Esercizio 5. Un cilindro cavo di raggio interno
cm, raggio esterno
cm e altezza
cm è costituito da un materiale conduttore di resistività
m. Il cilindro viene posto in una regione in cui è presente un campo magnetico uniforme e variabile nel tempo con la legge
(con
T/s
) nell’intervallo
e diretto come in figura 1. Sapendo che l’asse del cilindro coincide con l’asse di simmetria del campo magnetico, calcolare al tempo
s:
a) la corrente complessiva che circola nel cilindro specificandone il verso;
b) la potenza dissipata nel cilindro.
Svolgimento punto a. La legge di Faraday afferma che la variazione di flusso del campo magnetico in una superficie chiusa genera una forza elettromotrice, ossia:
(1)
Il segno meno indica che la forza elettromotrice si oppone alle variazioni di flusso. Prendiamo come superficie chiusa una circonferenza di raggio
centrata nell’asse di simmetria. Di seguito scriviamo l’espressione del flusso e la sua derivata temporale:
(2)
Abbiamo dunque trovato che il modulo della forza elettromotrice è funzione del tempo e della distanza dall’asse di simmetria e vale
(3)
Dalla teoria sappiamo che è presente un campo elettrico, tangente punto per punto alla circonferenza (vedi figura 2), a causa della variazione di flusso di campo magnetico
Calcoliamo la circuitazione di sulla circonferenza in figura 2 e otteniamo
(4)
dove si è usata la prima legge di Ohm. In particolare è la densità di corrente che abbiamo assunto costante perché non dipende da
, ovvero l’elemento infinitesimo di circonferenza. Pertanto abbiamo
(5)
da cui
(6)
che valutata al tempo ci da
(7)
Integrando tra
e
si ottiene la corrente totale, cioè
(8)
dove si è usato il fatto che .
Concludiamo con la seguente soluzione
Punto b. Prendiamo ancora in considerazione la sezione infinitesima del cilindro, avente corrente al tempo
. La potenza dissipata da questa sezione è data da
(9)
Integriamo tra e
la potenzia infinitesima dissipata e otteniamo la potenza dissipata nel cilindro nell’istante
, cioè
(10)
Concludiamo con la seguente soluzione
Approfondimento. Proponiamo una soluzione differente per il punto a. Utilizziamo la legge di Ohm per calcolare la corrente. Consideriamo una sezione del cilindro di altezza e raggi
e
(dove
indica un raggio infinitesimo), la resistenza di questa sezione si calcola utilizzando la seconda legge di Ohm.
(11)
dove è la lunghezza della sezione del cilindro, ovvero la circonferenza
, mentre
è la superficie infinitesima della sezione, ovvero
(l’area del rettangolo individuato dalle basi d
e
). \\
La corrente infinitesima che scorre in questa sezione è data dalla prima legge di Ohm
(12)
dove a destra abbiamo calcolato la corrente infinitesima al tempo .
Il verso della corrente è dato dalla regola della mano destra, quindi essendo il campo magnetico diretto verso l’alto, il verso della corrente è antiorario.\\
Integriamo questa corrente per ricavare la corrente totale nel cilindro cavo al tempo .
(13)
Concludiamo con la seguente soluzione
Fonte: Esercizio tratto dagli esami di fisica 2 del professore Claudio Verona.