Sistemi di punti materiali 36

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio 36 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Due punti materiali di massa $m_1$ e $m_2$ sono vincolati a muoversi su di un piano orizzontale liscio. I due punti sono fissati alle estremità di una molla ideale di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo $\ell_0$ . Scelto un sistema di riferimento inerziale dal quale analizzare il sistema fisico composto dalle due masse $m_1$ e $m_2,$ si definiscano $x_1(t)$ e $x_2(t)$ la posizione rispettivamente di $m_1$ e $m_2$ nel sistema di riferimento scelto. Le condizioni iniziali in questo sistema di riferimento sono $x_1(0) = 0$ , $\dot{x} _1(0) = 0$ , $x_2(0) = \ell_0$ e $\dot{x}_ 2(0) = V > 0$ . Si richiede di determinare le leggi orarie $x_1(t)$ e $x_2(t)$ .

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Premessa. Per la risoluzione di questo problema presentiamo due metodi differenti: nel primo metodo utilizzeremo un sistema di riferimento fisso per determinare determinare le leggi orarie $x_1(t)$ e $x_2(t)$ , mentre nel secondo metodo utilizzeremo un sistema di riferimento solidale al centro di di massa del sistema fisico composto dalle due masse $m_1$ e $m_2$ per determinare le leggi orarie $x_1(t)$ e $x_2(t)$ .

Svolgimento. Scelto un sistema di riferimento fisso $Ox$ , date le condizioni iniziali, osserviamo che il punto materiale $m_1$ si trova all’istante iniziale $t = 0$ nell’origine $O$ e in quiete, mentre $m_2$ si trova in corrispondenza della molla a riposo e con velocità $V>0$ diretta nel semiasse positivo dell’asse delle $x$ .

Scegliamo come sistema fisico il sistema composto dai due punti materiali di massa $m_1$ e massa $m_2$ e dalla molla che ha massa trascurabile. Inizialmente sulle due masse non agiscono forze lungo l’orizzontale (asse delle $x$ ) in quanto il piano è liscio e la molla è a riposo. Dato che il corpo di massa $m_2$ ha una velocità $V$ non nulla, diretta nel verso positivo delle $x$ , la molla si estenderà esplicando una forza $\vec{F}_{\text{el}}$ su $m_1$ , mentre $-\vec{F}_{\text{el}}$ su $m_2$ , come rappresentato in figura 2.

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Lungo l’asse $x$ il sistema è sottoposto unicamente all’azione di forze interne, ovvero le due forze elastiche, dunque la somma delle forze esterne lungo quest’asse è nulla e pertanto il centro di massa del sistema o rimane in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme, lungo l’asse delle $x$ . Definiamo la posizione del centro di massa $x_{\text{CM}}(t)$ nel sistema di riferimento $Ox$ . La velocità iniziale del centro di massa è

(1) $\begin{equation*} \dot{x}_{\text{CM}}(0) = \dfrac{m_1 \dot{x}_1(0)+ m_2 \dot{x}_2(0)}{m_1+m_2} = \dfrac{m_2 \dot{x}_2(0)}{m_1+m_2}=\dfrac{m_2 V}{m_1+m_2}>0. \end{equation*}$

La posizione iniziale del centro di massa è

(2) $\begin{equation*} {x}_{\text{CM}}(0) = \dfrac{m_1 {x}_1(0)+ m_2 {x}_2(0)}{m_1+m_2} = \dfrac{m_2 {x_2}(0)}{m_1+m_2} =\dfrac{m_2 \ell_0}{m_1+m_2}>0. \end{equation*}$

Dall’equazione (1) deduciamo che il moto del centro di massa è rettilineo uniforme. La legge oraria del centro di massa è

