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Esercizio 14  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dalla sommità di un piano inclinato liscio si lascia libero di muoversi un corpo, con velocità iniziale \vec{v}_0 parallela al piano inclinato, come rappresentato in figura 1. Il blocco che costituisce il piano inclinato si muove verso il basso con accelerazione uguale a quella di gravità. Si determini il moto del corpo rispetto ad un sistema di riferimento solidale con il piano inclinato.

 

 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge  \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy ed un sistema di riferimento solidale con il piano inclinato O'x'y', come rappresentato in figura 2.

 

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Il sistema O'x'y' si muove all’unisono con il piano inclinato, pertanto è un sistema di riferimento non inerziale. In questo sistema di riferimento il corpo di massa m sarà soggetto ad una forza apparente pari a \displaystyle -m\vec{A} = -m\vec{g}, poiché l’accelerazione \vec{A} del sistema O'x'y' coincide con l’accelerazione di gravità \vec{g}.

Le forze reali che agiscono sul corpo, nel sistema non inerziale, sono la forza peso m\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N} esercitata dal piano inclinato su di esso. Le forze sono orientate come in figura 3.

 

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La reazione vincolare è perpendicolare al piano perché per ipotesi non c’è attrito tra esso e il corpo, pertanto \vec{N} ha componente tangenziale nulla. Per il secondo principio della dinamica, nel sistema di riferimento non inerziale, si ha

(3)   \begin{equation*} \vec{N} + m\vec{g} - m\vec{g} = m\vec{a}^{\,\prime} \quad \Rightarrow \quad \vec{N} = m\vec{a}^{\,\prime}, \end{equation*}

dove \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione di m rispetto al sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime. Sia a_x^\prime la componente x^\prime del vettore accelerazione \vec{a}^{\,\prime} e sia a_y^\prime la componente y^\prime del vettore accelerazione \vec{a}^{\,\prime}. Proiettando le forze lungo l’asse delle x^\prime e y^\prime, dalla precedente equazione, si ottiene

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} 0 = ma_x^\prime \\ N = 0 = ma_y^\prime. \end{cases} \end{equation*}

Abbiamo posto a_y^\prime=0 perché nella direzione dell’asse delle y^\prime non può esserci movimento, per via del vincolo dovuto dal piano inclinato. \ Dai risultati ottenuti, concludiamo che, nel sistema non inerziale il corpo non accelera (a_x^\prime=a_y^\prime=0), e quindi continua a muoversi di moto rettilineo uniforme con \vec{v}_0 nella direzione positiva dell’asse delle x^\prime. La sua legge oraria nella direzione dell’asse delle x^\prime è

(5)   \begin{equation*} x'(t) = v_0 t, \end{equation*}

per ogni t\geq 0.