Home » Sistemi di punti materiali 26
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Esercizio 26  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Nel sistema rappresentato in figura il blocco triangolare B di angolo alla base \alpha e di massa m, poggia su un piano orizzontale ed è tenuto fermo dal rialzo \mathcal{R}; i corpi C_1 e C_2, di masse m_1 e m_2, sono collegati da un filo inestensibile di massa trascurabile, la carrucola C ruota senza attrito e ha massa trascurabile.

a) Consideriamo trascurabile l’attrito tra il blocco B e C_2. Si calcoli il valore minimo del coefficiente di attrito statico tra i corpi C_1 e C_2 necessario affinché questi, lasciati liberi con velocità nulle nella posizione di figura, rimangano in quiete, e le componenti orizzontale e verticale della reazione \vec{R} sviluppata complessivamente dal piano \mathcal{P} di appoggio e da \mathcal{R}.

b) Si supponga adesso che il sistema non sia in equilibrio, che i coefficienti di attrito dinamico tra C_1 e C_2 e tra il blocco B e C_2 valgano \mu_{1,2}=\mu e il sistema venga lasciato libero nella posizione di figura con velocità iniziali nulle. Si calcoli il modulo a dell’accelerazione di C_2 e le componenti della reazione \vec{R}.

Si supponga che sia C_1 a trascinare C_2.

 

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Svolgimento punto a).  Osserviamo il sistema composto da m_1,m_2 e m, da due sistemi di riferimento inerziali Oxy e O^\prime x^\prime y^\prime posti come in figura.

 

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Si ricorda che tutto è in quiete. Dalla seconda legge della dinamica dal sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime possiamo scrivere lungo l’asse x' per m_1 :

(1)   \begin{equation*} T_1+f_1-m_1 g \sin \alpha=0, \end{equation*}

dove f_1 è la forza di attrito statico generata tra 1 e 2, mentre lungo l’asse y^\prime

(2)   \begin{equation*} N_1=m_1 g \cos \alpha. \end{equation*}

Prendiamo nuovamente come sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime per m_2.

 

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Dalla seconda legge della dinamica possiamo scrivere lungo l’asse x^\prime per m_2:

(3)   \begin{equation*} T_2-f_1-m_2 g \sin \alpha=0, \end{equation*}

e lungo l’asse y^\prime

(4)   \begin{equation*} N_2-N_1-m_2g \cos\alpha=0. \end{equation*}

Dalla seconda legge della dinamica per il corpo m dal sistema di riferimento Oxy

 

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possiamo scrivere lungo l’asse x:

(5)   \begin{equation*} R_x+R \cos \alpha -N_2 \sin \alpha=0 \end{equation*}

e lungo l’asse y:

(6)   \begin{equation*} R_y-mg-R \sin \alpha-N_2 \cos \alpha=0. \end{equation*}

Si osserva che siccome la carrucola C è di massa trascurabile e senza attrito deve valere

    \[T_1=T_2=T.\]

Il sistema per rimanere in quiete deve soddisfare la seguente disuguaglianza

(7)   \begin{equation*} f_1 \leq N_1 \mu. \end{equation*}

Sottraiamo membro a membro (1) e (3)

    \[g \sin \alpha(m_1-m_2)-2f_1=0\]

da cui otteniamo

    \[f_1=\frac{g \sin \alpha(m_1-m_2)}{2}.\]

Sostituiamo f_1 e N_1 in (7), ottenendo

    \[\mu \geq\frac{ \tan \alpha (m_1-m_2)}{2m_1}.\]

Osserviamo che il valore minimo di \mu è pari a

    \[\boxcolorato{fisica}{\mu_{min}=\frac{ \tan \alpha (m_1-m_2)}{2m_1}. }\]

Inoltre

    \[2T=R,\]

dunque sostituendo R in (5) e (6) otteniamo

(8)   \begin{equation*} \begin{cases} R_x+2T \cos \alpha -N_2 \sin \alpha=0\\ R_y-mg-2T \sin \alpha-N_2 \cos \alpha=0 \end{cases} \end{equation*}

Sommando ora membro a membro (1) e (3) arriviamo a

    \[2T=g \sin \alpha (m_1+m_2)\]

e sostituendo 2T in (8) abbiamo

    \begin{equation*} \begin{cases} R_x+g \sin \alpha (m_1+m_2) \cos \alpha -N_2 \sin \alpha=0\\ R_y-mg-g \sin \alpha (m_1+m_2) \sin \alpha-N_2 \cos \alpha=0 \end{cases} \end{equation*}

Confrontando (2) con (4) si trova che

    \[N_2=g \cos \alpha (m_1+m_2).\]

Sostituiamo N_2 nel sistema precedentemente scritto

    \begin{equation*} \begin{cases} R_x+g \sin \alpha\cos \alpha (m_1+m_2) -g \sin \alpha \cos \alpha (m_1+m_2) =0\\ R_y-mg-g \sin \alpha (m_1+m_2) \sin \alpha-g \cos \alpha (m_1+m_2) \cos \alpha=0 \end{cases} \end{equation*}

trovando

    \[\boxcolorato{fisica}{ \begin{cases} R_x=0\\ R_y=(m+m_1+m_2)g. \end{cases}}\]

Possiamo osservare altresì che considerando il sistema composto da m_1,m_2 e m, le uniche forze esterne applicate al sistema sono R_x, R_y e Mg con M=m_1+m_2+m, quindi dalla seconda legge della dinamica abbiamo che

    \[\begin{aligned} R_x \hat{x}+R_y\hat{y}-Mg\hat{y}=M\vec{a }_{cm}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} R_x=Ma_{cm,x}\\ R_y=Mg+Ma_{cm,y} \end{cases} \end{aligned}\\\]

Poiché tutto è in quiete, segue che

    \[\begin{cases} a_{cm,x}=0\\ a_{cm,y}=0 \end{cases}\]

e concludiamo che

    \[\boxcolorato{fisica}{ \begin{cases} R_x=Ma_{cm,x}=0\\ R_y=Ma_{cm,y}+Mg=Mg=\left(m_1+m_2+m\right)g. \end{cases}}\]

 

Punto b).  Premessa importante: in questo punto b) utilizzeremo le stesse notazioni del punto a) con la differenza che f_1 e f_2 stavolta indicano le forze di attrito dinamico tra i vari corpi a contatto. Pertanto siano

  • f_1 è la forza di attrito dinamico tra m_1 e m_2;
  • f_2 è la forza di attrito dinamico tra m_2 e m.