(3) $\begin{equation*} x_{\text{CM}}(t) = x_{\text{CM}}(0) + \dot{x}_{\text{CM}}(0)\, t = \dfrac{m_2 \ell_0}{m_1+m_2}+ \dfrac{m_2 V}{m_1+m_2}t, \end{equation*}$

dove si sono usati i risultati pervenuti nell’equazione (1) e nell’equazione (2). La precedente equazione è valida per $t \geq 0$ .
L’equazione (3) può essere riscritta in funzione delle posizioni $x_1(t)$ e $x_2(t)$ dei due punti materiali sfruttando la definizione di centro di massa, cioè

(4) $\begin{equation*} x_{\text{CM}}(t) = \dfrac{m_1 x_1(t) + m_2 x_2(t)}{m_1 + m_2}, \end{equation*}$

pertanto mettendo a sistema l’equazione (3) con l’equazione (4), otteniamo

(5) $\begin{equation*} m_1x_1(t) + m_2x_2(t) = m_2\ell_0 + m_2Vt. \end{equation*}$

La seconda legge della dinamica per il corpo di massa $m_1$ e per il corpo di massa $m_2$ lungo l’asse $x$ è

(6) $\begin{equation*} \begin{cases} F_{\text{el}} = k(x_2-x_1-\ell_0) = m_1\ddot{x}_1(t)\\ -F_{\text{el}} = -k(x_2-x_1-\ell_0) = m_2\ddot{x}_2(t), \end{cases} \end{equation*}$

in quanto $x_2-x_1$ è l’allungamento della molla e quindi $x_2-x_1-\ell_0$ indica la deviazione dalla sua lunghezza di riposo $\ell_0$ , mentre $\ddot{x}_1(t)$ e $\ddot{x}_2(t)$ indicano la derivata temporale seconda delle posizioni dei due punti materiali. Dall’equazione (5), si ha

(7) $\begin{equation*} x_2(t) = \ell_0 + Vt - \dfrac{m_1}{m_2}x_1(t), \end{equation*}$

che messa a sistema con la prima equazione del sistema (6) ci da la seguente equazione differenziale

(8) $\begin{equation*} k\bigg(\cancel{\ell_0} + Vt -\dfrac{m_1}{m_2}x_1(t) - x_1(t) -\cancel{\ell_0}\bigg) = m_1\ddot{x}_1(t), \end{equation*}$

cioè

(9) $\begin{equation*} m_1 \ddot{x}_1(t) + k \bigg(\dfrac{m_1+m_2}{m_2}\bigg)x_1(t)-kVt=0, \end{equation*}$

infine

(10) $\begin{equation*} \ddot{x}_1(t) + k \bigg(\dfrac{m_1+m_2}{m_1m_2}\bigg)x_1(t)-\dfrac{kV}{m_1}t=0. \end{equation*}$

La precedente equazione (10) è un’equazione differenziale lineare non omogenea a coefficienti costanti del secondo ordine, che può essere risolta con il metodo della somiglianza. L’equazione caratteristica dell’equazione differenziale (10) è

(11) $\begin{equation*} \lambda^2+k\bigg(\dfrac{m_1+m_2}{m_1m_2}\bigg) = 0, \end{equation*}$

da cui si ricava

(12) $\begin{equation*} \lambda = \pm j \sqrt{\dfrac{k(m_1 + m_2)}{m_1m_2}} = \pm j \omega, \end{equation*}$

dove $j = \sqrt{-1}$ è l’unità immaginaria e $\omega$ è la pulsazione definita come $\omega = \sqrt{k(m_1+m_2)/m_1m_2}$ . La soluzione dell’equazione differenziale omogenea associata all’equazione (10) è pertanto\footnote{Si ricordi il risultato con $Delta<0$ dell’equazione differenziali omogenee a coefficienti costanti.}

(13) $\begin{equation*} x_{1,0}(t) = A\cos(\omega t)+ B \sin(\omega t), \end{equation*}$

dove $A$ e $B$ sono costanti, con unità di misura in metri, da determinare dalle condizioni iniziali. Per il metodo della somiglianza la soluzione particolare è

