Esercizio 4 – Esercizi misti elettromagnetismo

Esercizi Misti Elettromagnetismo

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Esercizio 4.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Una lastra indefinita di materiale dielettrico omogeneo ed isotropo e di spessore pari a d=2 cm, viene inserita in una zona dello spazio in cui è presente un campo elettrico uniforme E_0=3 V/m orientato ortogonalmente alle superfici limite come mostrato in figura 1. Noto il modulo del vettore intensità di polarizzazione P=8,85\cdot 10^{-12} C/m^2, calcolare:

a) la differenza di potenziale tra le superfici limite del dielettrico;

b) il valore della costante dielettrica \varepsilon_r.

 

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Svolgimento.punto a. Il campo elettrico E_0 genera delle cariche di polarizzazione +\sigma_P e -\sigma_P presenti rispettivamente sulla base inferiore e superiore della lastra. Il modulo del vettore di polarizzazione esprime proprio questa densità di carica di polarizzazione

(1)   \begin{equation*} P = |\sigma_P| \end{equation*}

Le cariche di polarizzazione saranno responsabili della generazione di un campo elettrico E_P dovuto proprio alla distribuzione di carica sulle due lastre:

(2)   \begin{equation*} E_P = {\sigma_P\over \varepsilon_0}={P\over \varepsilon_0} \end{equation*}

diretto verso l’alto, come mostrato in figura 2.

 

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Il campo elettrico totale è quindi

(3)   \begin{equation*} E_T = (E_0 - E_P)= E_0 - {P\over \varepsilon_0}=2\,\text{N}\cdot \text{C}^{-1} . \end{equation*}

A questo punto possiamo calcolare la differenza di potenziale tra le due superfici limite, integrando il campo elettrico totale e così ottenendo:

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta V = \int_0^d \vec{E}_T\, d\ell= \bigg(E_0 - {P\over \varepsilon_0} \bigg)d = 0.04\,\text{V}.}\]

 

Punto b. La costante dielettrica può esser ricavata a partire dalla relazione lineare tra il vettore di polarizzazione e il campo elettrico totale.

(4)   \begin{equation*} P = \varepsilon_0\chi {E}_T \end{equation*}

Dove \chi è la suscettività e vale \chi = \kappa-1. Poiché i vettori \vec{P} e \vec{E}_T sono paralleli, possiamo ragionare in termini dei loro moduli e ottenere quanto segue

(5)   \begin{equation*} P=\varepsilon_0(\kappa -1)E_T\quad \Leftrightarrow \quad \kappa=\dfrac{P}{\varepsilon_0E_T}+1. \end{equation*}

Dunque la soluzione al punto b) del problema è

      \[\boxcolorato{fisica}{ \varepsilon_r={\varepsilon_0E_T\over \varepsilon_0E_T- P}=1.5.}\]

 

Osservazione.  Si ricorda che il vettore di induzione elettrica \vec{D} deve essere continuo nell’interfaccia tra vuoto e dielettrico. Pertanto nella superficie di separazione tra dielettrico e vuoto deve valere

(6)   \begin{equation*} E_0\varepsilon_0=\varepsilon_0 E_T+P\quad \Leftrightarrow\quad E_T=\dfrac{E_0\varepsilon_0-P}{\varepsilon_0}=E_0-\dfrac{P}{\varepsilon_0}, \end{equation*}

da cui

(7)   \begin{equation*} \Delta V= \dfrac{E_0\varepsilon_0-P}{\varepsilon_0}d \end{equation*}

come ottenuto in precedenza.

Fonte: Esercizio tratto dagli esami di fisica 2 del professore Claudio Verona.