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Esercizio 29  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un blocco metallico in quiete su un piano orizzontale viene spezzato, con una piccola carica di esplosivo, in tre parti A,B e C di massa m_A, m_B, m_C, che continuano a muoversi lungo lo stesso piano. Considerando un sistema di riferimento fisso inerziale Oxy come illustrato in figura, con origine coincidente con la posizione del blocco metallico un istante prima dell’urto, il frammento A parte lungo l’asse x, nel verso positivo, con velocità \vec{v}_A, B lungo l’asse y, nel verso positivo, con velocità \vec{v}_B. Si determini il modulo e la direzione della velocità \vec{v}_C del frammento C; si consideri il blocco metallico, così come le tre parti in cui esso è spezzato, come un punto materiale.

 

 

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Svolgimento.

Osserviamo che, durante l’esplosione, il sistema è isolato: agiscono cioè solo forze interne che determinano l’esplosione, pertanto la quantità di moto del sistema si conserva prima e dopo l’esplosione, in ogni direzione. Dopo l’esplosione, inoltre, il blocco metallico si divide nei tre frammenti di masse m_A, m_B e m_C aventi rispettivamente velocità un istante dopo l’urto \vec{v}_A, \vec{v}_B e \vec{v}_C. Scriviamo le velocità in termini delle loro componenti: \vec{v}_A=v_A\ \hat{x}, \vec{v}_B=v_B\ \hat{y} e \vec{v}_C=v_{Cx}\ \hat{x}+v_{Cy}\ \hat{y}, dove \hat{x} e \hat{y} sono rispettivamente i versori nella direzione dell’asse x e dell’asse y, e v_{Cx} e v_{Cy} sono rispettivamente la componente x e y della velocità di C. Si osservi che per ipotesi v_B e v_A sono non negativi, poiché puntano rispettivamente nella direzione positiva dell’asse delle y e delle x, mentre v_{Cx} e v_{Cy} potrebbero essere sia positivi che negativi.

Definiamo \vec{p}_0=(m_A+m_B+m_C)\vec{v}_0 la quantità di moto totale del sistema, dove \vec{v}_0 è la velocità iniziale del sistema. Poiché il sistema composto dalle tre masse è inizialmente in quiete deduciamo che \vec{v}_0=\vec{0}, e pertanto \vec{p}_0=\vec{0}. La quantità di moto finale è data dalla somma delle quantità di moto dei singoli frammenti, che indichiamo con \vec{p}_A, \vec{p}_B e \vec{p}_C, rispettivamente per i frammenti di massa m_A, m_B e m_C. Impostiamo dunque l’equazione relativa alla conservazione della quantità di moto:

(1)   \begin{equation*} \vec{p}_0=\vec{p}_A + \vec{p}_B + \vec{p}_C, \end{equation*}

che, tenendo conto del fatto che la componente x è l’unica non nulla per il frammento A e che la componente y è l’unica non nulla per il frammento B, si può riscrivere come

(2)   \begin{equation*} \vec{0}=m_A v_A\ \hat{x} + m_B v_B\ \hat{y} + m_C(v_{Cx}\ \hat{x}+v_{Cy}\ \hat{y}), \end{equation*}

dove si è usato che \vec{p}_0=\vec{0} e si è esplicitata la quantità di moto \vec{p}_C nelle componenti x e y, ossia m_Cv_{Cx} e m_Cv_{Cy} rispettivamente. L’equazione vettoriale appena scritta va risolta per ciascuna delle componenti; si ottiene così un sistema di due equazioni in due incognite, per la componente x e la componente y rispettivamente:

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle m_Av_A+m_Cv_{Cx} = 0\\ \displaystyle m_Bv_B+m_Cv_{Cy} = 0, \end{cases} \end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle v_{Cx} = -\frac{m_Av_A}{m_C} \\\\ \displaystyle v_{Cy} = -\frac{m_Bv_B}{m_C}. \end{cases} \end{equation*}

Concludiamo che la velocità del frammento C è data da

    \[\boxcolorato{fisica}{ \vec{v}_C = -\frac{m_Av_A}{m_C}\ \hat{x} -\frac{m_Bv_B}{m_C}\ \hat{y}.}\]

 


Fonte.

Problemi di fisica generale – S.Rosati e L. Lovitch.