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Esercizio 5  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un’auto A procede alla velocità v_{0,A} su un tratto rettilineo di strada in cui è proibito il sorpasso. Qual è la minima distanza alla quale il conducente di A deve iniziare a frenare con accelerazione di modulo costante pari ad a per evitare il tamponamento con una seconda auto B che lo precede viaggiando ad una velocità v_B? Supporre che v_{0,A}>v_B.

 

 Svolgimento.  Scegliamo un sistema di riferimento non inerziale[1] O^\prime x^\prime solidale con A (vedi figura 3) e chiamiamo nuovamente x_{min} la distanza minima fra le due macchine nell’istante in cui A comincia a decelerare.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Prendiamo ora in riferimento la figura 4.

 

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Ricordiamo che, dati due sistemi di riferimento, di cui uno inerziale Ox e l’altro non inerziale O^\prime x^\prime ed un punto materiale P nella posizione x rispetto al sistema di riferimento inerziale e x^\prime rispetto al sistema di riferimento non inerziale, vale la seguente relazione

(1)   \begin{equation*} x=x_{O^\prime}+x^\prime, \end{equation*}

dove x_{O^\prime} è la posizione del sistema di riferimento non inerziale rispetto a quello inerziale.
Ora deriviamo rispetto al tempo (1) e otteniamo

(2)   \begin{equation*} v=v_{O^\prime}+v^\prime, \end{equation*}

dove v è la velocità del punto materiale P rispetto al sistema di riferimento inerziale, v_{O^\prime} è la velocità del sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale ed infine v^\prime è la velocità del punto materiale P rispetto al sistema di riferimento non inerziale.
Deriviamo (2) e otteniamo

(3)   \begin{equation*} a=a_{O^\prime}+a^\prime, \end{equation*}

dove a è l’accelerazione del punto materiale P rispetto al sistema di riferimento fisso, a_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e infine a^\prime è l’accelerazione del punto materiale P rispetto al sistema di riferimento non inerziale.
Torniamo ora al nostro problema e applichiamo (2) per determinare la velocità relativa iniziale di B rispetto ad A

    \[v_{B,0}^\prime = v_B-v_{O,A}<0,\]

che è discorde con il nostro sistema di riferimento, ovvero il vettore velocità iniziale punta nel verso negativo di x^\prime.
Ora applichiamo (3) e determiniamo l’accelerazione relativa di B rispetto ad A ottenendo

    \[a_B^\prime = a.\]

Come si può osservare dai risultati appena ottenuti, nel sistema di riferimento solidale con A vediamo B avvicinarsi all’origine O^\prime di moto rettilineo uniformemente decelerato con accelerazione costante pari ad a concorde con il verso positivo di x^\prime.
Ricordiamo che quando un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato rispetto ad un sistema di riferimento vale la seguente relazione[2]

(4)   \begin{equation*} x(t)=x_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2 \end{equation*}

che è la legge oraria di un corpo che si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con

(5)   \begin{equation*} v(t)=v_0+at \end{equation*}

che è la velocità in funzione del tempo. Esplicitando il tempo dalla (8) e sostituendolo in (7) si ottiene la relazione.}

(6)   \begin{equation*} v^2(x)=v_0^2+2(x-x_0)a \end{equation*}

dove v(x) è il modulo della velocità in funzione dello spazio, v_0 è il modulo della velocità iniziale, (x-x_0) è la differenza tra la generica posizione x e quella iniziale x_0 ed infine a è l’accelerazione del corpo.
Nel nostro sistema di riferimento, solidale con A, per il corpo B, applicando (6), abbiamo

    \[(v^\prime_B )^2(x)=(v^\prime_{B,O})^2+2(x^\prime-x_{min})a^\prime\]

e con i precedenti risultati possiamo scrivere

    \[(v^\prime_B )^2(x)=\left(v_B-v_{O,A}\right)^2+2\left(x^\prime-x_{min}\right)a.\]

In tale sistema di riferimento dobbiamo imporre che la velocità del corpo B SIA nulla e, che quando avvenga ciò, essa si trovi proprio nell’origine del nostro sistema di riferimento. Quindi abbiamo

    \[\begin{aligned} &(v^\prime_B )^2(x)=0=\left(v_B-v_{O,A}\right)^2+2\left(0-x_{min}\right)a \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad \left( v_B-v_{O,A} \right)^2+2\left(-x_{min}\right)a=0 \quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad x_{min}=\dfrac{(v_B-v_{O,A})^2}{2a}, & \end{aligned}\]

che è lo stesso risultato ottenuto precedentemente.
Dunque concludiamo che lo spazio minimo cercato è dato da

    \[\boxcolorato{fisica}{ x_{min} =\dfrac{1}{2a}\left(v_{0,A}-v_B\right)^2.}\]

 

1. Un sistema di riferimento non inerziale è un sistema di riferimento nel quale la descrizione della dinamica dei corpi non verifica il principio di inerzia.

2. Tale relazione si ricava mettendo a sistema

(7)   \begin{equation*} x(t)=x_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2 \end{equation*}

che è la legge oraria di un corpo che si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con

(8)   \begin{equation*} v(t)=v_0+at \end{equation*}

che è la velocità in funzione del tempo. Esplicitando il tempo dalla (8) e sostituendolo in (7) si ottiene la relazione.