Esercizio sistemi di punti materiali 37

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

Home » Esercizio sistemi di punti materiali 37

Esercizio sui sistemi di punti materiali 37 rappresenta il trentasettesimo problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 36, e segue l’Esercizio sui sistemi di punti materiali 38.

Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.

L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.

Testo esercizio sistemi di punti materiali 37

Esercizio 37 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . I due corpi rappresentati in figura 1 sono collegati da un filo inestensibile, di massa trascurabile e lunghezza $\ell$ . Il corpo di massa $m_1$ è vincolato a scorrere senza attrito lungo un’asta orizzontale; il corpo di massa $m_2$ è invece libero di oscillare nel piano in cui giace il sistema delle due masse. I due corpi vengono lasciati liberi di muoversi con velocità iniziali nulle in corrispondenza di un angolo $\alpha_0$ che il filo forma con la verticale.
Calcolare:

l’ampiezza $A$ del moto oscillatorio del corpo di massa $m_1$ in funzione di $m_1$ , $m_2$ , $\ell$ e $\alpha_0$ ;
i moduli $\vert \vec{v}_1\vert$ e $\vert \vec{v}_2\vert$ delle velocità che i corpi possiedono quando si trovano allineati lungo la verticale in funzione di $m_1$ , $m_2$ , $\ell$ , $\alpha_0$ e $g$ .

Svolgimento punto 1.

Definiamo un sistema di riferimento inerziale $Oxy$

con l’origine $O$

in corrispondenza della posizione iniziale del corpo $m_1$

ed orientato come in figura 2.

Costruiamo il diagramma di corpo libero per entrambi i corpi del sistema in esame. Sul corpo $m_1$ agiscono la forza peso $m_1\vec{g}$ , la reazione vincolare con la guida orizzontale $\vec{N_1}$ , e la tensione del filo $\vec{T}_1$ , orientate come in figura 2. Sul corpo $m_2$ agiscono la forza peso $m_2\vec{g}$ e la tensione del filo $\vec{T}_2$ , orientate come in figura 2. Poiché il filo è inestensibile e di massa trascurabile si ha che $\vec{T}_1=-\vec{T}_2$ . Identifichiamo come sistema fisico in esame le due masse $m_1$ ed $m_2$ collegate tra loro dal filo di lunghezza $\ell$ . In questo sistema le forze interne sono le tensioni del filo ossia $\vec{T}_1$ e $\vec{T}_2$ , mentre le forze esterne sono $\vec{N}_1$ , $m_1 \vec{g}$ e $m_2\vec{g}$ . Osserviamo che le forze esterne sono tutte dirette lungo l’asse delle $y$ del sistema $Oxy$ precedentemente definito; pertanto si conserva la quantità di moto totale del sistema fisico in esame nella direzione dell’asse $x$ o, equivalentemente, il centro di massa del sistema si muove di moto rettilineo uniforme lungo l’asse delle $x$ . In riferimento alla figura 2, siano $x_1(0)=0$ , $y_1(0)=0$ , $x_2(0)=\ell\sin\alpha_0$ e $y_2(0)=-\ell\cos\alpha_{0}$ rispettivamente la posizione iniziale lungo l’asse delle $x$ di $m_1$ , la posizione iniziale lungo l’asse delle $y$ di $m_1$ , la posizione iniziale lungo l’asse delle $x$ di $m_2$ e la posizione iniziale lungo l’asse delle $y$ di $m_2$ . Pertanto, le coordinate del centro di massa nell’istante iniziale $(x_{\text{CM},0},y_{\text{CM},0})$ saranno date da

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} x_{\text{CM},0}=\dfrac{m_1x_1(0)+m_2x_2(0)}{m_1+m_2}\\\\ y_{\text{CM},0}=\dfrac{m_1y_1(0)+m_2y_2(0)}{m_1+m_2} \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x_{\text{CM},0}=\dfrac{m_2\ell\sin\alpha_{0}}{m_1+m_2}\\\\ y_{\text{CM},0}=\dfrac{m_2\ell\cos\alpha_{0}}{m_1+m_2}, \end{cases} \end{equation*}$

dove $x_\text{CM,0}$ e $y_\text{CM,0}$ rappresentano rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del centro di massa all’istante $t=0$ . La velocità del centro di massa $\overrightarrow{V}_{\text{CM}}(t)$ , nel generico istante di tempo $t>0$ , per definizione è data da

(2) $\begin{equation*} \overrightarrow{V}_{\text{CM}}(t)=\dfrac{m_1\vec{v}_{1}(t)+m_2\vec{v}_{2}(t)}{m_1+m_2}, \end{equation*}$

dove $\vec{v}_1(t)$ e $\vec{v}_2(t)$ sono rispettivamente le velocità di $m_1$ e $m_2$ rispetto al sistema di riferimento fisso $Oxy$ , in un generico istante $t>0$ .

