Esercizio 9 – Esercizi misti elettromagnetismo

Esercizi Misti Elettromagnetismo

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Esercizio 9.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Nel piano xy riportato accanto sono disposti due fili indefiniti, passanti per l’origine, uniformemente carichi rispettivamente con densità lineare di carica +\lambda e -\lambda (con \lambda= 4\cdot 10^{-12} C/m) disposti in modo da formare lo stesso angolo \alpha=\pi/6 con l’asse x. Calcolare:

a) la differenza di y potenziale tra i punti A=(a,0) e B=(2a,-a/2) (con a=5 cm), entrambi disposti all’interno del piano compreso tra i due fili.

b) Successivamente viene disposto un dipolo elettrico nel punto A con momento di modulo p=10^{-3} mC, orientato nel verso positivo dell’asse delle x. Calcolare il momento meccanico agente sul dipolo.

 

 

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Svolgimento punto a. Lo spazio è perturbato dai campi elettrostatici prodotti dai due fili. Entrambi conservativi, pertanto è possibile calcolare il potenziale di entrambi nei punti A e B. Il potenziale in un punto P dello spazio di un filo indefinito è noto, cioè

    \[V(P)=\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\ln r+\text{costante}\]

dove r è la distanza minima del punto P dal filo. Per calcolare la distanza dei due fili sfrutteremo la geometria analitica. Sappiamo che l’equazione del filo “rosso”(\lambda>0) rappresentato nella prima figura 1 è y=1/\sqrt{3}x e del filo “blu”(\lambda<0) sempre rappresentato nella prima figura è y=-1/\sqrt{3}x. Dunque, consideriamo la figura che segue:

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Applicando la distanza punto retta si trova

(1)   \begin{equation*} r_1=r_2=\dfrac{a}{2},\quad r_3=\dfrac{\left(4+\sqrt{3}\right)a}{2} \quad \text{e}\quad r_4=\dfrac{\left(4-\sqrt{3}\right)a}{2}. \end{equation*}

Per il primo filo si ha

(2)   \begin{equation*} V_{1,B}-V_{1,A}=\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\left(\ln r_3-\ln r_1\right) \end{equation*}

dove V_{1,B} è il potenziale nel punto B e V_{1,A} è il potenziale nel punto A. Analogamente per il secondo filo abbiamo

(3)   \begin{equation*} V_{2,B}-V_{2,A}=\dfrac{-\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\left(\ln r_4-\ln r_2\right) \end{equation*}

dove V_{2,B} è il potenziale nel punto B e V_{2,A} è il potenziale nel punto A.
Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti otteniamo

(4)   \begin{equation*} V_{1,B}-V_{1,A}+V_{2,B}-V_{2,A}=\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\left(\ln r_3-\ln r_1\right)+\dfrac{-\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\left(\ln r_4-\ln r_2\right), \end{equation*}

da cui

(5)   \begin{equation*} \Delta V=\underbrace{\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\left(-\ln r_1+\ln r_2\right)}_{=0}+\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\left(\ln r_3-\ln r_4\right)=\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\ln\left(\dfrac{r_3}{r_4}\right). \end{equation*}

Sfruttando i risultato ottenuti in (1) si ha

(6)   \begin{equation*} \Delta V=\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\ln\left(\dfrac{r_3}{r_4}\right)=\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\ln\left(\dfrac{4+\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}\right)\approx0,0677\,\,\text{V}. \end{equation*}

Concludiamo con la seguente soluzione

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta V=\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\ln\left(\dfrac{4+\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}\right)\approx0,0677\,\,\text{V}.}\]

 

Punto b.  Il momento meccanico agente su un dipolo immerso in un campo magnetico è

(7)   \begin{equation*} \vec{M}=\vec{p}\wedge \vec{E} \end{equation*}

dove \vec{E} è il campo elettrico.
Si consideri la seguente figura

 

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Osservando la figura risulta chiaro che \vec{E}_- + il campo prodotto dal filo che si trova nel semipiano y<0 e \vec{E}_+ è il campo prodotto dal filo che si trova nel semipiano y>0. Pertanto il campo totale nel punto A è

(8)   \begin{equation*} \vec{E}_t=\vec{E}_++\vec{E}_-, \end{equation*}

cioè

(9)   \begin{equation*} \vec{E}_t=E_+\left(\sin \alpha \,\hat{x}-\cos \alpha \,\hat{y} \right)+E_-\left(-\sin \alpha \,\hat{x}-\cos \alpha \,\hat{y}\right). \end{equation*}

Si osserva che

(10)   \begin{equation*} {E}_+={E}_=\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0r_1}=\dfrac{\lambda}{\pi \varepsilon_0a} \end{equation*}

quindi

(11)   \begin{equation*} \vec{E}_t=\dfrac{\lambda}{\pi \varepsilon_0a}\left(\sin \alpha \,\hat{x}-\cos \alpha \,\hat{y} \right)+\dfrac{\lambda}{\pi \varepsilon_0a}\left(-\sin \alpha \,\hat{x}-\cos \alpha \,\hat{y}\right)=\dfrac{\lambda}{\pi \varepsilon_0a}\left(-2\cos \alpha \,\hat{y}\right), \end{equation*}

da cui

(12)   \begin{equation*} \vec{E}_t=-\dfrac{2\lambda\cos \alpha}{\pi \varepsilon_0a}\,\hat{y}. \end{equation*}

Applicando la formula (7) si ha

(13)   \begin{equation*} \vec{M}=\vec{E}_t\wedge \vec{p}=-\dfrac{2p\lambda\cos \alpha}{\pi \varepsilon_0a}\,\hat{y}\wedge \hat{x}=-\dfrac{2p\lambda\cos \alpha}{\pi \varepsilon_0a}\,\hat{z}. \end{equation*}

Concludiamo con la seguente soluzione

    \[\boxcolorato{fisica}{\vec{M}= -\dfrac{2p\lambda\cos \alpha}{\pi \varepsilon_0a}\,\hat{z}\approx-5,0\,\text{m}\cdot \text{N}\,\,\hat{z}.}\]

 

Fonte: Esercizio tratto dagli esami di fisica 2 del professore Claudio Verona.