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Sistemi di punti materiali 37

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio 37 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). I due corpi rappresentati in figura 1 sono collegati da un filo inestensibile, di massa trascurabile e lunghezza \ell. Il corpo di massa m_1 è vincolato a scorrere senza attrito lungo un’asta orizzontale; il corpo di massa m_2 è invece libero di oscillare nel piano in cui giace il sistema delle due masse. I due corpi vengono lasciati liberi di muoversi con velocità iniziali nulle in corrispondenza di un angolo \alpha_0 che il filo forma con la verticale.
Calcolare:

  1. l’ampiezza A del moto oscillatorio del corpo di massa m_1 in funzione di m_1, m_2, \ell e \alpha_0;
  2. i moduli \vert \vec{v}_1\vert e \vert \vec{v}_2\vert delle velocità che i corpi possiedono quando si trovano allineati lungo la verticale in funzione di m_1, m_2, \ell, \alpha_0 e g.

 

 

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Svolgimento punto 1.

Definiamo un sistema di riferimento inerziale Oxy con l’origine O in corrispondenza della posizione iniziale del corpo m_1 ed orientato come in figura 2.  

 

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 Costruiamo il diagramma di corpo libero per entrambi i corpi del sistema in esame. Sul corpo m_1 agiscono la forza peso m_1\vec{g}, la reazione vincolare con la guida orizzontale \vec{N_1}, e la tensione del filo \vec{T}_1, orientate come in figura 2. Sul corpo m_2 agiscono la forza peso m_2\vec{g} e la tensione del filo \vec{T}_2, orientate come in figura 2. Poiché il filo è inestensibile e di massa trascurabile si ha che \vec{T}_1=-\vec{T}_2. Identifichiamo come sistema fisico in esame le due masse m_1 ed m_2 collegate tra loro dal filo di lunghezza \ell. In questo sistema le forze interne sono le tensioni del filo ossia \vec{T}_1 e \vec{T}_2, mentre le forze esterne sono \vec{N}_1, m_1 \vec{g} e m_2\vec{g}. Osserviamo che le forze esterne sono tutte dirette lungo l’asse delle y del sistema Oxy precedentemente definito; pertanto si conserva la quantità di moto totale del sistema fisico in esame nella direzione dell’asse x o, equivalentemente, il centro di massa del sistema si muove di moto rettilineo uniforme lungo l’asse delle x. In riferimento alla figura 2, siano x_1(0)=0, y_1(0)=0, x_2(0)=\ell\sin\alpha_0 e y_2(0)=-\ell\cos\alpha_{0} rispettivamente la posizione iniziale lungo l’asse delle x di m_1, la posizione iniziale lungo l’asse delle y di m_1, la posizione iniziale lungo l’asse delle x di m_2 e la posizione iniziale lungo l’asse delle y di m_2. Pertanto, le coordinate del centro di massa nell’istante iniziale (x_{\text{CM},0},y_{\text{CM},0}) saranno date da

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x_{\text{CM},0}=\dfrac{m_1x_1(0)+m_2x_2(0)}{m_1+m_2}\\\\ y_{\text{CM},0}=\dfrac{m_1y_1(0)+m_2y_2(0)}{m_1+m_2} \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x_{\text{CM},0}=\dfrac{m_2\ell\sin\alpha_{0}}{m_1+m_2}\\\\ y_{\text{CM},0}=\dfrac{m_2\ell\cos\alpha_{0}}{m_1+m_2}, \end{cases} \end{equation*}

dove x_\text{CM,0} e y_\text{CM,0} rappresentano rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del centro di massa all’istante t=0. La velocità del centro di massa \overrightarrow{V}_{\text{CM}}(t), nel generico istante di tempo t>0, per definizione è data da

(2)   \begin{equation*} \overrightarrow{V}_{\text{CM}}(t)=\dfrac{m_1\vec{v}_{1}(t)+m_2\vec{v}_{2}(t)}{m_1+m_2}, \end{equation*}

dove \vec{v}_1(t) e \vec{v}_2(t) sono rispettivamente le velocità di m_1 e m_2 rispetto al sistema di riferimento fisso Oxy, in un generico istante t>0.

