Esercizio 7 – Esercizi misti elettromagnetismo

Esercizi Misti Elettromagnetismo

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Esercizio 6.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Una spira quadrata di lato a=80 cm è costituita da due resistenze di valore 2R e R=5\,\Omega disposte come in figura. La spira trasla con velocità costante v=0,01 m/s a una distanza a da un filo rettilineo infinito, parallelamente ad esso. Nel filo scorre una corrente dipendente dal tempo i(t)=\pi t. Calcolare l’energia dissipata sulla spira nell’intervallo [0, T] con T = 2 s.

 

 

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Svolgimento.  Il filo percorso da corrente genera un campo magnetico che dipende dal tempo in quanto la corrente è variabile. Il suo modulo è dato dalle legge di Biot-Savart

(1)   \begin{equation*} B(r,t) = {\mu_0\over 2\pi r}i(t) \end{equation*}

dove r è la distanza dal filo. Le linee di campo sono circolari attorno al filo e il verso è uscente dal piano della spira. A questo punto, bisogna fare alcune considerazioni: la velocità a cui si muove la spira è parallela al verso in cui scorre la corrente, pertanto avremo che la spira rimane sempre alla stessa distanza dal filo; ciò è di particolare rilevanza perchè indica che una variazione del flusso di campo magnetico non può dipendere dalla distanza tra la spira e il filo. Tuttavia i punti all’interno della spira risentiranno di un campo magnetico diverso poichè la loro distanza r dal filo è compresa tra a e 2a sia in orizzontale che in verticale. Da queste considerazioni possiamo dedurre che per trovare il flusso che attraversa la spira dovremo integrare il flusso infinitesimo di un rettangolino di base a e altezza dr sull’intervallo appena discusso. Il flusso infinitesimo sarà:

(2)   \begin{equation*} d\Phi (B(r))= B(r)a\,dr \end{equation*}

Da cui segue che il flusso totale è.

(3)   \begin{equation*} \Phi (B) = \int_{a}^{2a}d\Phi (B(r)) = a \int_{a}^{2a} B(r)\,d r= {a\mu_0\over 2\pi }i(t)\int_{a}^{2a} {1\over r}\,d r={a\mu_0\over 2\pi }i(t)\ln (2). \end{equation*}

Derivando il flusso rispetto al tempo possiamo calcolare la forza elettromotrice indotta utilizzando la legge di Faraday

(4)   \begin{equation*} |\Delta V(t)|=\left \vert {d\Phi (B)\over d t}\right \vert = {a\mu_0\over 2\pi }\ln(2)\,{di(t)\over dt}={a\mu_0\over 2\pi }\ln(2)\,\pi={a\mu_0\over 2}\ln(2). \end{equation*}

Da notare che la forza elettromotrice indotta non dipende dal tempo, quindi è costante. La resistenza equivalente della spira è data da

(5)   \begin{equation*} R_{eq}= R_1+R_2 = 3R. \end{equation*}

Utilizziamo ora la prima legge di Ohm per ricavare la corrente i nella spira

(6)   \begin{equation*} i= {|\Delta V|\over R_{eq}}={a\mu_0\over 6R}\ln(2). \end{equation*}

La potenza istantanea erogata dalla forza elettromotrice è

(7)   \begin{equation*} P=\dfrac{dU}{dt}=\Delta V \, i. \end{equation*}

Integriamo P tra 0 e T

(8)   \begin{equation*} U_t=\int_{0}^{T}P\,dt=\int_{0}^{T}\Delta V \, i\,dt=\int_{0}^{T}\left({a\mu_0\over 2}\ln(2)\right)\left({a\mu_0\over 6R}\ln(2)\right)dt=\dfrac{a^2\mu^2_0\ln^2 2}{12R}\int_{0}^{T}dt=\dfrac{a^2\mu^2_0\,T\ln^2 2}{12R}. \end{equation*}

Concludiamo con la seguente soluzione

    \[\boxcolorato{fisica}{ U = \dfrac{a^2\mu^2_0\,T\ln^2 2}{12R}= 1,6\cdot 10^{-14}\,\text{J}.}\]

 

 

Fonte: Esercizio tratto dagli esami di fisica 2 del professore Claudio Verona.