Esercizio 11 – Pendolo connesso ad un circuito immerso in campo magnetico

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Esercizio 11 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).Un pendolo è costituito da una pallina metallica di massa m appesa ad un filo conduttore rigido, inestensibile, di lunghezza \ell, di massa e resistenza elettrica trascurabili. La pallina striscia senza attrito su una guida metallica circolare, chiudendo così il circuito elettrico costituito da un generatore di corrente continua di f.e.m. \varepsilon, una resistenza R ed il pendolo di cui sopra, tutti disposti in serie fra di loro.Sapendo che il pendolo è immerso in un campo magnetico uniforme, di intensità B, diretto perpendicolarmente al piano di oscillazione (vedi figura), si determini:
a) la forza magnetica agente sul pendolo, in funzione della sua velocità angolare;
b) l’angolo \theta_0 della posizione di equilibrio del pendolo;
c) l’equazione differenziale che descrive il moto del pendolo.

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Soluzione punto a. All’istante iniziale abbiamo la seguente situazione


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La massa m è soggetta alla forza peso m\vec{g} e dunque comincia a muoversi lungo un arco di circonferenza; ciò comporta una variazione di flusso del campo magnetico all’interno del circuito e per la legge di Faraday-Neumann-Lenz si ha una forza elettromotrice indotta.
Calcoliamo il flusso di \vec{B} all’interno del circuito in un generico istante t>0:

(1)   \begin{equation*} \Phi_{\Sigma}(\vec{B})=\iint_{\Sigma} \vec{B} \cdot \hat{n}\, d \Sigma^{\prime } \end{equation*}

dove \Sigma è l’area occupata dal circuito come rappresentato in figura:


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Come da ipotesi su \vec{B}, uniforme in tutto \Sigma e perpendicolare a \Sigma, abbiamo \vec{B}\cdot\hat{n}=B. Pertanto la (1) diventa

    \[\Phi_{\Sigma}(\vec{B})=B\Sigma.\]

Consideriamo ora le seguenti figure

 

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dalle quali osserviamo che \Sigma=\Sigma_1-\Sigma_2. Si nota immeditamente che \Sigma_1 è costante, mentre \Sigma_2 varia a seconda dell’angolo \theta ed essendo un arco di circonferenza è pari ad \Sigma_2(\theta)=\dfrac{1}{2}\pi l^2\theta. Da quanto appena detto, la (1) diventa

    \[\Phi_{\Sigma}(\vec{B})=B\Sigma=B\left( \Sigma_1-\Sigma_2(\theta) \right)=B\left( \Sigma_1-\dfrac{1}{2}\pi l^2\theta \right)\]

e applicando la legge di Faraday-Neumann-Lenz, denotando \xi la forza elettromotrice indotta, dove per definizione è:

    \[\xi = -\dfrac{d\Phi_\Sigma(\vec{B})}{dt}\]

Si ha dunque:

    \[\xi = -\dfrac{d\Phi_\Sigma(\vec{B})}{dt}\]

(2)   \begin{align*} \xi & = -\dfrac{d \left( B\left( \Sigma_1-\dfrac{1}{2}\pi l^2\theta \right)\right) }{dt}=-B\dfrac{d \left( \Sigma_1-\dfrac{1}{2}\pi l^2\theta \right) }{dt}=-B\dfrac{d \left( \Sigma_1-\dfrac{1}{2}\pi l^2\theta \right) }{dt}= \nonumber\\ &=-B\dfrac{d \left( \Sigma_1 \right) }{dt}-B\dfrac{d \left( -\dfrac{1}{2}\pi l^2\theta \right) }{dt}=\dfrac{B\pi^2l^2}{2}\dot{\theta}. \end{align*}

    \[\]

Il circuito può essere rappresentato come segue

 

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Dalla legge di Kirchhoff alle maglie si ha :