I corpi C_1 e C_2 vengono messi in movimento, con C_1 che trascina C_2.

 

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È importante verificare se

(9)   \begin{equation*}  -f_2 \cos \alpha+R\cos \alpha-N_2 \sin \alpha < 0 \end{equation*}

Osserviamo che la disequazione (9) implica che

(10)   \begin{equation*} R_x>0\end{equation*}

Facciamo l’ipotesi che la (9) sia verificata e dunque che anche (10) valga.

Dalla seconda legge della dinamica dal sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime

 

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possiamo scrivere lungo l’asse x^\prime per m_1:

(11)   \begin{equation*}  -T_1+m_1 g \sin \alpha-f_1=m_1a_1 \end{equation*}

e lungo l’asse y^\prime:

(12)   \begin{equation*}  N_1=m_1 g \cos \alpha. \end{equation*}

Dalla seconda legge della dinamica dal sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime

 

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possiamo scrivere lungo l’asse x^\prime per m_2:

(13)   \begin{equation*} -T_2+f_1+f_2+m_2 g \sin \alpha=-m_2a_2. \end{equation*}

e lungo l’asse y^\prime:

(14)   \begin{equation*} N_2-N_1-m_2g \cos\alpha=0. \end{equation*}

Poiché il filo è inestensibile e di massa trascurabile e la carrucola ha massa e attrito trascurabile, comporta che

    \begin{equation*} \begin{cases} T_2=T_1=T\\ a_2=a_1=a \end{cases} \end{equation*}

Inoltre ricordiamo che

    \begin{equation*} \begin{cases} f_1=N_1\mu\\ f_2=N_2\mu\\ N_1=m_1g\cos \alpha\\ N_2=m_2g \cos \alpha+m_1g\cos \alpha. \end{cases} \end{equation*}

Sottraendo membro a membro la (11) e la (13) e tenendo conto di quanto appena detto si ottiene

    \[\begin{aligned} &m_1g\sin \alpha-2f_1-f_2-m_2g \sin \alpha=(m_1+m_2)a\quad \Leftrightarrow \quad \\\\ &\Leftrightarrow \quad m_1g\sin \alpha -2N_1\mu-N_2\mu-m_2g\sin \alpha=a(m_1+m_2)\quad \Leftrightarrow \quad\\ \\ &\Leftrightarrow \quad m_1g\sin \alpha -2m_1g \mu\cos \alpha- g\mu \cos \alpha (m_2+m_1) -m_2g \sin \alpha =a(m_1+m_2) \quad \Leftrightarrow \quad \\ \\ & \Leftrightarrow \quad m_1g\sin \alpha -2m_1g \mu\cos \alpha- m_2 g\mu \cos \alpha- m_1g\mu \cos \alpha-m_2g \sin \alpha =a(m_1+m_2)\quad \Leftrightarrow \quad\\ \\ &\Leftrightarrow \quad m_1g\sin \alpha -3m_1g \mu\cos \alpha- m_2 g\mu \cos \alpha-m_2g \sin \alpha =a(m_1+m_2)\quad \Leftrightarrow \quad \\ \\ &\Leftrightarrow \quad g \sin \alpha(m_1-m_2)-\mu g \cos \alpha (3m_1+m_2) =a(m_1+m_2), \end{aligned}\]

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{a=\dfrac{g\sin \alpha (m_1-m_2)-\mu g \cos \alpha (3m_1+m_2)}{m_1+m_2}.}\]

 

Ora calcoliamo la reazione \vec{R}=R_x\hat{x}+R_y\hat{y}.
Dalla seconda legge della dinamica osservando dal sistema di riferimento inerziale Oxy per il sistema composto da m_1,m_2 e m possiamo scrivere

    \[R_x\hat{x}+(R_y-Mg)\hat{y}=M\vec{a}_{cm}=(m_1\vec{a}_{1}+m_2\vec{a}_{2})\]

Dalla geometria del problema osserviamo che

    \[\begin{aligned} &\vec{a}_{1}=a\cos \alpha\, \hat{x}-a\sin \alpha\, \hat{y}; \\ &\vec{a}_{2}=-a\cos \alpha\, \hat{x}+a\sin \alpha \, \hat{y} . \end{aligned}\]

Quindi

    \[R_x\hat{x}+(R_y-Mg)\hat{y}=a\cos \alpha(m_1-m_2)\hat{x}+a\sin \alpha (m_2-m_1)\hat{y}\]

e concludiamo che

    \[\boxcolorato{fisica}{\vec{R}=R_x\hat{x}+R_y\hat{y}=a\cos \alpha(m_1-m_2)\hat{x}+\left(Mg+a\sin \alpha (m_2-m_1)\right)\hat{y}.}\]

 

Nel caso in cui non fosse valida la (11) ovviamente varrebbe che

    \[\vec{R}=R_y\hat{y}=(Mg+a\sin \alpha (m_2-m_1))\hat{y}.\]

 

Fonte: Problemi di fisica generale – S.Rosati & L. Lovitch.