Moti relativi 17

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Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si consideri una piattaforma libera di ruotare attorno al suo asse, in cui sia praticata una scanalatura passante per il suo centro $O$ . Nella scanalatura è posta una massa $m$ collegata al punto $P$ mediante una molla ideale di massa trascurabile, costante elastica $k$ e lunghezza a riposo pari al raggio $R$ della piattaforma; la massa è libera di oscillare lungo la scanalatura senza attrito. Quando la piattaforma ruota attorno al proprio asse con velocità angolare $\vec{\Omega}$ costante in modulo, direzione e verso, la massa si muove di moto armonico lungo la scanalatura con periodo di oscillazione $\widetilde{T}$ .
Si esprima $\widetilde{T}$ in funzione del periodo $T$ che si osserverebbe se la piattaforma fosse ferma, trascurando ogni forma di attrito e assumendo $k - m \Omega^2 > 0$ .

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Svolgimento. Scegliamo due sistemi di riferimento $Oxyz$ e $O^\prime x^\prime y^\prime z^\prime$ , rispettivamente inerziale e non inerziale, tali per cui $O=O^\prime$ , $z=z^\prime$ e la massa $m$ si trovi sempre lungo l’asse $y^\prime$ , come mostrato in figura 2.

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Chiamiamo $y^\prime$ la posizione della massa $m$ lungo l’asse delle $y^\prime$ e $\hat{x}^\prime$ , $\hat{y}^\prime$ e $\hat{z}^\prime$ i versori associati rispettivamente agli assi $x^\prime$ , $y^\prime$ e $z^\prime$ .
Nel sistema non inerziale $O^\prime x^\prime y^\prime z^\prime$ , la massa $m$ è sottoposta alle forze di seguito elencate:

la forza peso $m\vec{g}$ , diretta nel verso delle $z^\prime$ negative, e la reazione vincolare $\vec{N}$ della piattaforma, diretta nel verso delle $z^\prime$ positive. Se la scanalatura fosse scabra, il modulo della reazione vincolare $\vec{N}$ sarebbe legata analiticamente al modulo della forza di attrito dinamico $\vec{F}_d$ che agisce su $m$ nella direzione delle $y^\prime$ , cioè varrebbe $|\vec{F}_d| = \mu_d \vert \vec{N} \vert$ ; tuttavia, la scanalatura è liscia, per cui non è presente nessuna forza di attrito e ai fini del problema non è necessario determinare $\vec{N}$ ;
la forza elastica

(1) $\begin{equation*} \vec{F}_{\text{el}} = -ky^\prime\hat{y}^\prime, \end{equation*}$

diretta nella direzione dell’asse $y^\prime$ . Per $y^\prime\in[-R,0]$ la molla è contratta e avremo $F_{\text{el}}>0$ , ossia la componente della forza elastica lungo l’asse $y^\prime$ è positiva; per $y^\prime\in[0,R]$ la molla è invece allungata e avremo $F_{\text{el}}<0$ , diretta nel verso delle $y^\prime$ negative. Questo risultato è coerente con il fatto che la forza elastica è una forza di richiamo verso la posizione a riposo della molla, nella quale la massa $m$ si trova nel punto $O$ , cioè quando vale $y^\prime=0$ ;
la forza centrifuga

(2) $\begin{equation*} \begin{aligned} \vec{F}_{\text{centrifuga}} & = - m\vec{\Omega}\wedge\left(\vec{\Omega}\wedge\vec{y}^{\,\prime}\right) \\ & = -m\left(\Omega\hat{z}\right)\wedge\left[\left(\Omega\hat{z}\right)\wedge\left(y^\prime\hat{y}^\prime\right)\right] \\ & = -m\Omega\hat{z}\wedge\left(-\Omega y^\prime \hat{x}\right) \\ & = m\Omega^2 y^\prime \hat{y}^\prime, \end{aligned} \end{equation*}$