(14) $\begin{equation*} x_{P,1}(t) = Ct + E, \end{equation*}$

dove $C$ ha unità di misura $\text{m}\cdot\text {s}^{-1}$ e $E$ ha unità di misura espressa in metri. Le derivate prima e seconda della soluzione particolare sono pari a

(15) $\begin{equation*} \dot{x}_{P,1}(t) = C \qquad \qquad \ddot{x}_{P,1}(t) =0. \end{equation*}$

Mettendo a sistema la precedente equazione, con l’equazione (14) e l’equazione differenziale (10), si ottiene

(16) $\begin{equation*} \begin{cases} x_{P,1}(t) = Ct + E \\[10 pt] \dot{x}_{P,1}(t) = C\\[10 pt] \ddot{x}_{P,1}(t) =0\\[10 pt] \ddot{x}_{P,1}(t) + k\bigg(\dfrac{m_1 + m_2}{m_1m_2}\bigg)x_{P,1}(t) = \ddot{x}_{P,1}(t) + \omega^2x_{P,1}(t) = \dfrac{k}{m_1} V t, \end{cases}. \end{equation*}$

da cui

(17) $\begin{equation*} \omega^2(Ct + E) = \dfrac{kV}{m_1} t, \end{equation*}$

o anche

(18) $\begin{equation*} \omega^2 Ct + \omega^2 E = \dfrac{kV}{m_1} t. \end{equation*}$

Confrontando ambo i membri della precedente equazione, si trova

(19) $\begin{equation*} C = \dfrac{k V}{m_1\omega^2} \qquad\text{e} \qquad E = 0. \end{equation*}$

Sostituendo $C$ e $E$ trovate nella precedente equazione nell’equazione (14), si ha

(20) $\begin{equation*} x_{P,1}(t) = \dfrac{k V}{m_1\omega^2}t. \end{equation*}$

Si conclude che la soluzione generale dell’equazione differenziale (10) è data dalla soluzione dell’equazione omogenea associata (13) sommata con la soluzione particolare (19), cioè

(21) $\begin{equation*} x_1(t) = x_{1,0}(t)+ x_{P,1}(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) + \dfrac{k V}{m_1 \omega^2}t, \end{equation*}$

valida per $t\geq 0$ , dove si sono usate le equazioni (20) e (13). Calcoliamo ora le costanti $A$ e $B$ in base alle condizioni iniziali. Inizialmente, il corpo di massa $m_1$ è fermo nell’origine del sistema $Ox$ , cioè valgono le condizioni $x_1(0)=0$ e $\dot{x}_1(0) = 0$ . Imponiamo la prima condizione iniziale $x_1(0)=0$ alla soluzione (21), ottenendo

(22) $\begin{equation*} 0 = x_1(0) = A, \end{equation*}$

pertanto l’equazione (21) diventa

(23) $\begin{equation*} x_1(t) = B \sin(\omega t) + \dfrac{k V}{m_1 \omega^2}t. \end{equation*}$

Imponiamo la seconda condizione iniziale $\dot{x}_1(0)=0$ alla soluzione (21), quindi calcoliamo la derivata temporale ad un tempo generico $t\geq 0$ , ovvero

(24) $\begin{equation*} \dot{x}_1(t) = \dfrac{d}{d \,t} \bigg(B \sin(\omega t) + \dfrac{k V}{m_1 \omega^2}t\bigg) = B\omega \cos(\omega t) + \dfrac{k V}{m_1 \omega^2}, \end{equation*}$

da cui imponendo $\dot{x}(0)=0$ la precedente equazione diventa

(25) $\begin{equation*} \dot{x}_1(0) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad B\omega + \dfrac{k V}{m_1 \omega^2} = 0 \quad \Leftrightarrow\quad B = -\dfrac{kV}{m_1\omega^3}. \end{equation*}$

Sostituendo $B$ trovata alla precedente equazione nell’equazione (23), troviamo

(26) $\begin{equation*} \boxed{ x_{1}(t) = -\dfrac{kV}{m_1\omega^3} \sin(\omega t) + \dfrac{k V}{m_1 \omega^2}=\dfrac{kV}{m_1\omega^2}\bigg(-\dfrac{1}{\omega}\sin(\omega) + t\bigg).} \end{equation*}$