All’istante di tempo iniziale t=0 i due corpi sono in quiete, ossia \vec{v}_1(0)=\vec{0} e \vec{v}_2(0)=\vec{0}. Pertanto l’equazione (2) diventa

(3)   \begin{equation*} \overrightarrow{V}_{\text{CM}}(0)=\vec{0}. \end{equation*}

Siano V_{\text{CM},x}(0) e V_{\text{CM},y}(0) rispettivamente le componenti lungo l’asse delle x e delle y del vettore \overrightarrow{V}_{\text{CM}}(0). Sfruttando quanto definito, l’equazione (3) può essere riscritta come

(4)   \begin{equation*} V_{\text{CM},x}(0)\,\hat{x}+V_{\text{CM},y}(0)\,\hat{y}=\vec{0}, \end{equation*}

dove \hat{x} ed \hat{y} sono i versori rispettivamente dell’asse delle x e dell’asse delle y. Dall’equazione (4) ricaviamo in particolare che la velocità orizzontale del centro di massa del sistema all’istante iniziale è nulla, ossia

(5)   \begin{equation*} V_{\text{CM},x}(0)=0. \end{equation*}

Tuttavia, abbiamo precedentemente dimostrato che il centro di massa del sistema è in quiete nella posizione x_{\text{CM},0}. Quindi segue che per un generico istante t>0 è verificata la seguente equazione

(6)   \begin{equation*} x_{\text{CM}}(t)=x_{\text{CM},0}=\dfrac{m_2\ell\sin\alpha_{0}}{m_1+m_2}, \end{equation*}

dove nel secondo passaggio abbiamo utilizzato la prima equazione del sistema (1). In altri termini la precedente equazione ci dice che il centro di massa rimane in quiete per ogni istante di tempo t\geq 0. Osserviamo che le forze esterne al sistema sono le due forze peso (che sono forze conservative) e la reazione vincolare esercitata su m_1 che però non compie lavoro essendo essa istante per istante perpendicolare alla direzione del moto di m_1. Nel sistema in esame sono presenti anche due forze interne, ossia le tensioni del filo su ciascuna massa. Tuttavia, poiché il filo risulta inestensibile, le due masse sono sempre alla stessa distanza per cui le forze interne complessivamente fanno lavoro nullo (come avviene nel caso di un corpo rigido). Infine, il moto si svolge in assenza di attrito per cui l’energia meccanica dell’intero sistema è conservata. Partendo dalla configurazione di partenza (fig.3a), il sistema in un certo istante passerà per la configurazione di allineamento dei due corpi (fig.3b), ed il corpo m_1 si sarà spostato dall’origine di x_{\text{CM},0}. Proseguendo, il filo al quale sono collegati formerà un angolo -\alpha_{0} con la verticale (fig.3c). In questa configurazione le velocità dei due corpi saranno nulle per simmetria con la configurazione iniziale (si ricordi che si conserva l’energia meccanica totale del sistema) ed il corpo m_1 si sarà spostato ancora di x_{\text{CM},0} verso destra rispetto allo step precedente. Dopodiché i due corpi passeranno nuovamente per la posizione di allineamento (fig.3d) per poi ritornare nella configurazione iniziale (fig.3e), e così via. Per quanto detto segue che il corpo m_1 compie un moto periodico lungo la guida orizzontale con un’ampiezza pari ad

    \[\boxcolorato{fisica}{ A=x_{\text{CM},0}=\dfrac{m_2\ell\sin\alpha_{0}}{m_1+m_2}.}\]

 

 

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Svolgimento punto 2.

Per calcolare i moduli delle velocità dei due corpi quando questi risultano allineati possiamo utilizzare la legge della conservazione dell’energia meccanica e della quantità di moto del centro di massa rispetto all’asse x. Consideriamo lo stesso sistema di riferimento Oxy definito nel punto 1. Inoltre, sia O il livello zero dell’energia potenziale gravitazionale come illustrato in figura 4. 

