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Esercizio 3  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un bersaglio di dimensioni trascurabili è posto ad un’altezza h dal suolo; un carrello in moto sul piano di terra, con modulo della velocità V, si avvicina alla proiezione Q del bersaglio (vedi figura) e quando dista h da Q un cannoncino inclinato di un angolo \alpha rispetto al piano del carrello spara un proiettile che proprio nel punto più alto della traiettoria colpisce il bersaglio; le dimensioni del carrello sono trascurabili rispetto ad h. Si calcolino le componenti x e z della velocità iniziale del proiettile rispetto al suolo e l’angolo \alpha.

 

 

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Svolgimento. Ricordiamo che dati due sistemi di riferimento Oxy e O^\prime x^\prime y^\prime, entrambi inerziali[1], denotata con \vec{r}_{O^\prime} la distanza tra di essi e con P un punto materiale a distanza rispettivamente \vec{r} e \vec{r}^{\, \prime} dai sistemi Oxy e O^\prime x^\prime y^\prime, allora vale la seguente relazione

(1)   \begin{equation*} \vec{r}=\vec{r}_{O^\prime}+\vec{r}^{\,\prime}. \end{equation*}

Derivando (1) rispetto al tempo, otteniamo

(2)   \begin{equation*} \vec{v}=\vec{v}_{O^\prime}+\vec{v}^{\, \prime} \end{equation*}

dove \vec{v} è la velocità del punto materiale P rispetto ad Oxy, \vec{v}_{O^\prime} è la velocità del sistema O^\prime x^\prime y^\prime rispetto al sistema Oxy ed infine \vec{v}^\prime è la velocità del punto materiale P rispetto al sistema O^\prime x^\prime y^\prime.

Ora torniamo al nostro problema.

Il carrello si muove di moto rettilineo uniforme con velocità in modulo pari a V rispetto ad un sistema di riferimento fisso Oxy. Scegliamo un sistema di riferimento inerziale O^\prime x^\prime z^\prime (vedi figura 1), con origine coincidente con il cannone. Ad un certo istante t=t^\star>0 viene lanciato un proiettile con velocità in modulo v^\prime[2], che forma un angolo con x^\prime quando il cannone si trova ad una distanza h dal bersaglio lungo l’orizzontale, ovvero quando il bersaglio si trova nel sistema di riferimento solidale con il carrello nella posizione

    \[\begin{cases} x^\prime=h\\ z^\prime=h. \end{cases}\]

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Nel sistema di riferimento solidale con il cannone il proiettile ha una velocità relativa pari ad

    \[\vec{v}^{\,\prime} = v^\prime_{0,x} \hat{x} + v_{0,z}^\prime \hat{z}=v^\prime \cos \alpha \, \hat{x}+v^\prime \sin \alpha \, \hat{z}.\]

Nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime z^\prime il proiettile si muove di moto parabolico e raggiunge la sua altezza massima in z^\prime=z=h, quindi, applicando la formula notevole del moto parabolico dell’altezza massima[3], si trova che:

    \[h=\dfrac{(v^\prime)^2\sin^2 \alpha}{2g}=\dfrac{(v_{0,z}^\prime)^2}{2g},\]

da cui

    \[v_{0,z}^\prime = \sqrt{2gh}.\]

Inoltre, lungo l’asse x^\prime il proiettile si muove di moto rettilineo uniforme e la sua legge oraria è

(3)   \begin{equation*} x^\prime(t)=v^\prime_{0,x} t. \end{equation*}

Sia t=t_1 il tempo necessario al proiettile per raggiungere il bersaglio posto in x^\prime(t_1) = h, allora da (3) abbiamo

(4)   \begin{equation*} x^\prime(t_1) = h = v^\prime_{0,x}t_1. \end{equation*}

Rimane da calcolare il tempo t_1.
La legge lungo l’asse z^\prime della velocità è quella che segue

(5)   \begin{equation*} v_z^\prime(t)=v_{0,z}^\prime - g t \end{equation*}

e quando il proiettile raggiunge la quota massima lungo l’asse z si annulla, così, ponendo v_z^\prime(t_1)=0, si ha

(6)   \begin{equation*} 0=v_{0,z}^\prime -gt_1, \end{equation*}

da cui

    \[t_1=\dfrac{v_{0,z}^\prime}{g}=\dfrac{v^\prime \sin \alpha}{g}.\]

Sostituiamo l’espressione appena ottenuta di t_1 in (4) ottenendo

    \[x^\prime(t_1) = h = v^\prime_{0,x}t_1=v^\prime_{0,x} \; \dfrac{v_{0,z}}{g} = v^\prime_{0,x} \dfrac{\sqrt{2hg}}{g} \quad \Leftrightarrow \quad v^\prime_{0,x} = \dfrac{gh}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\dfrac{gh}{2}}.\]

Applicando (2) possiamo determinare la velocità inziale del proiettile rispetto al sistema di riferimento fisso quando raggiunge il bersaglio

    \[\vec{v}=\vec{v}_{0,x}+\vec{v}_{0,z} \, \hat{x}+v_{0,z}\, \hat{z}=\left( v^\prime_{0,x}+V \right) \, \hat{x} +v^\prime_{0,z}\, \hat{z}= \left(\sqrt{\dfrac{gh}{2}}+V\right) \, \hat{x} +\sqrt{2gh}\, \hat{z}.\]

Possiamo dunque impostare il seguente sistema

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} v_{0,x}=\sqrt{\dfrac{gh}{2}}+V=v^\prime \cos\alpha+V\\ v_{0,z}=\sqrt{2gh}=v_{0,z}^\prime=v^\prime \sin \alpha \end{cases} \end{equation*}

e da (7)_2 abbiamo

    \[v_{0,z}=v_{0,z}^\prime = \sqrt{2gh}=v^\prime \sin \alpha,\]

da cui

    \[v^\prime = \dfrac{v_{0,z}}{\sin \alpha}.\]

Sostituendo v^\prime in (7)_1, abbiamo

    \[\begin{aligned} &v_{0,x}=\dfrac{v_{0,z}}{\sin\alpha} \cos\alpha + V \quad \Leftrightarrow \quad v_{0,x}-V = v_{0,z} \; \dfrac{1}{\tan \alpha} \quad \Leftrightarrow \quad\\ &\Leftrightarrow \quad \tan \alpha = \dfrac{v_{0,z}}{v_{0,x}-V} \quad \Leftrightarrow \quad \alpha = \arctan\left(\dfrac{v_{0,z}}{v_{0,x}-V}\right)=\arctan\left(\dfrac{\sqrt{2gh}}{\sqrt{\dfrac{gh}{2}}}\right)=\arctan\left(2\right). \end{aligned}\]

Pertanto le risposte al quesito del problema sono le seguenti

    \[\boxcolorato{fisica}{ \begin{aligned} &v_{0,x}=\sqrt{\dfrac{gh}{2}}+V;\\ &v_{0,z}=\sqrt{2gh};\\ &\alpha=\arctan\left(2\right). \end{aligned}}\]

 

Osservazioni e richiami di teoria.

 

1. Un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento in cui è valido il primo principio della dinamica.} O^\prime x^\prime z^\prime (vedi figura 1), con origine coincidente con il cannone. Ad un certo istante t=t^\star>0 viene lanciato un proiettile con velocità in modulo v^\prime\footnote{velocità relativa del proiettile rispetto al cannone.

 

2. velocità relativa del proiettile rispetto al cannone.

 

3. h_{max}=\dfrac{v^2\sin^2 \alpha}{2g}.

 

 

Fonte: Problemi di fisica generale – S.Rosati & L. Lovitch.