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Esercizio 19  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Due punti materiali di massa m_1 = m_2 = m, fissati alla fine di un’asta rigida di massa trascurabile e lunghezza 2r, formano un angolo fisso \theta con la verticale, come in figura 1. Il sistema è tenuto in rotazione a velocità angolare di modulo, direzione e verso costante \vec{\omega} rispetto all’asse di rotazione passante per il centro di massa dell’asta, come rappresentato in figura 1. Si determini il momento angolare \vec{L} e la sua variazione rispetto al tempo d\vec{L}/d \, t rispetto al polo O indicato in figura 1.

 

 

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Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxyz orientato come in figura 2 e analizziamo il sistema fisico composto dalle due masse e dall’asta di massa trascurabile. Sia \phi l’angolo che la proiezione dell’asta nel piano xy forma con il semiasse positivo delle y, come rappresentato in figura 2.

 

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Il momento angolare totale del sistema fisico in esame rispetto al polo O, indicato con \vec{L}, è

(1)   \begin{equation*} \vec{L} = \vec{L}_1 + \vec{L}_2 = m_1\,\vec{r}_1 \wedge \vec{v}_1 + m_2\,\vec{r}_2 \wedge \vec{v}_2, \end{equation*}

dove \vec{L}_1, \vec{L}_2, \vec{r}_1, \vec{r}_2, \vec{v}_1 e \vec{v}_2 sono rispettivamente il momento angolare della massa m_1 rispetto al polo O, il momento angolare della massa m_2 rispetto al polo O, il raggio vettore della massa m_1, il vettore posizione della massa m_2, la velocità del corpo di massa m_1 e la velocità della massa m_2. Grazie a semplici considerazione geometriche dalla figura 2 si deduce che

(2)   \begin{equation*} \vec{r}_1 = r \cos \theta \,\hat{z} + r \sin\theta (\cos\phi \,\hat{y}- \sin\phi \,\hat{x}) \end{equation*}

e

(3)   \begin{equation*} \vec{r}_2 = -\vec{r}_1 = -r \cos \theta\, \hat{z} - r \sin\theta (\cos\phi\, \hat{y}- \sin\phi \,\hat{x}), \end{equation*}

dove \hat{x}, \hat{y} e \hat{z} sono rispettivamente i versori degli assi x, y e z. I corpi si muovo di moto circolare uniforme attorno l’asse di rotazione, pertanto la loro velocità angolare è pari a \vec{\omega} = \omega \, \hat{z}. Calcoliamo le velocità iniziando con \vec{v}_1 e utilizzando la relazioni geometriche descritte nelle equazioni (2), cioè

(4)   \begin{equation*}  \begin{split} \vec{v}_1 = \vec{\omega} \wedge \vec{r}_1 &= \omega \,\hat{z} \wedge \big[ r \cos \theta \,\hat{z} + r \sin\theta (\cos\phi \,\hat{y}- \sin\phi \,\hat{x})\big],\\ &=\omega r \cos \theta (\hat{z}\wedge \hat{z}) + \omega r \sin\theta \big(\cos\phi (\hat{z}\wedge\hat{y})- \sin\phi (\hat{z}\wedge \hat{x})\big),\\ & = -\omega r \sin \theta (\cos\phi \,\hat{x} + \sin \phi \,\hat{y}), \end{split} \end{equation*}

dove abbiamo usato che \hat{z}\wedge \hat{y} = -\hat{x} e che \hat{z} \wedge\hat{x} = \hat{y}. Dato che \vec{r}_1 = -\vec{r}_2 otteniamo direttamente \vec{v}_2 grazie alle proprietà del prodotto vettoriale

(5)   \begin{equation*} \vec{v}_2 = \vec{\omega} \wedge \vec{r}_2 = - \vec{\omega} \wedge \vec{r}_1 = -\vec{v}_1. \end{equation*}

Calcoliamo il primo momento angolare \vec{L}_1 utilizzando le relazioni trovate nelle equazioni (2) e (4). Abbiamo dunque

