Esercizio 1 – Esercizi misti elettromagnetismo

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Esercizio 1. $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare il campo magnetico $\vec{B}$ sull’asse di un cilindro di raggio $R$ e lunghezza $d$ , magnetizzato uniformemente con magnetizzazione $\vec{M}$ e in particolare il campo magnetico $\vec{B}_O$ nel centro $O$ .

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Svolgimento. Un modo per risolvere il problema consiste nel pensare al cilindro come a un insieme infinito di spire aventi spessore infinitesimo $dz$ .

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Procediamo dunque andando ad isolare ciascuna spira e a calcolare il campo magnetico lungo il suo asse; dal momento che non sono presenti correnti di conduzione, e poichè il problema impone che il vettore magnetizzazione $\vec{M}$ sia uniforme, l’unica corrente che si deve considerare è la corrente di superficie $i_{s,m}$ . Dalla letteratura sappiamo che la densità di corrente superficiale è legata al vettore di polarizzazione magnetica secondo la relazione che segue:

(1) $\begin{equation*} \vec{J}_{s,m}=\vec{M}\wedge\hat{n} \end{equation*}$

dove con $\hat{n}$ si indica il versore perpendicolare alla superficie lungo la quale scorre la corrente $i_{s,m}$ . Scegliamo un sistema di riferimento $0xyz$ con asse $z$ coincidente con l’asse di simmetria del solenoide e origine $O$ posizionato nel centro della base del cilindro che si vede partendo da sinistra osservando la prima figura; pertanto il vettore di magnetizzazione $\vec{M}$ è diretto lungo l’asse delle $z$ , e applicando la regola della mano destra, si ottiene che il vettore $\vec{J}_{s,m}$ è tangente alla superficie del cilindro. Una volta trovata la densità di corrente $\vec{J}_{s,m}$ è possibile ricavare il modulo della corrente $i_{s,m}$ , ossia il valore analitico della corrente amperiana superficiale che scorre lungo una spira di spessore $dz$ . In particolare si ottiene:

(2) $\begin{equation*} i_{s,m}=J_{s,m}\,dz=M\,dz. \end{equation*}$

Nella seconda figura viene rappresentato il campo magnetico prodotto dalla spira, avente centro di coordinate $(a,0,0)$ , in un generico punto dell’asse di coordinate $(b,0,0)$ .

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Il campo magnetico infinitesimo $d{B}$ della spira nel punto $(b,0,0)$ è

(3) $\begin{equation*} dB=\dfrac{\mu_0R^2\,di_{s,m}}{2\left(\left(b-z\right)^2+R^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\dfrac{\mu_0MR^2}{2\left(\left(b-z\right)^2+R^2\right)^{\frac{3}{2}}}dz, \end{equation*}$

da cui per ottenere il campo magnetico del solenoide nel punto $(b,0,0)$ è necessario sommare i contributi di tutte le infinite spire che fanno parte del solenoide. Pertanto abbiamo:

$\begin{aligned} B(b&)=\int_{0}^{d}\dfrac{\mu_0MR^2}{2\left(\left(b-z\right)^2+R^2\right)^{\frac{3}{2}}}dz=\dfrac{\mu_0MR^2}{2}\int_{0}^{d}\dfrac{1}{\left(\left(b-z\right)^2+R^2\right)^{\frac{3}{2}}}dz=\dfrac{\mu_0MR^2}{2R^3}\int_{0}^{d}\dfrac{1}{\left(\left(\dfrac{b-z}{R}\right)^2+1\right)^{\frac{3}{2}}}dz=\\ &=\dfrac{\mu_0M}{2R}\int_{0}^{d}\dfrac{1}{\left(\left(\dfrac{b-z}{R}\right)^2+1\right)^{\frac{3}{2}}}dz\overset{\clubsuit}{=}-\dfrac{\mu_0M}{2R}\int_{\frac{b}{R}}^{\frac{b-d}{R}}\dfrac{R}{\left(1+t^2\right)^{\frac{3}{2}}}dt=-\dfrac{\mu_0M}{2}\int_{\frac{b}{R}}^{\frac{b-d}{R}}\dfrac{1}{\left(1+t^2\right)^{\frac{3}{2}}}dt, \end{aligned}$

dove in $\clubsuit$ si è operata la seguente sostituzione $\dfrac{b-z}{R}=t$ ; si osserva il seguente fatto

