Esercizio sistemi di punti materiali 37

 Costruiamo il diagramma di corpo libero per entrambi i corpi del sistema in esame. Sul corpo agiscono la forza peso , la reazione vincolare con la guida orizzontale , e la tensione del filo , orientate come in figura 2. Sul corpo agiscono la forza peso e la tensione del filo , orientate come in figura 2. Poiché il filo è inestensibile e di massa trascurabile si ha che . Identifichiamo come sistema fisico in esame le due masse ed collegate tra loro dal filo di lunghezza . In questo sistema le forze interne sono le tensioni del filo ossia e , mentre le forze esterne sono , e . Osserviamo che le forze esterne sono tutte dirette lungo l’asse delle del sistema precedentemente definito; pertanto si conserva la quantità di moto totale del sistema fisico in esame nella direzione dell’asse o, equivalentemente, il centro di massa del sistema si muove di moto rettilineo uniforme lungo l’asse delle . In riferimento alla figura 2, siano , , e rispettivamente la posizione iniziale lungo l’asse delle di , la posizione iniziale lungo l’asse delle di , la posizione iniziale lungo l’asse delle di e la posizione iniziale lungo l’asse delle di . Pertanto, le coordinate del centro di massa nell’istante iniziale saranno date da

(1)

dove e rappresentano rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del centro di massa all’istante . La velocità del centro di massa , nel generico istante di tempo , per definizione è data da

(2)

dove e sono rispettivamente le velocità di e rispetto al sistema di riferimento fisso , in un generico istante .

(3)

Siano e rispettivamente le componenti lungo l’asse delle e delle del vettore . Sfruttando quanto definito, l’equazione (3) può essere riscritta come

(4)

dove ed sono i versori rispettivamente dell’asse delle e dell’asse delle . Dall’equazione (4) ricaviamo in particolare che la velocità orizzontale del centro di massa del sistema all’istante iniziale è nulla, ossia

(5)

Tuttavia, abbiamo precedentemente dimostrato che il centro di massa del sistema è in quiete nella posizione . Quindi segue che per un generico istante è verificata la seguente equazione

(6)

dove nel secondo passaggio abbiamo utilizzato la prima equazione del sistema (1). In altri termini la precedente equazione ci dice che il centro di massa rimane in quiete per ogni istante di tempo . Osserviamo che le forze esterne al sistema sono le due forze peso (che sono forze conservative) e la reazione vincolare esercitata su che però non compie lavoro essendo essa istante per istante perpendicolare alla direzione del moto di . Nel sistema in esame sono presenti anche due forze interne, ossia le tensioni del filo su ciascuna massa. Tuttavia, poiché il filo risulta inestensibile, le due masse sono sempre alla stessa distanza per cui le forze interne complessivamente fanno lavoro nullo (come avviene nel caso di un corpo rigido). Infine, il moto si svolge in assenza di attrito per cui l’energia meccanica dell’intero sistema è conservata. Partendo dalla configurazione di partenza (fig.3a), il sistema in un certo istante passerà per la configurazione di allineamento dei due corpi (fig.3b), ed il corpo si sarà spostato dall’origine di . Proseguendo, il filo al quale sono collegati formerà un angolo con la verticale (fig.3c). In questa configurazione le velocità dei due corpi saranno nulle per simmetria con la configurazione iniziale (si ricordi che si conserva l’energia meccanica totale del sistema) ed il corpo si sarà spostato ancora di verso destra rispetto allo step precedente. Dopodiché i due corpi passeranno nuovamente per la posizione di allineamento (fig.3d) per poi ritornare nella configurazione iniziale (fig.3e), e così via. Per quanto detto segue che il corpo compie un moto periodico lungo la guida orizzontale con un’ampiezza pari ad