Esercizio 9 – Esercizi misti elettromagnetismo

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Esercizio 9. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Nel piano $xy$ riportato accanto sono disposti due fili indefiniti, passanti per l’origine, uniformemente carichi rispettivamente con densità lineare di carica $+\lambda$ e $-\lambda$ (con $\lambda= 4\cdot 10^{-12}$ C/m) disposti in modo da formare lo stesso angolo $\alpha=\pi/6$ con l’asse $x$ . Calcolare:

a) la differenza di $y$ potenziale tra i punti $A=(a,0)$ e $B=(2a,-a/2)$ (con $a=5$ cm), entrambi disposti all’interno del piano compreso tra i due fili.

b) Successivamente viene disposto un dipolo elettrico nel punto A con momento di modulo $p=10^{-3}$ mC, orientato nel verso positivo dell’asse delle $x$ . Calcolare il momento meccanico agente sul dipolo.

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Svolgimento punto a. Lo spazio è perturbato dai campi elettrostatici prodotti dai due fili. Entrambi conservativi, pertanto è possibile calcolare il potenziale di entrambi nei punti $A$ e $B$ . Il potenziale in un punto $P$ dello spazio di un filo indefinito è noto, cioè

$V(P)=\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\ln r+\text{costante}$

dove $r$ è la distanza minima del punto $P$ dal filo. Per calcolare la distanza dei due fili sfrutteremo la geometria analitica. Sappiamo che l’equazione del filo “rosso”( $\lambda>0$ ) rappresentato nella prima figura 1 è $y=1/\sqrt{3}x$ e del filo “blu”( $\lambda<0$ ) sempre rappresentato nella prima figura è $y=-1/\sqrt{3}x$ . Dunque, consideriamo la figura che segue:

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Applicando la distanza punto retta si trova

(1) $\begin{equation*} r_1=r_2=\dfrac{a}{2},\quad r_3=\dfrac{\left(4+\sqrt{3}\right)a}{2} \quad \text{e}\quad r_4=\dfrac{\left(4-\sqrt{3}\right)a}{2}. \end{equation*}$

Per il primo filo si ha

(2) $\begin{equation*} V_{1,B}-V_{1,A}=\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\left(\ln r_3-\ln r_1\right) \end{equation*}$

dove $V_{1,B}$ è il potenziale nel punto $B$ e $V_{1,A}$ è il potenziale nel punto $A$ . Analogamente per il secondo filo abbiamo

(3) $\begin{equation*} V_{2,B}-V_{2,A}=\dfrac{-\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\left(\ln r_4-\ln r_2\right) \end{equation*}$

dove $V_{2,B}$ è il potenziale nel punto $B$ e $V_{2,A}$ è il potenziale nel punto $A$ .
Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti otteniamo

(4) $\begin{equation*} V_{1,B}-V_{1,A}+V_{2,B}-V_{2,A}=\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\left(\ln r_3-\ln r_1\right)+\dfrac{-\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\left(\ln r_4-\ln r_2\right), \end{equation*}$

da cui

(5) $\begin{equation*} \Delta V=\underbrace{\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\left(-\ln r_1+\ln r_2\right)}_{=0}+\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\left(\ln r_3-\ln r_4\right)=\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\ln\left(\dfrac{r_3}{r_4}\right). \end{equation*}$

Sfruttando i risultato ottenuti in (1) si ha

(6) $\begin{equation*} \Delta V=\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\ln\left(\dfrac{r_3}{r_4}\right)=\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\ln\left(\dfrac{4+\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}\right)\approx0,0677\,\,\text{V}. \end{equation*}$

Concludiamo con la seguente soluzione

$\boxcolorato{fisica}{ \Delta V=\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\ln\left(\dfrac{4+\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}\right)\approx0,0677\,\,\text{V}.}$

Punto b. Il momento meccanico agente su un dipolo immerso in un campo magnetico è

(7) $\begin{equation*} \vec{M}=\vec{p}\wedge \vec{E} \end{equation*}$

dove $\vec{E}$ è il campo elettrico.
Si consideri la seguente figura

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Osservando la figura risulta chiaro che $\vec{E}_-$ + il campo prodotto dal filo che si trova nel semipiano $y<0$ e $\vec{E}_+$ è il campo prodotto dal filo che si trova nel semipiano $y>0$ . Pertanto il campo totale nel punto $A$ è

(8) $\begin{equation*} \vec{E}_t=\vec{E}_++\vec{E}_-, \end{equation*}$

cioè

(9) $\begin{equation*} \vec{E}_t=E_+\left(\sin \alpha \,\hat{x}-\cos \alpha \,\hat{y} \right)+E_-\left(-\sin \alpha \,\hat{x}-\cos \alpha \,\hat{y}\right). \end{equation*}$

Si osserva che

(10) $\begin{equation*} {E}_+={E}_=\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0r_1}=\dfrac{\lambda}{\pi \varepsilon_0a} \end{equation*}$

quindi

(11) $\begin{equation*} \vec{E}_t=\dfrac{\lambda}{\pi \varepsilon_0a}\left(\sin \alpha \,\hat{x}-\cos \alpha \,\hat{y} \right)+\dfrac{\lambda}{\pi \varepsilon_0a}\left(-\sin \alpha \,\hat{x}-\cos \alpha \,\hat{y}\right)=\dfrac{\lambda}{\pi \varepsilon_0a}\left(-2\cos \alpha \,\hat{y}\right), \end{equation*}$

da cui

(12) $\begin{equation*} \vec{E}_t=-\dfrac{2\lambda\cos \alpha}{\pi \varepsilon_0a}\,\hat{y}. \end{equation*}$

Applicando la formula (7) si ha

(13) $\begin{equation*} \vec{M}=\vec{E}_t\wedge \vec{p}=-\dfrac{2p\lambda\cos \alpha}{\pi \varepsilon_0a}\,\hat{y}\wedge \hat{x}=-\dfrac{2p\lambda\cos \alpha}{\pi \varepsilon_0a}\,\hat{z}. \end{equation*}$

Concludiamo con la seguente soluzione

$\boxcolorato{fisica}{\vec{M}= -\dfrac{2p\lambda\cos \alpha}{\pi \varepsilon_0a}\,\hat{z}\approx-5,0\,\text{m}\cdot \text{N}\,\,\hat{z}.}$

Fonte: Esercizio tratto dagli esami di fisica 2 del professore Claudio Verona.