Sostituendo $\omega = \sqrt{k(m_1+m_2)/m_1m_2}$ nella precedente equazione, si trova

(27) $\begin{equation*} \begin{split} x_1(t) &=\dfrac{kV}{m_1\omega^2}\bigg(-\dfrac{1}{\omega}\sin(\omega) + t\bigg) = \\[10pt] & =\dfrac{kV}{m_1}\bigg(\dfrac{m_1m_2}{k(m_1+m_2)}\bigg)\bigg(-\sqrt{m_1m_2\over k(m_1+m_2)}\sin(\omega t) + t\bigg) =\\[10pt] &= \dfrac{m_2V}{(m_1+m_2)}\bigg(-\sqrt{m_1m_2\over k(m_1+m_2)}\sin(\omega t) + t\bigg). \end{split} \end{equation*}$

Si conclude che la legge oraria del corpo di massa $m_1$ nel sistema di riferimento $Ox$ è

$\boxcolorato{fisica}{ x_1(t) = \dfrac{m_2V}{(m_1+m_2)}\bigg(-\sqrt{m_1m_2\over k(m_1+m_2)}\sin(\omega t) + t\bigg).}$

Mettendo a sistema la soluzione precedente con l’equazione (7), otteniamo

(28) $\begin{equation*} \begin{split} x_2(t) &= \ell_0 + Vt -\dfrac{m_1}{m_2}x_1(t)=\\[10pt] & = \ell_0 + Vt -\dfrac{m_1}{m_2}\bigg(\dfrac{m_2V}{m_1+m_2}\bigg)\bigg(-\sqrt{m_1m_2\over k(m_1+m_2)}\sin(\omega t) + t\bigg)=\\[10pt] & = \ell_0 + Vt - \dfrac{m_1 V}{m_1+m_2}t+ \dfrac{m_1 V}{m_1+m_2}\sqrt{\dfrac{m_1m_2}{k(m_1+m_2)}}\sin(\omega t)=\\[10pt] & = \ell_0 + \dfrac{m_2 V}{m_1+m_2}t+ \dfrac{m_1 V}{m_1+m_2}\sqrt{\dfrac{m_1m_2}{k(m_1+m_2)}}\sin(\omega t).\ \end{split} \end{equation*}$

Si conclude che la legge oraria del corpo di massa $m_2$ nel sistema di riferimento $Ox$ è

$\boxcolorato{fisica}{ x_2(t) = \ell_0 + \dfrac{m_2 V}{m_1+m_2}t+ \dfrac{m_1 V}{m_1+m_2}\sqrt{\dfrac{m_1m_2}{k(m_1+m_2)}}\sin(\omega t).}$

Osservazione 1. Notiamo che $x_1(t)$ e $x_2(t)$ sono date dalla composizione di un moto rettilineo uniforme con un moto armonico semplice.
Ricordiamo la posizione iniziale del centro di massa e la sua velocità

(29) $\begin{equation*} x_{\text{CM}}(0) = \dfrac{m_2 \ell_0}{m_1+m_2} \qquad \dot{x}_{\text{CM}}(t)= \dfrac{m_2 V}{m_1+m_2}. \end{equation*}$

Come detto precedentemente il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme, cioè con legge oraria

(30) $\begin{equation*} x_{\text{CM}}(t) = x_{\text{CM}}(0) + \dot{x}_{\text{CM}}(t)t= \dfrac{m_2 \ell_0}{m_1+m_2}+\dfrac{m_2 V}{m_1+m_2}t. \end{equation*}$

Sia $x_1^\prime (t)$ la posizione di $m_1$ nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa. Sfruttando la precedente equazione e $x_1(t)$ trovato in precedenza, si trova

