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Moti relativi 16

Moti relativi in Meccanica classica

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Esercizio 16 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si consideri un disco e due punti materiali m_1 e m_2, giacenti su di un piano orizzontale, come in figura 1. Il disco ruota con velocità angolare \vec{\omega}_0 rispetto ad un asse passante per il proprio centro e perpendicolare al piano sul quale giace il disco. La velocità angolare è costante in modulo, direzione e verso, e orientata nella direzione dell’asse di rotazione. Nel disco è presente una scanalatura passante per il suo centro O. Nella scanalatura sono posti due oggetti di massa m_1 e m_2 rispettivamente, collegati da una fune ideale di lunghezza \ell, e massa trascurabile. In un sistema di riferimento solidale con la piattaforma, si determini la posizione di equilibrio in cui la fune rimane tesa e le masse non si spostano rispetto a O. Si consideri la lunghezza della fune minore del diametro del disco.

 

 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Scegliamo una coppia di sistemi di riferimento Oxy e O^\prime x^\prime y^\prime, tali che O=O^\prime e z=z^\prime. Il sistema di riferimento Oxy è inerziale; mentre il sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime è non inerziale, e solidale con la piattaforma che ruota, in modo che i punti materiali m_1 e m_2 giacciano sull’asse y^\prime in ogni istante t>0 del moto; in altre termini, l’asse y^\prime coincide con la scanalatura della piattaforma. Rappresentiamo, di seguito, quanto definito in figura 2.

 

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Analizziamo m_1 nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime. Sulla massa m_1 agiscono la reazione vincolare \vec{N_1} della guida diretta nel verso positivo delle z^\prime, la forza peso m_1\vec{g} diretta nel verso negativo delle z^\prime, la tensione \vec{T}_1 diretta nel verso negativo delle y^\prime, e la forza centrifuga

(3)   \begin{equation*} \vec{F}_{1,\text{cen}} = - m_1 \vec{\omega}_0 \wedge \left(\vec{\omega}_0 \wedge \vec{y}_1^{\,\prime} \right) \end{equation*}

diretta nel verso positivo delle y^\prime, dove \vec{y}_1^{\,\prime} è il vettore posizione di m_1 lungo l’asse delle y^\prime. Osserviamo m_2 dal sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime. Sulla massa m_2 agiscono la reazione vincolare \vec{N}_2 della guida diretta nel verso positivo delle z^\prime, la forza peso m_2\vec{g} diretta nel verso negativo delle z^\prime, la tensione \vec{T}_2 diretta nel verso positivo delle y^\prime, e la forza centrifuga

(4)   \begin{equation*} \vec{F}_{2,\text{cen}} = - m_2 \vec{\omega}_0 \wedge \left(\vec{\omega}_0 \wedge \vec{y}_2^{\,\prime} \right) \end{equation*}

diretta nel verso negativo delle y^\prime, dove \vec{y}_2^{\,\prime} è il vettore posizione di m_2 lungo l’asse delle y^\prime. Di seguito, in figura 3, rappresentiamo le forze applicate ad m_1 ed m_2 lungo l’asse y^\prime. Si osservi che, le forze applicate in altre direzioni, ossia le forze peso e le reazioni vincolari, sono irrilevanti ai fini del problema perché non è presente attrito tra i corpi e il piano sul quale poggiano, e inoltre, i due corpi sono vincolati a rimanere nel piano orizzontale.

 

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Dall’ipotesi di filo inestensibile e di massa trascurabile, si ha

(5)   \begin{equation*} \vec{T}_1 = -\vec{T}_2, \end{equation*}

da cui

(6)   \begin{equation*} |\vec{T}_1| = |\vec{T}_2| = T. \end{equation*}

Per la seconda legge della dinamica “modificata” per i sistemi di riferimento non inerziali, lungo l’asse delle y^\prime le equazioni del moto di m_1 e m_2 sono rispettivamente

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} F_{1,\text{cen}} - |\vec{T}_1| = 0, \\[5pt] |\vec{T}_2|- F_{2,\text{cen}} = 0, \end{cases} \end{equation*}

da cui, sfruttando l’equazione (6), segue

(8)   \begin{equation*} \begin{cases} T = m_1\omega_0^2|\vec{y}_1^{\,\prime}|\\[5pt] T = m_2\omega_0^2|\vec{y}_2^{\,\prime} |, \end{cases} \end{equation*}

dove |\vec{y}_1^{\,\prime}| e |\vec{y}_2^{\,\prime} | sono rispettivamente i moduli dei vettori posizione \vec{y}_1^{\,\prime} e \vec{y}_2^{\,\prime} di m_1 e m_2 lungo l’asse delle y^\prime. Si osservi che, per la geometria del problema, si ha |\vec{y}_1^{\,\prime}| + |\vec{y}_2^{\,\prime}| = \ell, pertanto dal precedente sistema si ottiene

(9)   \begin{equation*} m_2\omega_0^2|\vec{y}_2^{\,\prime} | = m_1\omega_0^2\left(\ell-|\vec{y}_2^{\,\prime} |\right), \end{equation*}

ossia

(10)   \begin{equation*} \left(m_2+m_1\right)|\vec{y}_2^{\,\prime} | = m_1\ell, \end{equation*}

cioè

(11)   \begin{equation*} \left \vert \vec{y}_2^{\,\prime}\right \vert = \dfrac{m_1}{m_2+m_1}\ell , \end{equation*}

conseguentemente

(12)   \begin{equation*} |\vec{y}_1^{\,\prime}| = \ell - |\vec{y}_2^{\,\prime}| = \ell - \dfrac{m_1}{m_2+m_1}\ell = \dfrac{m_2}{m_2+m_1}\ell. \end{equation*}

Siano y^\prime_1 e y^\prime_2 rispettivamente le posizioni, lungo l’asse delle y^\prime, di m_1 e m_2. Osserviamo che, per la scelta fatta del sistema di riferimento, y^\prime_1=|\vec{y}_1^{\,\prime}| >0 e y^\prime_2=-|\vec{y}_2^{\,\prime}| <0. Dunque, lungo l’asse delle y^\prime, m_1 e m_2 si trovano rispettivamente nelle posizioni

    \[\boxcolorato{fisica}{y^\prime_1 = \dfrac{m_2}{m_2+m_1}\ell \qquad \text{e} \qquad y^\prime_2 =- \dfrac{m_1}{m_2+m_1}\ell. }\]

 

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