Esercizio 18 . Un pedone
ed un pacco
si trovano su un nastro trasportatore lungo
che poggia su un piano orizzontale ed inizialmente fermo, nelle posizioni iniziali indicate in figura 1. Il coefficiente di attrito tra pacco e nastro è
; si lascia dedurre al lettore se l’attrito in questione è statico o dinamico. All’istante iniziale
il nastro viene accelerato con accelerazione
costante in modulo e diretta parallelamente al nastro orizzontale, come illustrato in figura 1. Si determini
- il tempo
che il pacco impiega ad arrivare alla fine del nastro;
- la minima velocità
costante in modulo, direzione parallela al piano orizzontale e verso rispetto al nastro trasportatore con cui deve partire il pedone all’istante
se vuole raggiungere il pacco prima che esso cada dal nastro.
Si considerino e
come punti materiali. Si effettuino i calcoli con:
,
,
= 10 m.
Svolgimento. Punto 1. Sul pacco agiscono la forza peso
, la reazione vincolare
e la forza d’attrito
. La forza di attrito
potrebbe essere statica o dinamica, grazie a considerazioni successive riusciremo a capirne la natura. Scegliamo un sistema di riferimento fisso
, come rappresentato in figura 2. Inoltre, sempre in figura 2, rappresentiamo tutte le forze agenti su
.
Lungo l’asse delle la forza d’attrito è l’unica forza agente su
. Supponiamo inizialmente che la forza d’attrito sia di tipo statico; si avrebbe, in tal caso, per la seconda legge della dinamica,
, dove si è indicata con
la massa del pacco. Affinché ci sia velocità relativa nulla tra il pacco e nastro trasportatore deve valere
(1)
Nella direzione dell’asse delle abbiamo
(2)
Sfruttando la precedente equazione la disuguaglianza (1) diventa
(3)
(4)
La disuguaglianza (4) è una disuguaglianza numerica falsa; sostituendo i valori numerici forniti dal problema, si ha infatti . Pertanto, il coefficiente
è il coefficiente d’attrito dinamico. Per la seconda legge della dinamica abbiamo
(5)
dove abbiamo adesso indicato con la forza d’attrito dinamico agente sul pacco e
l’accelerazione del pacco. Ricordando che
e che
la precedente equazione diventa
(6)
ovvero
(7)
Dalla precedente equazione si ottiene che è costante, pertanto il moto di
è rettilineo uniformemente accelerato lungo l’asse delle
. Indichiamo con
la posizione di
nel generico istante
lungo l’asse delle
. La legge oraria di
è
(8)
dove si è indicato con è la posizione iniziale e con
la velocità iniziale. Sostituendo
,
,
e
la precedente equazione diventa
(9)
in altri termini
(10)
Da quest’ultima equazione si ricava il tempo richiesto, ossia
Punto 2. Il pedone si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al nastro trasportatore. Ciò significa che, osservando il moto da un sistema di riferimento non inerziale solidale al nastro trasportatore,
si muove di di moto rettilineo uniforme. Per il teorema delle accelerazioni relative, abbiamo
(11)
dove è l’accelerazione del pedone rispetto al sistema di riferimento
,
è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale solidale con il carrello e
è l’accelerazione relativa del pedone nel sistema di riferimento non inerziale. Siccome
si muove di moto rettilineo uniforme nel sistema non inerziale, si ha
; pertanto la precedente equazione diventa
(12)
Dunque, il moto di nel sistema di riferimento
è uniformemente accelerato lungo l’asse delle
. Osserviamo che, siccome il nastro è inizialmente fermo e
ha una velocità relativa
diretta lungo l’asse delle
rispetto al nastro, la velocità iniziale nel sistema di riferimento
lungo l’asse delle
di
è
. Indichiamo
la posizione del pedone nel generico istante
lungo l’asse delle
. Nel sistema di riferimento
la legge oraria del pedone lungo l’asse delle
è
(13)
Poniamo , da cui la precedente equazione diventa
(14)
dove si è considerata la lunghezza del nastro la posizione finale del moto del pedone, ed il tempo
precedentemente trovato, che corrispondeva all’istante di tempo in cui il pacco raggiunge appunto l’estremità del nastro. Dalla precedente equazione, si ha
(15)
o anche
(16)
dove si è usato il risultato pervenuto al primo punto del problema. Sostituendo i valori numerici nella precedente equazione, troviamo
Il secondo punto del problema poteva essere risolto anche osservando e
da un sistema di riferimento solidale con il carrello. Immaginiamo di scegliere un sistema di riferimento non inerziale
solidale con il nastro tale per cui
. Nel sistema di riferimento
il pedone e il pacco si muovono rispettivamente di moto rettilineo uniforme con velocità costante
e di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione costante
. Nel sistema di riferimento
le posizioni iniziali del pedone e del pacco sono rispettivamente
e
. Dunque, nel sistema di riferimento non inerziale, le leggi orarie di
e di
sono rispettivamente
(17)
(18)
Sostituiamo ottenuto al primo punto nell’equazione (18), ottenendo
(19)
Imponiamo
(20)
da cui usando l’equazione (18) e (19) la precedente equazione diventa
(21)
conseguentemente ricordando il risultato pervenuto al primo punto, si ottiene
(22)
come ottenuto con il precedente metodo.