che è a sua volta diretta nella direzione delle $y^\prime$ . Per $y^\prime\in[-R,0]$ , $\vec{F}_{\text{centrifuga}}$ è diretta nel verso delle $y^\prime$ negative, per $y^\prime \in [0,R]$ nel verso delle $y^\prime$ positive. Questo risultato è coerente con il fatto che la forza centrifuga tende ad allontanare i corpi dall’asse di rotazione del sistema, passante per il punto $O$ ;
il corpo $m$ si muove lungo l’asse $y^\prime$ con velocità non nulla, pertanto avremo anche una forza apparente di Coriolis
(3) $\begin{equation*} \begin{aligned} \vec{F}_{\text{Coriolis}} & = - 2m \left(\vec{\Omega}\wedge\vec{v}\right) \\ & = -2m\left(\left(\Omega\hat{z}\right)\wedge\left(\dfrac{dy^\prime}{dt}\hat{y}^\prime\right)\right) \\ & = 2m\Omega\dfrac{dy^\prime}{dt} \hat{x}^\prime, \end{aligned} \end{equation*}$

dove $\vec{v}^{\,\prime} = \dot{\vec{y}}^{\,\prime}$ è il vettore velocità della massa $m$ lungo la scanalatura. La forza di Coriolis è sempre diretta perpendicolarmente alla scanalatura (in questo caso, nella direzione delle $x^\prime$ ) e si comporta come una forza premente lungo le pareti della scanalatura, che verrà controbilanciata da un’opportuna reazione vincolare $\vec{Z}$ della piattaforma. Come discusso in precedenza per la reazione vincolare $\vec{N}$ , visto che le pareti della scanalatura sono lisce non è necessario determinare la reazione vincolare $\vec{Z}$ .

Le forze agenti sul corpo $m$ di sopra elencate sono riportate in figura 3.

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Dalle precedenti considerazioni possiamo dedurre che la forza elastica $\vec{F}_{\text{el}}$ e la forza centrifuga $\vec{F}_{\text{centrifuga}}$ sono le uniche due forze che contribuiscono al moto di $m$ lungo l’asse delle $y^\prime$ ; inoltre, queste due forze sono sempre opposte tra loro e cambiano verso quando la posizione $y^\prime$ della massa $m$ cambia segno, come si può dedurre dall’equazione (1) e dall’equazione (2).
Applicando la seconda legge della dinamica “corretta” nel sistema di riferimento non inerziale, si ha

(4) $\begin{equation*} F_{\text{el}} + F_{\text{centrifuga}} = m\dfrac{d^2y^\prime}{dt^2}, \end{equation*}$

dove $d^2y^\prime/dt^2$ è l’accelerazione di $m$ nel sistema di riferimento non inerziale nella direzione dell’asse delle $y^\prime$ .
Sfruttando le equazioni (1) e (2) la precedente equazione diventa

(5) $\begin{equation*} m\dfrac{d^2y^\prime}{dt^2} = -ky^\prime + m\Omega^2y^\prime, \end{equation*}$

da cui risulta

(6) $\begin{equation*} \dfrac{d^2y^\prime}{dt^2} = -\left(\dfrac{k-m\Omega^2}{m}\right)y^\prime, \end{equation*}$

dove $\left(k-m\Omega^2\right)/m>0$ per ipotesi.
Notiamo che l’equazione (6) ha la struttura di un’equazione differenziale che descrive il moto di un corpo che si muove di moto armonico semplice con pulsazione al quadrato data da

(7) $\begin{equation*} \widetilde{\omega}^2 = \dfrac{k-m\Omega^2}{m} >0. \end{equation*}$

Per questo motivo, come preannunciato nel testo dell’esercizio, $m$ si muove di moto armonico nel sistema di riferimento non inerziale lungo l’asse delle $y^\prime$ con pulsazione $\widetilde{\omega}$ .
Il modulo quadro della pulsazione e il modulo quadro del periodo di oscillazione sono legati da

(8) $\begin{equation*} \widetilde{\omega}^2 = \dfrac{4\pi^2}{\widetilde{T}^2}, \end{equation*}$

per cui

(9) $\begin{equation*} \mbox{\fbox{$\widetilde{T} = \dfrac{2\pi}{\widetilde{\omega}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k-m\Omega^2}},$}} \end{equation*}$

dove abbiamo usato l’equazione (7). Il risultato in (9) è ben definito grazie all’ipotesi $k-m\Omega^2>0$ .
Poniamo $\Omega=0$ , che equivale a richiedere che la piattaforma sia ferma rispetto al sistema di riferimento fisso, e troviamo