    \begin{equation*} \begin{split} \vec{L}_1 &= m\,\vec{r}_1 \wedge\vec{v}_1 = m\big[ r \cos \theta \,\hat{z} + r \sin\theta (\cos\phi \,\hat{y}- \sin\phi\, \hat{x})\big] \wedge \big[- \omega r \sin \theta (\cos\phi \,\hat{x} + \sin \phi \,\hat{y})\big]=\\ & = -m\omega r^2 \sin \theta \big[ \cos \theta \,\hat{z} + \sin\theta (\cos\phi \,\hat{y}- \sin\phi \,\hat{x})\big] \wedge \big[\cos\phi \,\hat{x} + \sin \phi\, \hat{y}\big]=\\ & = -m \omega r^2 \sin\theta \big[ \cos \theta\cos\phi \,\hat{z} + \sin\theta\cos\phi (\cos\phi \,\hat{y}- \sin\phi \, \hat{x})\big]\wedge \hat{x} \,+\\ &\qquad -m\omega r^2\sin\theta \big[ \cos\theta\sin\phi\, \hat{z} + \sin\theta\sin\phi (\cos\phi \,\hat{y}- \sin\phi \,\hat{x})\big]\wedge \hat{y} =\\ & = -m\omega r^2 \sin\theta \big( \cos \theta\cos\phi\, \hat{y} - \sin\theta\cos^2\phi\, \hat{z}\big)-m\omega r^2\sin \theta \big( -\cos\theta\sin\phi \,\hat{x} - \sin\theta \sin^2\phi \, \hat{z}\big)=\\ & = m\omega r^2\sin\theta \big[\cos\theta\sin\phi \,\hat{x} - \cos\theta \cos\phi \,\hat{y} +\sin\theta\underbrace{(\cos^2\phi + \sin^2\phi)}_{=1} \hat{z}\big]=\\ & = m\omega r^2\sin\theta \big(\cos\theta\sin\phi \,\hat{x} - \cos\theta \cos\phi \,\hat{y} +\sin\theta\, \hat{z}\big). \end{split} \end{equation*}

Definiamo la distanza del corpo di massa m_1 dall’asse z come R \coloneqq r\sin\theta, da cui la precedente equazione diventa

(6)   \begin{equation*} \vec{L}_1 = m\omega R \big(r\cos\theta\sin\phi\, \hat{x} - r\cos\theta \cos\phi \,\hat{y} +R \,\hat{z}\big). \end{equation*}

Il calcolo di \vec{L}_2 è immediato in quanto \vec{r}_2 = -\vec{r}_1 e \vec{v}_2 = -\vec{v}_1. Abbiamo dunque

(7)   \begin{equation*} \vec{L}_2 = m\,\vec{r}_2 \wedge \vec{v}_2 = m(-\vec{r}_1) \wedge (-\vec{v}_1) = m\,\vec{r}_1 \wedge \vec{v}_1 = \vec{L}_1. \end{equation*}

Sfruttando le equazioni (6) e (7) l’equazione (1) diventa

    \[\boxcolorato{fisica}{ \vec{L} = \vec{L}_1 + \vec{L}_2 = 2m\omega R \big(r\cos\theta\sin\phi\, \hat{x} - r\cos\theta \cos\phi \,\hat{y} +R \,\hat{z}\big).}\]

 

Calcoliamo ora la derivata temporale del momento angolare del sistema \vec{L}. Le quantità r, R e \theta sono costanti, mentre invece \phi = \phi(t) in quanto i corpi ruotano attorno l’asse \hat{z}. Inoltre, la variazione di questo angolo è pari al modulo della velocità angolare d\phi(t)/d\,t = \omega. Ne segue che

    \begin{equation*} \begin{split} {d\vec{L} (t)\over d \, t} &= 2m\omega R \big[r\cos\theta{d \sin \phi(t) \over d \, t} \,\hat{x} - r\cos\theta {d \cos\phi(t) \over d \, t}\,\hat{y} \big]=\\ & = 2m\omega R \big[r\cos\theta\cos \phi{d \phi(t) \over d \, t} \,\hat{x} + r\cos\theta \sin\phi {d \phi(t) \over d \, t}\,\hat{y} \big]=\\ & = 2m\omega R \big[r\omega\cos\theta\cos \phi\,\hat{x} + r\omega\cos\theta \sin\phi\, \hat{y} \big]. \end{split} \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ {d \vec{L} (t)\over d \, t} = 2m\omega^2 R \big(r\cos\theta\cos \phi\,\hat{x} + r\cos\theta \sin\phi\,\hat{y} \big).}\]

 


Osservazione.

Calcoliamo

(8)   \begin{equation*} \bigg| {d \vec{L} (t)\over d \, t} \bigg| = 2m\omega^2 R r \sqrt{\cos^2\theta\cos^2 \phi+ \cos^2\theta \sin^2\phi} =2m\omega^2Rr\sqrt{\cos^2 \theta} = 2m\omega^2Rr\cos \theta, \end{equation*}

dove nell’ultima uguaglianza si è utilizzato il fatto che per costruzione \theta\in[0;\pi/2] e pertanto \sqrt{\cos^2\theta} = \cos \theta. Inoltre, si ha

(9)   \begin{equation*} \left \vert \vec{L}\right \vert =2m\omega R\sqrt{r^2\cos^2 \theta \sin^2\phi+r^2\cos^2\theta\cos^2\phi+R^2} =2m\omega R\sqrt{r^2\cos^2\theta+R^2}. \end{equation*}

Dalle due precedenti equazioni osserviamo che il modulo del momento angolare e il modulo della derivata del momento angolare sono costanti e diversi da zero. Dunque, per il teorema del momento angolare risulta chiaro che deve essere presente un momento esterno che non fa conservare il momento angolare rispetto al polo O.