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La nozione di limite permette di rispondere a tale domanda in maniera rigorosa. La chiave consiste appunto nel dare un significato preciso ai verbi “si avvicina”, in modo che i risultati siano coerenti con ciò che ci si aspetta.
È importante osservare che uno degli aspetti più importanti di tale teoria consiste nel definire il significato di questi concetti quando non appartiene al dominio di
, cioè quando
non esiste.
L’obiettivo di trattare problemi come quelli posti sopra riveste notevole importanza pratica. La funzione potrebbe infatti essere la temperatura di una barretta in funzione della posizione
, oppure la legge oraria di un corpo in movimento, che ne fornisce la posizione in funzione del tempo. Come anticipato, tali leggi potrebbero non essere definite in un determinato punto
, che potrebbe essere rispettivamente un estremo della barretta o un istante temporale in cui il modello fisico che ha generato la descrizione matematica
cessa di essere valido.
Risulta pertanto naturale studiare il comportamento del fenomeno fisico “in prossimità” di tali punti patologici, ponendosi dunque domande come “a cosa si avvicina la temperatura avvicinandosi all’estremo ?” oppure “verso quale posizione si avvicina il corpo per
che si avvicina al tempo
?”.
Vedremo che tutto ciò può essere ottenuto grazie alla nozione di limite. Negli esercizi si mostreranno numerosi esempi svolti sul significato di tale concetto illustrandolo nei vari casi che possono presentarsi. Ci occuperemo principalmente della verifica di un limite, cioè di mostrare che la definizione formale si applica ai casi proposti, in cui viene preliminarmente fornita al lettore la conoscenza del “valore limite” assunto da . Si tratta cioè di un modo per familiarizzare con la definizione e verificare che effettivamente essa fornisce le risposte che, intuitivamente, ci aspettiamo da tale strumento.
Questa attività si contrappone, per certi versi, al calcolo dei limiti, in cui non si è a conoscenza del valore limite della funzione e lo scopo è quindi di determinarlo; quest’ultima attività è dunque una sorta di passo preliminare per la verifica. Ciononostante, spesso nella pratica è possibile servirsi di teoremi che permettono di effettuare entrambi i punti contemporaneamente. Tali argomenti sono tipicamente oggetto di uno studio successivo, che sarà quindi trattato in altre dispense, come la dispensa di esercizi sui limiti notevoli, esercizi sulle forme indeterminate e esercizi misti sui limiti.
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-563061f31f78294986510095e759d908_l3.png)
Sia la funzione costante definita da
per ogni
.
- Provare che
, per qualsiasi
;
- Provare che
;
- Provare che
.
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Sia
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Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:
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Si verifichino, mediante la definizione, i seguenti limiti relativi alla funzione identità definita da
per ogni
:
-
, per qualsiasi
;
-
;
-
.
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47c5ad7bd42823dbf18c33db4aa83798_l3.png)
Si verifichino, mediante la definizione, i seguenti limiti:
-
;
-
;
-
.
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-02c774cbab3bacd356e8b872b73c0fd4_l3.png)
Sia . Si provino i seguenti limiti applicando la definizione:
-
;
-
;
-
.
Cosa si può dire invece nel caso ?
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Verificare, mediante la definizione, i seguenti limiti:
-
;
-
;
-
.
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47c5ad7bd42823dbf18c33db4aa83798_l3.png)
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47c5ad7bd42823dbf18c33db4aa83798_l3.png)
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47c5ad7bd42823dbf18c33db4aa83798_l3.png)
Sia
![Rendered by QuickLaTeX.com A \subseteq \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1977f65b60ff7f8193af26b8e6854e67_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f \colon A \to \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-083eb428536fa0f27002359b923a248a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f085b7362b2d48f4abd9e2dd9798a6d1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eff0cb8a66196013088fda03a43ee0b3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim_{x \to x_0} f(x)=+\infty](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-98fd078a9e4b22f12e8b05ea4bb6a0ab_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-02c774cbab3bacd356e8b872b73c0fd4_l3.png)
Provare, usando la definizione, che il limite
non esiste.
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-02c774cbab3bacd356e8b872b73c0fd4_l3.png)
Dimostrare che, per ogni
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0 \in \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f1d41dffa1b2df6910d682c790162c58_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47c5ad7bd42823dbf18c33db4aa83798_l3.png)
Verificare, mediante la definizione, che vale
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47c5ad7bd42823dbf18c33db4aa83798_l3.png)
Sia . Verificare, mediante la definizione, i seguenti limiti:
-
per ogni
;
-
.
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47c5ad7bd42823dbf18c33db4aa83798_l3.png)
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47c5ad7bd42823dbf18c33db4aa83798_l3.png)
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47c5ad7bd42823dbf18c33db4aa83798_l3.png)
Verificare, mediante la definizione, i seguenti limiti:
-
;
-
.
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47c5ad7bd42823dbf18c33db4aa83798_l3.png)
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:
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Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:
Cosa si può dire invece di ?