 

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 Consideriamo come configurazione iniziale quella in cui le due masse sono in quiete e la massa m_2 forma un angolo \alpha_0. L’energia meccanica del sistema E_\text{i} in questa configurazione, è data dal solo contributo gravitazionale del corpo m_2, U_\text{2,i}, ossia

(7)   \begin{equation*} E_\text{i}=U_\text{2,i}=-m_2g\ell\cos\alpha_0, \end{equation*}

mentre la quantità di moto totale del sistema lungo l’asse x, P_{\text{i},x}, è nulla come si deduce dall’equazione (5) precedentemente ottenuta, infatti

(8)   \begin{equation*} p_{\text{i},x}=(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}(0)=0. \end{equation*}

Consideriamo come configurazione finale quella in cui il filo che congiunge le due masse è perfettamente verticale (ossia l’angolo che il filo forma con la verticale è nullo). In riferimento alla configurazione finale, l’energia meccanica del sistema, E_\text{f}, è data dal contributo cinetico dei due corpi (K_1 e K_2) e dal quello gravitazionale del corpo m_2, U_\text{2,f} ossia

(9)   \begin{equation*} E_\text{f}=K_1+K_2+U_\text{2,f}=\dfrac{1}{2}m_1v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2-m_2g\ell, \end{equation*}

dove K_1 e K_2 rappresentano l’energia rispettivamente dei corpi m_1 e m_2 nella configurazione finale, mentre v_1 e v_2 sono le componenti delle velocità rispettivamente dei corpi m_1 e m_2 allo stesso istante lungo l’asse delle x. Nella configurazione finale la quantità di moto totale del sistema lungo l’asse x, p_{\text{f},x}, è data da

(10)   \begin{equation*} p_{\text{f},x}=m_1v_1+m_2v_2. \end{equation*}

Dalla conservazione dell’energia meccanica, utilizzando le equazioni (7) e (9), otteniamo

(11)   \begin{equation*} E_\text{i}=E_\text{f}\quad\Leftrightarrow\quad \boxed{-m_2g\ell\cos\alpha_0=\dfrac{1}{2}m_1v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2-m_2g\ell.} \end{equation*}

Dalla conservazione della quantità di moto lungo l’asse x, utilizzando le equazioni (8) e (10), si ha

(12)   \begin{equation*} m_1v_1+m_2v_2=0. \end{equation*}

Mettendo a sistema le equazioni (11) e (12) otteniamo che

(13)   \begin{equation*} \begin{cases} -m_2g\ell\cos\alpha_0=\dfrac{1}{2}m_1v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2-m_2g\ell\\\\ m_1v_1+m_2v_2=0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} m_1v_1^2+m_2v_2^2=2m_2g\ell(1-\cos\alpha_0)\\\\ v_1=-\dfrac{m_2}{m_1}v_2. \end{cases} \end{equation*}

Inserendo la seconda equazione del sistema (13) nella prima, si ha che

(14)   \begin{equation*} m_1\left(-\dfrac{m_2}{m_1}v_2\right)^2+m_2v_2^2=2m_2g\ell(1-\cos\alpha_0)\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{m_2^2}{m_1}v_2^2+m_2v_2^2=2m_2g\ell(1-\cos\alpha_0), \end{equation*}

da cui dividendo ambo i membri per m_2, si ottiene

(15)   \begin{equation*} \left(\dfrac{m_2}{m_1}+1\right)v_2^2=2g\ell(1-\cos\alpha_0)\quad\Leftrightarrow\quad v_2^2=\dfrac{2m_1g\ell}{m_1+m_2}(1-\cos\alpha_0). \end{equation*}

Quindi il modulo della velocità del secondo corpo \vert \vec{v}_2\vert è dato da 

    \[\boxcolorato{fisica}{ \vert \vec{v}_2\vert=\left|v_2\right|=\sqrt{\dfrac{2m_1g\ell}{m_1+m_2}(1-\cos\alpha_0)}.}\]

 

Dalla seconda equazione del sistema (13), in virtù dell’espressione di v_2 appena ottenuta, si ricava che la componente della velocità del primo corpo è pari a

(16)   \begin{equation*} v_1=-\dfrac{m_2}{m_1}\sqrt{\dfrac{2m_1g\ell}{m_1+m_2}(1-\cos\alpha_0)}=-\sqrt{\left(\dfrac{m_2}{m_1}\right)^2\dfrac{2m_1g\ell}{m_1+m_2}(1-\cos\alpha_0)}, \end{equation*}

da cui otteniamo che il modulo della velocità del primo corpo \vert \vec{v}_1\vert vale 

    \[\boxcolorato{fisica}{ \vert \vec{v}_1\vert =\left|v_1\right|=\sqrt{\dfrac{2m_2^2g\ell}{m_1(m_1+m_2)}(1-\cos\alpha_0)}.}\]

 

 


Fonte.

Problemi di fisica generale – S.Rosati e L. Lovitch.


 
 

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