(31) $\begin{equation*} \begin{split} x_1^{\prime}(t) &= x_1(t)-x_{\text{CM}}(t),\\[10pt] &= \dfrac{m_2V}{(m_1+m_2)}\bigg(-\sqrt{m_1m_2\over k(m_1+m_2)}\sin(\omega t) + t\bigg) - \dfrac{m_2V}{m_1+m_2}t -\dfrac{m_2\ell_0}{m_1+m_2}=\\[10pt] &= -\dfrac{m_2V}{(m_1+m_2)}\sqrt{m_1m_2\over k(m_1+m_2)}\sin(\omega t) + \cancel{\dfrac{m_2V}{m_1+m_2}t}-\cancel{\dfrac{m_2V}{m_1+m_2}t}-\dfrac{m_2\ell_0}{m_1+m_2}=\\[10pt] & = -\dfrac{m_2V}{(m_1+m_2)}\sqrt{m_1m_2\over k(m_1+m_2)}\sin(\omega t) -\dfrac{m_2\ell_0}{m_1+m_2}. \end{split} \end{equation*}$

Sia $x_2^\prime (t)$ la posizione di $m_2$ nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa. Sfruttando ‘equazione (30) e $x_2(t)$ trovato in precedenza, si ottiene

(32) $\begin{equation*} \begin{split} x_2^{\prime}(t) &= x_2(t) - x_{\text{CM}}(t),\\[10pt] &=\ell_0 + \cancel{\dfrac{m_2V}{m_1+m_2}t}+ \dfrac{m_1 V}{m_1+m_2}\sqrt{\dfrac{m_1m_2}{k(m_1+m_2)}}\sin(\omega t) - \cancel{\dfrac{m_2V}{m_1+m_2}t} -\dfrac{m_2\ell_0}{m_1+m_2},\\[10pt] & =\bigg(1-\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\bigg)\ell_0+ \dfrac{m_1 V}{m_1+m_2}\sqrt{\dfrac{m_1m_2}{k(m_1+m_2)}}\sin(\omega t),\\[10pt] & = \dfrac{m_1\ell_0}{m_1+m_2} + \dfrac{m_1 V}{m_1+m_2}\sqrt{\dfrac{m_1m_2}{k(m_1+m_2)}}\sin(\omega t). \end{split} \end{equation*}$

Dalle due precedenti equazioni osserviamo che $x^\prime_1(t)$ e $x_2^\prime(t)$ rappresentano le equazioni di due moti armonici semplici. Quindi nel sistema inerziale del centro di massa i corpi $m_1$ e $m_2$ si muovono di moto armonico semplice.

Svolgimento. Secondo metodo. Il centro di massa si muove lungo l’asse $x$ con velocità costante $\dot{x}_{\text{CM}}(t)$ , pertanto il sistema $O'x$ solidale ad esso è inerziale, con $O'$ coincidente alla posizione del centro di massa $x_{\text{CM}}(t)$ , come rappresentato in figura 3. Risolviamo il problema osservando il sistema fisico composto dalle due masse e della molla di massa trascurabile dal sistema di riferimento solidale con il centro di massa.

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Sulle masse $m_1$ e $m_2$ non agiscono forze apparenti nel sistema $O'x$ in quanto è inerziale, ma solo forze reali, cioè le due forze elastiche $\vec{F}_{\text{el}}$ e $-\vec{F}_{\text{el}}$ . Calcoliamo le condizioni iniziali del sistema fisico nel sistema di riferimento $O'x$ . Siano $x'_1(0)$ e $\dot{x}'_1(0)$ rispettivamente la posizione iniziale e la velocità iniziale per il corpo di massa $m_1$ nel sistema di riferimento del centro di massa $O'x$ . Applicando le leggi di trasformazione per i raggi vettore e le velocità tra i due sistemi di riferimento $Ox$ e $O'x$ otteniamo per la posizione