All’istante di tempo iniziale $t=0$

i due corpi sono in quiete, ossia $\vec{v}_1(0)=\vec{0}$

e $\vec{v}_2(0)=\vec{0}$

. Pertanto l’equazione (2) diventa

(3) $\begin{equation*} \overrightarrow{V}_{\text{CM}}(0)=\vec{0}. \end{equation*}$

Siano $V_{\text{CM},x}(0)$ e $V_{\text{CM},y}(0)$ rispettivamente le componenti lungo l’asse delle $x$ e delle $y$ del vettore $\overrightarrow{V}_{\text{CM}}(0)$ . Sfruttando quanto definito, l’equazione (3) può essere riscritta come

(4) $\begin{equation*} V_{\text{CM},x}(0)\,\hat{x}+V_{\text{CM},y}(0)\,\hat{y}=\vec{0}, \end{equation*}$

dove $\hat{x}$ ed $\hat{y}$ sono i versori rispettivamente dell’asse delle $x$ e dell’asse delle $y$ . Dall’equazione (4) ricaviamo in particolare che la velocità orizzontale del centro di massa del sistema all’istante iniziale è nulla, ossia

(5) $\begin{equation*} V_{\text{CM},x}(0)=0. \end{equation*}$

Tuttavia, abbiamo precedentemente dimostrato che il centro di massa del sistema è in quiete nella posizione $x_{\text{CM},0}$ . Quindi segue che per un generico istante $t>0$ è verificata la seguente equazione

(6) $\begin{equation*} x_{\text{CM}}(t)=x_{\text{CM},0}=\dfrac{m_2\ell\sin\alpha_{0}}{m_1+m_2}, \end{equation*}$

dove nel secondo passaggio abbiamo utilizzato la prima equazione del sistema (1). In altri termini la precedente equazione ci dice che il centro di massa rimane in quiete per ogni istante di tempo $t\geq 0$ . Osserviamo che le forze esterne al sistema sono le due forze peso (che sono forze conservative) e la reazione vincolare esercitata su $m_1$ che però non compie lavoro essendo essa istante per istante perpendicolare alla direzione del moto di $m_1$ . Nel sistema in esame sono presenti anche due forze interne, ossia le tensioni del filo su ciascuna massa. Tuttavia, poiché il filo risulta inestensibile, le due masse sono sempre alla stessa distanza per cui le forze interne complessivamente fanno lavoro nullo (come avviene nel caso di un corpo rigido). Infine, il moto si svolge in assenza di attrito per cui l’energia meccanica dell’intero sistema è conservata. Partendo dalla configurazione di partenza (fig.3a), il sistema in un certo istante passerà per la configurazione di allineamento dei due corpi (fig.3b), ed il corpo $m_1$ si sarà spostato dall’origine di $x_{\text{CM},0}$ . Proseguendo, il filo al quale sono collegati formerà un angolo $-\alpha_{0}$ con la verticale (fig.3c). In questa configurazione le velocità dei due corpi saranno nulle per simmetria con la configurazione iniziale (si ricordi che si conserva l’energia meccanica totale del sistema) ed il corpo $m_1$ si sarà spostato ancora di $x_{\text{CM},0}$ verso destra rispetto allo step precedente. Dopodiché i due corpi passeranno nuovamente per la posizione di allineamento (fig.3d) per poi ritornare nella configurazione iniziale (fig.3e), e così via. Per quanto detto segue che il corpo $m_1$ compie un moto periodico lungo la guida orizzontale con un’ampiezza pari ad

$\boxcolorato{fisica}{ A=x_{\text{CM},0}=\dfrac{m_2\ell\sin\alpha_{0}}{m_1+m_2}.}$

Svolgimento punto 2.

Per calcolare i moduli delle velocità dei due corpi quando questi risultano allineati possiamo utilizzare la legge della conservazione dell’energia meccanica e della quantità di moto del centro di massa rispetto all’asse $x$

. Consideriamo lo stesso sistema di riferimento $Oxy$

definito nel punto 1. Inoltre, sia $O$

il livello zero dell’energia potenziale gravitazionale come illustrato in figura 4.

Consideriamo come configurazione iniziale quella in cui le due masse sono in quiete e la massa $m_2$ forma un angolo $\alpha_0$ . L’energia meccanica del sistema $E_\text{i}$ in questa configurazione, è data dal solo contributo gravitazionale del corpo $m_2$ , $U_\text{2,i}$ , ossia

(7) $\begin{equation*} E_\text{i}=U_\text{2,i}=-m_2g\ell\cos\alpha_0, \end{equation*}$

mentre la quantità di moto totale del sistema lungo l’asse $x$ , $P_{\text{i},x}$ , è nulla come si deduce dall’equazione (5) precedentemente ottenuta, infatti

(8) $\begin{equation*} p_{\text{i},x}=(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}(0)=0. \end{equation*}$

Consideriamo come configurazione finale quella in cui il filo che congiunge le due masse è perfettamente verticale (ossia l’angolo che il filo forma con la verticale è nullo). In riferimento alla configurazione finale, l’energia meccanica del sistema, $E_\text{f}$ , è data dal contributo cinetico dei due corpi ( $K_1$ e $K_2$ ) e dal quello gravitazionale del corpo $m_2$ , $U_\text{2,f}$ ossia