$\begin{aligned} &\int\dfrac{1}{\left(1+t^2\right)^{\frac{3}{2}}}dt=\int\dfrac{\dfrac{1}{t^3}}{\left(1+\dfrac{1}{t^2}\right)^{\frac{3}{2}}}dt=-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{-\dfrac{2}{t^3}}{\left(1+\dfrac{1}{t^2}\right)^{\frac{3}{2}}}dt=-\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{t^2}\right)^{-\frac{1}{2}}}{-\dfrac{1}{2}}+\text{costante}=\\ &=\left(\dfrac{t^2+1}{t^2}\right)^{-\frac{1}{2}}+\text{costante}=\left(\dfrac{t^2}{t^2+1}\right)^{\frac{1}{2}}+\text{costante}=\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}+\text{costante} \end{aligned}$

oppure, in modo equivalente, si può procedere come segue

$\begin{aligned} \int\dfrac{1}{\left(1+t^2\right)^\frac{3}{2}}dt&=\int\dfrac{1+t^2-t^2}{\left(1+t^2\right)^\frac{3}{2}}dt=\int\dfrac{1+t^2}{\left(1+t^2\right)^\frac{3}{2}}dt-\int\dfrac{ t^2}{\left(1+t^2\right)^\frac{3}{2}}dt=\\ &=\int\dfrac{1}{\left(1+t^2\right)^\frac{1}{2}}dt-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2t}{\left(1+t^2\right)^\frac{3}{2}}\cdot t \,dt=\\ &=\int\dfrac{1}{\left(1+t^2\right)^\frac{1}{2}}dt-\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{2t}{\left(1+t^2\right)^\frac{1}{2}}-\int-\dfrac{2}{\left(1+t^2\right)^\frac{1}{2}}dt\right)=\\ &=\int\dfrac{1}{\left(1+t^2\right)^\frac{1}{2}}dt+\dfrac{t}{\left(1+t^2\right)^\frac{1}{2}}-\int\dfrac{1}{\left(1+t^2\right)^\frac{1}{2}}dt+\text{costante}=\\ &=\dfrac{t}{\left(1+t^2\right)^\frac{1}{2}}+\text{costante} \end{aligned}$

pertanto, usando quanto ottenuto, si ha

$\begin{aligned} B(b)&=-\dfrac{\mu_0M}{2}\int_{\frac{b}{R}}^{\frac{b-d}{R}}\dfrac{1}{\left(1+t^2\right)^{\frac{3}{2}}}dt=-\dfrac{\mu_0M}{2}\dfrac{t}{\left(1+t^2\right)^\frac{1}{2}}\bigg\vert^{\frac{b-d}{R}}_{\frac{b}{R}}=\\ &=-\dfrac{\mu_0M}{2}\left(\dfrac{\dfrac{b-d}{R}}{\left(1+\left(\dfrac{b-d}{R}\right)^2\right)^\frac{1}{2}}-\dfrac{\dfrac{b}{R}}{\left(1+\left(\dfrac{b}{R}\right)^2\right)^\frac{1}{2}}\right)=\\ &=\dfrac{\mu_0M}{2}\left(\dfrac{\left(d-b\right)}{\left(R^2+\left(d-b\right)^2\right)^{\frac{1}{2}}}+\dfrac{b}{\left(R^2+b^2\right)^{\frac{1}{2}}}\right) \end{aligned}$

che è il campo magnatico del solenoide nel generico punto $(b,0,0)$ .
Posto $b=\dfrac{d}{2}$ si ottiene:

$\begin{aligned} B\left(\dfrac{d}{2}\right)&=\dfrac{\mu_0M}{2}\left(\dfrac{\left(d-\dfrac{d}{2}\right)}{\left(R^2+\left(d-\dfrac{d}{2}\right)^2\right)^{\frac{1}{2}}}+\dfrac{\dfrac{d}{2}}{\left(R^2+\left( \dfrac{d}{2}\right)^2\right)^{\frac{1}{2}}}\right)=\\ &=\dfrac{\mu_0M}{2}\left(\dfrac{\dfrac{d}{2}}{\left(R^2+\left(\dfrac{d}{2}\right)^2\right)^{\frac{1}{2}}}+\dfrac{\dfrac{d}{2}}{\left(R^2+\left( \dfrac{d}{2}\right)^2\right)^{\frac{1}{2}}}\right)=\\ &=\dfrac{\mu_0M}{2}\left(\dfrac{\dfrac{2d}{2}}{\left(R^2+\left(\dfrac{2d}{2}\right)^2\right)^{\frac{1}{2}}}\right)=\dfrac{\mu_0M}{2}\left(\dfrac{2d}{\left(4R^2+d^2\right)^{\frac{1}{2}}}\right)=\\ &=\dfrac{\mu_0Md}{\left(4R^2+d^2\right)^{\frac{1}{2}}}. \end{aligned}$