(33) $\begin{equation*} x'_1(0) = x_1(0)-x_{\text{CM}}(0) = -\dfrac{m_2\ell_0}{m_1+m_2}<0, \end{equation*}$

mentre per la velocità

(34) $\begin{equation*} \dot{x}^{\,\prime}_1(0) = \dot{x}_1(0)-\dot{x}_{\text{CM}}(t) = -\dfrac{m_2V}{m_1+m_2}<0, \end{equation*}$

dove nei precedenti passaggi abbiamo usato l’equazione (29).
Nel sistema del centro vale

(35) $\begin{equation*} m_1x'_1(t) + m_2x'_2(t) = 0 \quad \Rightarrow\quad x'_2(t) = - \dfrac{m_1}{m_2}x'_1(t), \end{equation*}$

da cui derivando ambo i membri della precedente equazione, si trova

(36) $\begin{equation*} \dot{x}'_2(t) = - \dfrac{m_1}{m_2}\dot{x}'_1(t). \end{equation*}$

Le condizioni iniziali sul corpo di massa $m_2$ nel sistema $O'x$ si ricavano facilmente mettendo a sistema le equazioni (33) e (34) con le equazioni (35) e (36).
La seconda legge della dinamica per il corpo di massa $m_1$ è

(37) $\begin{equation*} F_{\text{el}} = k(x'_2(t)-x'_1(t)-\ell_0) = m_1\ddot{x}^{\,\prime}_1(t), \end{equation*}$

e mettendola a sistema con l’equazione (35) otteniamo la seguente equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea a coefficienti costanti

(38) $\begin{equation*} k\bigg(-\dfrac{m_1}{m_2}x'_1(t)-x'_1(t)-\ell_0\bigg) = m_1\ddot{x}^{\,\prime}_1(t). \end{equation*}$

Questa equazione differenziale può essere risolta come nel primo procedimento, ovvero con il metodo della somiglianza. Decidiamo in questo caso di procedere in modo diverso. Riscriviamo l’equazione differenziale (38) come segue

(39) $\begin{equation*} k\bigg(\dfrac{m_1+m_2}{m_1m_2}\bigg)x'_1(t)+\dfrac{k\ell_0}{m_1} = -\ddot{x}^{\,\prime}_{1}(t). \end{equation*}$

Definendo la pulsazione quadra di $\omega$ come

(40) $\begin{equation*} \omega^2 = k\dfrac{m_1+m_2}{m_1m_2}, \end{equation*}$

possiamo riscrivere l’equazione differenziale (39) nel seguente modo

(41) $\begin{equation*} x'_1(t) + \dfrac{k\ell_0}{m_1\omega^2} = -\dfrac{1}{\omega^2}\ddot{x}^{\,\prime}_1(t). \end{equation*}$

Introduciamo una nuova variabile $z(t)$ (con unità di misura in metri) definita come il termine sinistro dell’equazione differenziale (41), cioè

(42) $\begin{equation*} z(t) = x'_1(t) + \dfrac{k\ell_0}{m_1\omega^2}, \end{equation*}$

in questo modo l’equazione differenziale (41) può essere riscritta in funzione di $z(t)$ nella forma di un’equazione differenziale dell’oscillatore armonico semplice, ovvero

(43) $\begin{equation*} z(t) = -\dfrac{1}{\omega^2}\ddot{z}(t) \quad \Leftrightarrow\quad \ddot{z}(t)+\omega^2z(t)=0. \end{equation*}$

La precedente equazione è nota, è l’equazione differenziale di un moto armonico semplice, che ha come soluzione una funzione sinusoidale con pulsazione $\omega$ , ampiezza $A$ e fase iniziale $\phi$ , cioè