(9) $\begin{equation*} E_\text{f}=K_1+K_2+U_\text{2,f}=\dfrac{1}{2}m_1v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2-m_2g\ell, \end{equation*}$

dove $K_1$ e $K_2$ rappresentano l’energia rispettivamente dei corpi $m_1$ e $m_2$ nella configurazione finale, mentre $v_1$ e $v_2$ sono le componenti delle velocità rispettivamente dei corpi $m_1$ e $m_2$ allo stesso istante lungo l’asse delle $x$ . Nella configurazione finale la quantità di moto totale del sistema lungo l’asse $x$ , $p_{\text{f},x}$ , è data da

(10) $\begin{equation*} p_{\text{f},x}=m_1v_1+m_2v_2. \end{equation*}$

Dalla conservazione dell’energia meccanica, utilizzando le equazioni (7) e (9), otteniamo

(11) $\begin{equation*} E_\text{i}=E_\text{f}\quad\Leftrightarrow\quad \boxed{-m_2g\ell\cos\alpha_0=\dfrac{1}{2}m_1v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2-m_2g\ell.} \end{equation*}$

Dalla conservazione della quantità di moto lungo l’asse $x$ , utilizzando le equazioni (8) e (10), si ha

(12) $\begin{equation*} m_1v_1+m_2v_2=0. \end{equation*}$

Mettendo a sistema le equazioni (11) e (12) otteniamo che

(13) $\begin{equation*} \begin{cases} -m_2g\ell\cos\alpha_0=\dfrac{1}{2}m_1v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2-m_2g\ell\\\\ m_1v_1+m_2v_2=0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} m_1v_1^2+m_2v_2^2=2m_2g\ell(1-\cos\alpha_0)\\\\ v_1=-\dfrac{m_2}{m_1}v_2. \end{cases} \end{equation*}$

Inserendo la seconda equazione del sistema (13) nella prima, si ha che

(14) $\begin{equation*} m_1\left(-\dfrac{m_2}{m_1}v_2\right)^2+m_2v_2^2=2m_2g\ell(1-\cos\alpha_0)\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{m_2^2}{m_1}v_2^2+m_2v_2^2=2m_2g\ell(1-\cos\alpha_0), \end{equation*}$

da cui dividendo ambo i membri per $m_2$ , si ottiene

(15) $\begin{equation*} \left(\dfrac{m_2}{m_1}+1\right)v_2^2=2g\ell(1-\cos\alpha_0)\quad\Leftrightarrow\quad v_2^2=\dfrac{2m_1g\ell}{m_1+m_2}(1-\cos\alpha_0). \end{equation*}$

Quindi il modulo della velocità del secondo corpo $\vert \vec{v}_2\vert$ è dato da

$\boxcolorato{fisica}{ \vert \vec{v}_2\vert=\left|v_2\right|=\sqrt{\dfrac{2m_1g\ell}{m_1+m_2}(1-\cos\alpha_0)}.}$

Dalla seconda equazione del sistema (13), in virtù dell’espressione di $v_2$ appena ottenuta, si ricava che la componente della velocità del primo corpo è pari a

(16) $\begin{equation*} v_1=-\dfrac{m_2}{m_1}\sqrt{\dfrac{2m_1g\ell}{m_1+m_2}(1-\cos\alpha_0)}=-\sqrt{\left(\dfrac{m_2}{m_1}\right)^2\dfrac{2m_1g\ell}{m_1+m_2}(1-\cos\alpha_0)}, \end{equation*}$

da cui otteniamo che il modulo della velocità del primo corpo $\vert \vec{v}_1\vert$ vale

$\boxcolorato{fisica}{ \vert \vec{v}_1\vert =\left|v_1\right|=\sqrt{\dfrac{2m_2^2g\ell}{m_1(m_1+m_2)}(1-\cos\alpha_0)}.}$

Fonte.

Problemi di fisica generale – S.Rosati e L. Lovitch.

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 40 esercizi risolti, contenuti in 178 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione dei sistemi di punti materiali in meccanica classica.

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

Leggi...

Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.

Esercizi di Meccanica classica

Leggi..

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

Leggi...

Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.

Esercizi di Meccanica razionale

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi...

Ulteriori risorse didattiche per la fisica

Leggi...

Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

Document

Menu

Chiudi

Esercizio sistemi di punti materiali 37

Testo esercizio sistemi di punti materiali 37

Svolgimento punto 1.

Svolgimento punto 2.

Fonte.

Scarica gli esercizi svolti

Esercizi di Meccanica classica

Leggi..

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Leggi...

Esercizi di Meccanica classica

Leggi..

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Leggi...

Esercizi di Meccanica razionale

Leggi...

Ulteriori risorse didattiche per la fisica

Leggi...

Suggerimenti, refusi ed errori

Cosa dicono di noi