(3)   \begin{equation*} \xi-\varepsilon+Ri=0 \quad \Leftrightarrow \quad i=\dfrac{\varepsilon-\xi}{R}, \end{equation*}

confrontando (2) con (3) si ha

    \[i=\dfrac{1}{R}\left(\varepsilon-\dfrac{B\pi^2l^2}{2}\dot{\theta}\right).\]

Dalla seconda legge elementare di Laplace determiniamo il modulo della forza magnetica agente sul pendolo

    \[F=ilB=\dfrac{lB}{R}\left(\varepsilon-\dfrac{B\pi^2l^2}{2}\dot{\theta}\right).\]

Pertanto possiamo concludere che la forza magnetica vale

    \[\boxcolorato{fisica}{F=\dfrac{lB}{R}\left(\varepsilon-\dfrac{B\pi^2l^2}{2}\dot{\theta}\right).}\]

Soluzione punto b.
Il pendolo è sottoposto alla forza peso m\vec{g}, alla tensione \vec{T} e alla forza magnetica \vec{F} orientate come in figura in un generico istante t>0.
Affinchè il pendolo stia in equilibrio, la somma dei momenti delle forze applicate al pendolo rispetto al polo O deve essere nulla.
Quando il pendolo è in equilibrio, la forza magnetica assume la seguente forma

    \[F=\dfrac{lB\varepsilon}{R}=F^\star\]

poichè \dot{\theta}=0\,\left[\dfrac{rad}{s}\right].

Chiamiamo \theta_0 l’angolo formato dal pendolo con l’asse y come in figura 5 quando è in equilibrio (La forza \vec{F}^\star è applicata a metà filo.)

 

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Calcoliamo la somma dei momenti delle forze rispetto ad O:

    \[\sum_{k=1}^{2}\vec{M}=\vec{0}\,\, \quad \Leftrightarrow \quad \left(mgl\sin \theta_0-F^\star\dfrac{l}{2} \right)\hat{z}=\vec{0}\,\,\]

da cui

    \[mgl\sin \theta_0-\dfrac{l}{2}\cdot\dfrac{lB\varepsilon}{R}=0\,\, \quad \Leftrightarrow \quad \theta_0=\arcsin\left(\dfrac{\varepsilon Bl}{2mgR} \right) .\]

Pertanto possiamo concludere che l’angolo di equilibrio vale

    \[\boxcolorato{fisica}{\theta_0=\arcsin\left(\dfrac{\varepsilon Bl}{2mgR}\right).}\]

Soluzione punto c.
Consideriamo ora il moto del pendolo in un generico istante come in figura

 

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e applichiamo il teorema del momento angolare scegliendo come polo O

    \[F\dfrac{l}{2}-mgl\sin \theta =I_0\ddot{\theta}\]

dove I_0=ml^2.
Svolgendo i calcoli otteniamo

    \[\begin{aligned} &F\dfrac{l}{2}-mgl\sin \theta =I_0\ddot{\theta}\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{l^2B}{2R}\left(\varepsilon-\dfrac{B\pi^2l^2}{2}\dot{\theta}\right)-mgl\sin \theta =ml^2\ddot{\theta}\quad \Leftrightarrow \quad\\\\ &\Leftrightarrow \quad \dfrac{lB}{2R}\left(\varepsilon-\dfrac{B\pi^2l^2}{2}\dot{\theta}\right)-mg\sin \theta =ml\ddot{\theta}\quad \Leftrightarrow \quad\\\\ &\Leftrightarrow \quad ml\ddot{\theta}+mg\sin \theta+\dfrac{B^2l^3\pi}{4R}\dot{\theta}=\dfrac{\varepsilon lB}{2R}. \end{aligned}\]

Pertanto possiamo concludere che l’equazione differenziale cercata è

    \[\boxcolorato{fisica}{ml\ddot{\theta}+mg\sin \theta+\dfrac{B^2l^3\pi}{4R}\dot{\theta}=\dfrac{\varepsilon lB}{2R}}\]

 

 

Fonte: Problemi di fisica generale – S.Rosati & L. Lovitch