Elettromagnetismo: testi degli esercizi svolti

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Testi degli esercizi sui moti relativi

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il campo magnetico $\vec{B}$ sull’asse di un cilindro di raggio $R$ e lunghezza $d$ , magnetizzato uniformemente con magnetizzazione $\vec{M}$ e in particolare il campo magnetico $\vec{B}_O$ nel centro $O$ .

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Figura 1: schema del problema.

Svolgimento esercizio 1.

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Un condensatore cilindrico isolato di raggio interno $R_1=1\,\text{cm}$ , raggio esterno $R_2=2$ cm e altezza $h=10$ cm è caricato con carica $Q=5\cdot 10^{-12} \text{C}$ . Successivamente, un guscio dielettrico di costante dielettrica $\kappa=2$ avente gli stessi raggi del condensatore viene parzialmente inserito tra le armature come mostrato in figura. Calcolare:

a) il campo elettrico tra le armature del condensatore in funzione della quota $y$ ;

b) di quanto bisogna inserire il dielettrico affinché la d.d.p. ai capi del condensatore sia pari a $\Delta V'=\text{0,4} \text{V}$ .

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Figura 2: schema del problema.

Svolgimento esercizio 2.

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Due fili conduttori paralleli e di lunghezza indefinita, posti a distanza $4a$ , sono percorsi dalle correnti $I_1=2\, \text{A}$ e $I_2=2\,\text{A}$ , dirette rispettivamente in verso entrante ed uscente rispetto al piano della figura 3. A distanza $2a$ (con $a= 10 \, \text{cm}$ ) dal punto intermedio $P$ tra i due fili, è presente un terzo filo di lunghezza indefinita percorso dalla corrente $I_3$ diretta in verso uscente. Calcolare:

a) la forza $F$ che agisce su un tratto di lunghezza $L=20$ cm del filo percorso dalla corrente $I_3=4\, \text{A}$ ;

b) il modulo del campo di induzione magnetica $B$ generato dai tre fili nel punto $P$ .

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Figura 3: schema del problema.

Svolgimento esercizio 3.

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Una lastra indefinita di materiale dielettrico omogeneo ed isotropo e di spessore pari a $d=2\,\text{cm}$ , viene inserita in una zona dello spazio in cui è presente un campo elettrico uniforme $E_0=3\,\text{V/m}$ orientato ortogonalmente alle superfici limite come mostrato in figura 4. Noto il modulo del vettore intensità di polarizzazione $P=\text{8,85}\cdot 10^{-12}\,\text{C/m}^2$ , calcolare:

a) la differenza di potenziale tra le superfici limite del dielettrico;

b) il valore della costante dielettrica $\varepsilon_r$ .

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Figura 4: schema del problema.

Svolgimento esercizio 4.

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Un cilindro cavo di raggio interno $r_1=10\,\text{cm}$ , raggio esterno $r_2=15\,\text{cm}$ e altezza $h=1\,\text{cm}$ è costituito da un materiale conduttore di resistività $\rho=\text{2,7}\cdot 10^{-7}\,\Omega\cdot\text{m}$ . Il cilindro viene posto in una regione in cui è presente un campo magnetico uniforme e variabile nel tempo con la legge $B(t)=\alpha t^2$ (con $\alpha=\text{0,5}\,\text{T/s}^2$ ) nell’intervallo $[0, T]$ e diretto come in figura 5. Sapendo che l’asse del cilindro coincide con l’asse di simmetria del campo magnetico, calcolare al tempo $T=3\,\text{s}$ :

a) la corrente complessiva che circola nel cilindro specificandone il verso;

b) la potenza dissipata nel cilindro.

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Figura 5: schema del problema.

Svolgimento esercizio 5.

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Il sistema di condensatori accanto è a regime con i condensatori carichi secondo le differenze di potenziale riportate in figura quando ad un certo istante viene chiuso l’interruttore. Una volta ristabilita la nuova condizione di equilibrio si osserva che la carica presente nel condensatore $C_2$ è nulla. Calcolare:

a) il valore della capacità $C_2$ ;

b) l’energia dissipata sulla resistenza.

I dati del problema sono: $C_1=C=3 \,\mu$ F, $C_3=2C$ , $C_4=4C$ , $\Delta V_1=10$ V, $\Delta V_2=20$ V.

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Figura 6: schema del problema.

Svolgimento esercizio 6.

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Una spira quadrata di lato $a=80\,\text{cm}$ è costituita da due resistenze di valore $2R$ e $R=5\,\Omega$ disposte come in figura. La spira trasla con velocità costante $v=\text{0,01}\,\text{m/s}$ a una distanza $a$ da un filo rettilineo infinito, parallelamente ad esso. Nel filo scorre una corrente dipendente dal tempo $i(t)=\pi t$ . Calcolare l’energia dissipata sulla spira nell’intervallo $[0, T]$ con $T = 2\,\text{s}$ .

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Figura 7: schema del problema.

Svolgimento esercizio 7.

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Un solenoide ideale di raggio $a=30\,\text{cm}$ , lunghezza $h=1\,\text{m}$ e $N_1=1000$ avvolgimenti è percorso da una corrente variabile nel tempo $i_1 = kt$ (con $k = 0.1\,\text{A/s}$ ), nell’intervallo $[0, T]$ (con $T= \text{0,3}\,\text{s}$ ). Il solenoide si trova inserito all’interno di un secondo solenoide di raggio $b>a$ (con $b= 50\,\text{cm}$ ), lunghezza $h$ , $N_2=2000$ avvolgimenti di resistenza elettrica complessiva $R_2=8\,\Omega$ . Tenendo conto anche dei fenomeni di autoinduzione, calcolare al tempo $T$

a) la corrente che scorre nel solenoide esterno;

b) l’energia magnetica del sistema.

