A_2).