(44) $\begin{equation*} z(t) = A\sin(\omega t + \phi). \end{equation*}$

Grazie all’equazione (42) l’equazione (44) diventa

(45) $\begin{equation*} z(t)=x'_1(t) + \dfrac{k\ell_0}{m_1\omega^2} = A\sin(\omega t+\phi) \quad \Leftrightarrow\quad x'_1(t) = - \dfrac{k\ell_0}{m_1\omega^2} + A\sin(\omega t+\phi), \end{equation*}$

ed esplicitando la pulsazione $\omega$ si ottiene

(46) $\begin{equation*} \begin{split} x'_1(t)& = - \dfrac{k\ell_0}{m_1\omega^2} + A\sin(\omega t+\phi)=\\[10pt] & = - \dfrac{\cancel{k}\ell_0}{\cancel{m_1}}\bigg(\dfrac{\cancel{m_1}m_2}{\cancel{k}(m_1+m_2)}\bigg) + A\sin(\omega t+\phi)=\\[10pt] & = -\dfrac{m_2\ell_0}{m_1+m_2}+ A\sin(\omega t+\phi). \end{split} \end{equation*}$

Sostituendo $t=0$ nella precedente equazione e ricordando la condizionale iniziale ottenuta nell’equazione (33), si trova

(47) $\begin{equation*} x'_1(0) = - \dfrac{m_2\ell_0}{m_1+m_2} = - \dfrac{m_2\ell_0}{m_1+m_2}+ A\sin(\phi), \end{equation*}$

pertanto la fase $\phi$ è determinata in quanto l’ampiezza $A$ è non nulla, ovvero

(48) $\begin{equation*} A\sin(\phi) = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \phi = 0 \,\text{rad}. \end{equation*}$

Sostituendo $\phi=0$ nell’equazione (46), si ottiene

(49) $\begin{equation*} x'_1(t)= -\dfrac{m_2\ell_0}{m_1+m_2}+ A\sin(\omega t). \end{equation*}$

Derivando ambo i membri rispetto al tempo la precedente equazione, si giunge ad

(50) $\begin{equation*} \dot{x}'_1(t)=A\omega \cos \left(\omega t\right). \end{equation*}$

Sostituiamo $t=0$ nella precedente equazione e ci avvaliamo del risultato pervenuto nell’equazione (34), si ha

(51) $\begin{equation*} \dot{x}^{\,\prime}_1(0) = -\dfrac{m_2 V}{m_1+m_2} = A\omega \quad \Leftrightarrow\quad A = -\dfrac{1}{\omega}\dfrac{m_2 V}{m_1+m_2}. \end{equation*}$

Sostituiamo $A$ ottenuta alla precedente equazione nell’equazione (49), ottenendo

(52) $\begin{equation*} \boxed{ x'_1(t)= -\dfrac{m_2\ell_0}{m_1+m_2}-\dfrac{1}{\omega}\dfrac{m_2 V}{m_1+m_2}\sin(\omega t).} \end{equation*}$

Sostituendo $\omega = \sqrt{k(m_1+m_2)/m_1m_2}$ nella precedente equazione si conclude che la legge oraria del corpo di massa $m_1$ nel sistema di riferimento solidale al centro di massa $O'x$ è

$\boxcolorato{fisica}{ x'_1(t) = -\dfrac{m_2\ell_0}{m_1+m_2}-\sqrt{\dfrac{m_1m_2}{k\left(m_1+m_2\right)}}\dfrac{m_2 V}{m_1+m_2}\sin(\omega t).}$

Osserviamo che la precedente equazione è identica all’equazione (31). Procedendo in modo analogo a quanto fatto per la massa $m_1$ anche per la massa $m_2$ , si trova

$\boxcolorato{fisica}{ x'_2(t) = \dfrac{m_1\ell_0}{m_1+m_2} + \dfrac{m_1 V}{m_1+m_2}\sqrt{\dfrac{m_1m_2}{k(m_1+m_2)}}\sin(\omega t),}$

Osservazione 2. Se i punti materiali di massa $m_1$ e $m_2$ avessero avuto velocità iniziale nulle rispetto al sistema fisso $Ox$ e la molla fosse stata allungata o compressa, si sarebbe visto un moto armonico sia dal sistema del centro di massa $O'x$ che dal sistema fisso $Ox$ . Lasciamo la verifica di questo fatto al lettore volenteroso.