Esercizio sui moti relativi 16 è il sedicesimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 17, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 15. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.
Testo dell’Esercizio sui moti relativi 16
Esercizio 16 . Si consideri un disco e due punti materiali
e
, giacenti su di un piano orizzontale, come in figura 1. Il disco ruota con velocità angolare
rispetto ad un asse passante per il proprio centro e perpendicolare al piano sul quale giace il disco. La velocità angolare è costante in modulo, direzione e verso, e orientata nella direzione dell’asse di rotazione. Nel disco è presente una scanalatura passante per il suo centro
. Nella scanalatura sono posti due oggetti di massa
e
rispettivamente, collegati da una fune ideale di lunghezza
, e massa trascurabile. In un sistema di riferimento solidale con la piattaforma, si determini la posizione di equilibrio in cui la fune rimane tesa e le masse non si spostano rispetto a
. Si consideri la lunghezza della fune minore del diametro del disco.
Richiami teorici.
(1)
Nell’equazione (1):
è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
, dove
la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e
il vettore posizione di
rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
-
è la forza centrifuga, dove
;
è la forza di Coriolis, dove
, essendo
la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
è l’accelerazione relativa di
nel sistema di riferimento non inerziale.
In particolare
(2)
Svolgimento.
Analizziamo nel sistema di riferimento
. Sulla massa
agiscono la reazione vincolare
della guida diretta nel verso positivo delle
, la forza peso
diretta nel verso negativo delle
, la tensione
diretta nel verso negativo delle
, e la forza centrifuga
(3)
diretta nel verso positivo delle , dove
è il vettore posizione di
lungo l’asse delle
.
Osserviamo
dal sistema di riferimento
. Sulla massa
agiscono la reazione vincolare
della guida diretta nel verso positivo delle
, la forza peso
diretta nel verso negativo delle
, la tensione
diretta nel verso positivo delle
, e la forza centrifuga
(4)
diretta nel verso negativo delle , dove
è il vettore posizione di
lungo l’asse delle
.
Di seguito, in figura 3, rappresentiamo le forze applicate ad
ed
lungo l’asse
. Si osservi che, le forze applicate in altre direzioni, ossia le forze peso e le reazioni vincolari, sono irrilevanti ai fini del problema perché non è presente attrito tra i corpi e il piano sul quale poggiano, e inoltre, i due corpi sono vincolati a rimanere nel piano orizzontale.
Dall’ipotesi di filo inestensibile e di massa trascurabile, si ha
(5)
(6)
Per la seconda legge della dinamica “modificata” per i sistemi di riferimento non inerziali, lungo l’asse delle le equazioni del moto di
e
sono rispettivamente
(7)
da cui, sfruttando l’equazione (6), segue
(8)
dove e
sono rispettivamente i moduli dei vettori posizione
e
di
e
lungo l’asse delle
.
Si osservi che, per la geometria del problema, si ha
, pertanto dal precedente sistema si ottiene
(9)
ossia
(10)
cioè
(11)
conseguentemente
(12)
Siano e
rispettivamente le posizioni, lungo l’asse delle
, di
e
. Osserviamo che, per la scelta fatta del sistema di riferimento,
e
. Dunque, lungo l’asse delle
,
e
si trovano rispettivamente nelle posizioni
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