Trattare i due tratti di solenoide, nell’approssimazione di solenoide indefinito.

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Figura 8: schema del problema.

Svolgimento esercizio 8.

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Nel piano $xy$ riportato accanto sono disposti due fili indefiniti, passanti per l’origine, uniformemente carichi rispettivamente con densità lineare di carica $+\lambda$ e $-\lambda$ (con $\lambda= 4\cdot 10^{-12}\,\text{C/m}$ ) disposti in modo da formare lo stesso angolo $\alpha=\pi/6$ con l’asse $x$ . Calcolare:

a) la differenza di $y$ potenziale tra i punti $A=(a,0)$ e $B=(2a,-a/2)$ (con $a=5\,\text{cm}$ ), entrambi disposti all’interno del piano compreso tra i due fili.

b) Successivamente viene disposto un dipolo elettrico nel punto A con momento di modulo $p=10^{-3}\,\text{mC}$ , orientato nel verso positivo dell’asse delle $x$ . Calcolare il momento meccanico agente sul dipolo.

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Figura 9: schema del problema.

Svolgimento esercizio 9.

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Una carica positiva è distribuita lungo una circonferenza di raggio $R$ , posta nel piano $xy$ col centro nell’origine, con una densità lineare non uniforme data da $\lambda=\lambda_0 \vert \sin \phi \vert$ dove $\phi$ è l’angolo individuato dal punto rispetto all’asse $x$ e $\lambda_0=costante\,\text{C/m}$ . Si determini:
a) il potenziale $V$ e il campo elettrico $E$ in un generico punto dell’asse $x$ ;
b) il valore numerico massimo del potenziale $V$ .

Svolgimento esercizio 10.

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ .Un pendolo è costituito da una pallina metallica di massa $m$ appesa ad un filo conduttore rigido, inestensibile, di lunghezza $\ell$ , di massa e resistenza elettrica trascurabili. La pallina striscia senza attrito su una guida metallica circolare, chiudendo così il circuito elettrico costituito da un generatore di corrente continua di f.e.m. $\varepsilon$ , una resistenza $R$ ed il pendolo di cui sopra, tutti disposti in serie fra di loro.Sapendo che il pendolo è immerso in un campo magnetico uniforme, di intensità $B$ , diretto perpendicolarmente al piano di oscillazione (vedi figura), si determini:
a) la forza magnetica agente sul pendolo, in funzione della sua velocità angolare;
b) l’angolo $\theta_0$ della posizione di equilibrio del pendolo;
c) l’equazione differenziale che descrive il moto del pendolo.

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Figura 10: schema del problema.

Svolgimento esercizio 11.

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Nel circuito di figura è $C=30\,\text{nF}$ , $R_1=1\,\text{M}\Omega$ , $R_2=5\,\text{k}\Omega$ ; la f.e.m. del generatore varia nel tempo con la legge $\mathscr{E}(t)=V_1+V_2\sin\left(\omega t\right)+V_3\cos\left(2\omega t\right)$ , dove $V_1=10\,\text{V}$ , $V_2=40\,\text{V}$ , $V_3=30\,\text{V}$ , mentre la frequenza è $\nu=50\,\text{Hz}$ . Si calcoli l’intensità di corrente erogata dal generatore, in funzione del tempo, in condizioni di regime.

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Figura 11: schema del problema.

Svolgimento esercizio 12.

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Nella figura 12 una bacchetta di plastica con carica uniformemente distribuita $Q = -\text{25,6} \, \text{pC}$ , è stata piegata a forma di arco di circonferenza di raggio $R = \text{3,71} \, \text{cm}$ e angolo al centro di $120^\circ$ . Con $V = 0$ all’infinito, qual è il potenziale elettrico nel punto $P$ , centro di curvatura della bacchetta?

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Figura 12: schema del problema.

Svolgimento esercizio 13.

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Si consideri il circuito in figura.

Si calcoli:

a) l’intensità efficace $i_{\text{eff}}$ della corrente che arriva al condensatore;

b) lo sfasamento tra tale corrente e la f.e.m. del generatore;

c) la carica massima posseduta dal condensatore.
Si consideri lo schema in figura con i seguenti dati numerici: $\varepsilon_{\text{\footnotesize{eff}}}=220\,\text{V}$ , $f=10^3\,\text{Hz}$ la frequenza, $R_1=1k \,\Omega$ , $R_2=R_3=R_4=5k\Omega$ , $R=500 \,\Omega$ $L=\text{0,3}\,\text{H}$ e $C=200\,\text{nF}$ .

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Figura 13: schema del problema.

Svolgimento esercizio 14.

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un filo sottile e rigido, uniformemente carico con densità di carica lineare $\lambda$ positiva, è sagomato in modo da formare due tratti rettilinei di lunghezza $2\ell$ ( $\ell>0$ ed è misutato in metri) ortogonali tra loro e raccordati da un quarto di circonferenza di raggio $R$ , con $R \ll 2\ell$ , e centro $O$ . Ricavare l’espressione, nel vuoto, del campo elettrostatico nel punto $O$ .

Figura 14: schema dell’esercizio.

Svolgimento esercizio 15.

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due cariche puntiformi uguali e positive, entrambe di valore $+q$ , sono poste nei punti

$A\equiv(a,0,0), \qquad B\equiv(-a,0,0).$

Determinare il modulo del campo elettrico totale $\lvert \vec E(P)\rvert$ nei punti $P$ appartenenti alla retta $r$ definita come intersezione dei vincoli