Esercizio 12 Nel circuito di figura è
,
,
; la f.e.m. del generatore varia nel tempo con la legge
, dove
,
,
, mentre la frequenza è
. Si calcoli l’intensità di corrente erogata dal generatore, in funzione del tempo, in condizioni di regime.
Svolgimento. Per risolvere questo problema, sfruttiamo il principio di sovrapposizione: consideriamo cioè il generatore di potenziale come la somma di tre generatori indipendenti le cui tensioni sono ,
,
tali che:
(1)
Analizziamo dunque i contributi di ciascun generatore individualmente. Quando e
sono spenti, il primo generatore è responsabile di una tensione
costante, pertanto caricherà il condensatore fino a quando la carica
presente tra le due piastre non sarà uguale proprio al prodotto
. A questo punto, non ci sarà più alcuna corrente che passa nel ramo dove è presente il condensatore e quindi tale ramo si può considerare come un circuito aperto. Il circuito a regime si può dunque schematizzare come segue:
Da questa configurazione, sfruttando la prima legge di Ohm ricaviamo:
(2)
Immaginiamo adesso di spegnere i generatori e
. In questo caso, la tensione
, che è descritta da una legge sinusoidale, la quale è responsabile della carica e scarica periodica del condensatore, dunque il circuito potrà essere schematizzato come segue:
Per risolvere il circuito usiamo il metodo simbolico o metodo dei fasori. Ricordiamo i seguenti fatti:
(3)
dove ,
e
sono le impedenze associate rispettivamente ad
,
e
.
L’impedenza equivalente è data dalla serie dell’impedenza capacitiva
e
posta in parallelo con l’impedenza resistiva
. Possiamo scrivere dunque:
(4)
da cui
Andando a sostituire i valori numerici, troviamo:
Una volta trovata l’impedenza equivalente, indicando con e
rispettivamente il fasore della tensione in ingresso e della corrente che scorre nel circuito, possiamo scrivere la legge di Ohm come:
(5)
dove assume il valore trovato in precedenza, mentre
. Sostituiamo i valori numerici all’interno della (5) e troviamo:
Il fasore appena ricavato, può essere rappresentato sul piano complesso come segue:
Possiamo quindi facilmente trovare modulo e fase di . Avremo:
(6)
e
(7)
A questo punto, possiamo finalmente scrivere l’espressione completa per la corrente che scorre nel circuito dovuta al generatore di tensione . Si avrà cioè:
(8)
Facciamo ora un ragionamento del tutto analogo per ricavare la corrente generata dalla differenza di potenziale . In questo caso, spegnendo i generatori
e
, si avrà infatti un circuito che potrà essere schematizzato nel seguente modo:
La differenza con il caso precedente sta nel fatto che in questo caso la pulsazione dell’onda generata non è più , bensì
. Segue che in questa configurazione
e dunque avremo:
Si osservi che nel precedente calcolo si è sfruttato il fatto che
Procedendo come abbiamo fatto nel caso precedente, sapendo che , troviamo:
(9)
Dai risultati ottenuti, si può dedurre che:
(10)
e
(11)
A questo punto, possiamo determinare anche la corrente passante nel circuito dovuta a . Essa sarà:
(12)
Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti possiamo determinare la corrente totale erogata dal generatore ; essa sarà uguale alla somma dei tre contributi alle correnti forniti dai tre generatori indipendenti. Concludiamo dunque:
Fonte: Sergio Rosati e Lionel Lovitch – Problemi di fisica generale, Ambrosiana.