(10) $\begin{equation*} T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}, \end{equation*}$

ovvero il periodo di oscillazione di $m$ a piattaforma ferma.
Dunque abbiamo

(11) $\begin{equation*} \begin{cases} \widetilde{T} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k-m\Omega^2}}, \\[10pt] T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}, \end{cases} \end{equation*}$

o anche

(12) $\begin{equation*} \begin{cases} \widetilde{T} = \sqrt{\dfrac{4\pi^2m/k}{1-m/k\cdot\Omega^2}} = \sqrt{\dfrac{T^2}{1-\dfrac{T^2\Omega^2}{4\pi^2}}}, \\[10pt] T^2 = 4\pi^2\dfrac{m}{k}, \end{cases} \end{equation*}$

e conseguentemente

$\boxcolorato{fisica}{\widetilde{T} = T\sqrt{\dfrac{4\pi^2}{4\pi^2-\Omega^2T^2}}, }$

che è esattamente il risultato richiesto.

Osserviamo che $\widetilde{T} > T$ : infatti, nell’argomento (adimensionale) della radice quadrata il numeratore è sempre maggiore del denominatore, in quanto

(13) $\begin{equation*} 4\pi^2 > 4\pi^2 - \Omega^2T^2. \end{equation*}$

Pertanto, il periodo $\widetilde{T}$ di oscillazione della molla quando la piattaforma sta ruotando con velocità angolare $\Omega$ è sempre maggiore del periodo misurato quando la piattaforma è ferma, ossia, quando i sistemi di riferimento $Oxyz$ e $O^\prime x^\prime y^\prime z^\prime$ sono entrambi inerziali.
Si poteva dedurre il risultato $\widetilde{T} > T$ dal fatto che nel sistema inerziale è presente la sola forza elastica della molla, mentre nel sistema di riferimento non inerziale sulla forza $m$ agisce anche la forza centrifuga, che si oppone alla forza della molla. Pertanto, nel sistema di riferimento non inerziale, dato che la forza centrifuga si oppone alla forza della molla, la massa $m$ impega un tempo maggiore a compiere un periodo completo rispetto al sistema di riferimento inerziale.

Osservazioni. Notiamo che la forza centrifuga (2) è conservativa, dato che dipende dalla sola posizione $y^\prime$ e $\Omega$ è costante (come è noto, una qualsiasi forza che dipenda in modo esplicito dal tempo non può essere conservativa), e che la forza elastica (1), come è noto, è conservativa. Pertanto, l’equazione del moto (5) si presenta nella forma

(14) $\begin{equation*} m\dfrac{d^2y^\prime}{dt^2} = - \dfrac{dU}{dy^\prime}, \end{equation*}$

dove $U$ è l’energia potenziale totale associata a $m$ . Nel nostro caso, si ha

(15) $\begin{equation*} \dfrac{dU}{dy^\prime} = \left(k-m\Omega^2\right)y^\prime. \end{equation*}$

Per determinare la posizione di equilibrio di $m$ poniamo $dU/dy^\prime=0$ ; da cui usando la precedente equazione si trova $y^\prime=0$ . Questo ci fa concludere che $m$ si muove di moto armonico oscillando rispetto alla posizione di equilibrio $y^\prime=0$ . Inoltre, la pulsazione al quadrato del moto di $m$ è data da

(16) $\begin{equation*} \widetilde{\omega}^2 = \dfrac{1}{m} \dfrac{d^2U}{dy^{\prime\, 2}} = \dfrac{k-m\Omega^2}{m} >0, \end{equation*}$

come dedotto dall’equazione (6).
Per completezza, notiamo che

(17) $\begin{equation*} U(y^\prime) = \dfrac{1}{2}\left(k-m\Omega^2\right)\left(y^\prime\right)^2 + \text{costante}, \end{equation*}$

che è una parabola con la concavità verso l’alto, pertanto $y^\prime=0$ è un punto di minimo, cioè un punto di equilibrio stabile.

Infine, osserviamo che la molla descritta in questo esercizio, collegata al punto $P$ e con lunghezza a riposo $R$ , è fisicamente indistinguibile da una molla di pari costante elastica $k$ e lunghezza a riposo nulla posta nel centro $O$ della piattaforma. Infatti, in entrambi i casi l’energia potenziale elastica della molla in (17) vale $k\left(y^\prime\right)^2/2$ .