Esercizio 1. Calcolare il campo magnetico
sull’asse di un cilindro di raggio
e lunghezza
, magnetizzato uniformemente con magnetizzazione
e in particolare il campo magnetico
nel centro
.
Svolgimento. Un modo per risolvere il problema consiste nel pensare al cilindro come a un insieme infinito di spire aventi spessore infinitesimo .
Procediamo dunque andando ad isolare ciascuna spira e a calcolare il campo magnetico lungo il suo asse; dal momento che non sono presenti correnti di conduzione, e poichè il problema impone che il vettore magnetizzazione sia uniforme, l’unica corrente che si deve considerare è la corrente di superficie
. Dalla letteratura sappiamo che la densità di corrente superficiale è legata al vettore di polarizzazione magnetica secondo la relazione che segue:
(1)
dove con si indica il versore perpendicolare alla superficie lungo la quale scorre la corrente
. Scegliamo un sistema di riferimento
con asse
coincidente con l’asse di simmetria del solenoide e origine
posizionato nel centro della base del cilindro che si vede partendo da sinistra osservando la prima figura; pertanto il vettore di magnetizzazione
è diretto lungo l’asse delle
, e applicando la regola della mano destra, si ottiene che il vettore
è tangente alla superficie del cilindro. Una volta trovata la densità di corrente
è possibile ricavare il modulo della corrente
, ossia il valore analitico della corrente amperiana superficiale che scorre lungo una spira di spessore
. In particolare si ottiene:
(2)
Nella seconda figura viene rappresentato il campo magnetico prodotto dalla spira, avente centro di coordinate , in un generico punto dell’asse di coordinate
.
Il campo magnetico infinitesimo della spira nel punto
è
(3)
da cui per ottenere il campo magnetico del solenoide nel punto è necessario sommare i contributi di tutte le infinite spire che fanno parte del solenoide. Pertanto abbiamo:
dove in si è operata la seguente sostituzione
; si osserva il seguente fatto
oppure, in modo equivalente, si può procedere come segue
pertanto, usando quanto ottenuto, si ha
che è il campo magnatico del solenoide nel generico punto .
Posto si ottiene: