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Esercizi misti sui limiti: testi

Esercizi misti sui Limiti

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Benvenuti nella dispensa dedicata agli esercizi sui limiti. Questo documento rappresenta il naturale seguito della dispensa sugli esercizi sui limiti notevoli, e contiene una selezione accurata di esercizi misti, che spaziano da un livello elementare fino a raggiungere un livello avanzato, concludendosi con esercizi di carattere teorico. Ogni esercizio è stato scelto per stimolare e migliorare la vostra comprensione, mentre le soluzioni dettagliate e le spiegazioni vi guideranno attraverso concetti complessi in modo chiaro e intuitivo. Si osservi che in questa dispensa sono presenti esercizi sui limiti di funzione con Taylor.

Vi auguriamo una piacevole lettura e un proficuo apprendimento! Per i richiami teorici, si rimanda alle dispense di Teoria sui limiti e sui simboli di Landau. Si consiglia, prima di confrontarsi con questi esercizi, di svolgere gli esercizi sui limiti notevoli e gli esercizi sulle forme indeterminate.

 

Esercizi sui limiti: autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Sara Sottile.

Revisori: Silvia Lombardi.

 

Esercizi sui limiti: testi

 

Esercizio 1  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

\[\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^3-3x}{x^2+1-2x^3};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{x^3-3x-2}{x^4+2x^3-8x^2-18x-9};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}};\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin(\sin x)}{x};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x-1}{\displaystyle\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)^2}.\end{aligned}\]

 
Svolgimento esercizio 1.

 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

\[\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x\cdot\sin\dfrac{1}{x};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos x-\cos 2x}{1-\cos x};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}(\sqrt{x^2+2x}+x);\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{x+1}{\sqrt{6x^2+3}+3x};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{4}}\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin(4x)}.\end{aligned}\]

 
Svolgimento esercizio 2.

 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

\[\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\right)^x;\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow e}(\log x)^{\frac{1}{x-e}};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin(x\cos x)}{x};\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\log(\cos x)}{x^2};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sinh x}{x}.\end{aligned}\]

 
Svolgimento esercizio 3.

 

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

\[\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^4-x^3+1}{\sqrt{x}+x^2-x^3};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\dfrac{x^3}{3x^2-4}-\dfrac{x^2}{3x+2}\right);\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{2x^3-5x^2-4x+12}{x^4-4x^3+5x^2-4x+4};\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x^4}{\sin^2 x^2}.\end{aligned}\]

 
Svolgimento esercizio 4.

 

Esercizio 5  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

\[\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\sqrt{x}\cdot\sin\dfrac{1}{x};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\pi^x-3^x}{x};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{3x}-\sqrt{1-x}}{\sin x};\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^3-x^2+4x}{x^5-x};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos 2x}{\sin^2 3x}.\end{aligned}\]

 
Svolgimento esercizio 5.

 

Esercizio 6  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

\[\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\displaystyle x-\dfrac{\pi}{2}};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\sqrt{5+\cos x}}{x^2+1};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{2x^3}-x^6}{4x^6-\sqrt{x^4+x^3}};\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{x\log^5 x+\sqrt[4]{x}\log x}{\sqrt{x}};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\sqrt{4+x}-1\right)^{\frac{1}{e^x-1}}.\end{aligned}\]

 
Svolgimento esercizio 6.

 

Esercizio 7  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

\[\begin{aligned} &1.\quad \lim_{x \to +\infty}\left(\cos\frac{1}{x}\right)^{x^2};\\[10pt] & 2.\quad \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[4]{1-4x^2+x^4}-1+x^2}{x^4};\\[10pt] &3.\quad \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{-\cos(2x) \; \sqrt{2} \cos(x+\frac{\pi}{4})}{(\ln(\tan x))^2};\\[10pt] &4.\quad \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\left \vert \tan x\right \vert ^{2x-\pi};\\[10pt] &5.\quad \lim_{x\to+\infty}x\left(\arctan x-\dfrac{\pi}{2}\right).\end{aligned}\]

 
Svolgimento esercizio 7.

 

Esercizio 8 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

\[\begin{aligned} &1.\quad \lim_{x\to0}\left(2e^x-e^{2x}\right)^{1/x^2};\\[10pt] & 2.\quad \lim_{x\to0^+} (x+\cos x)^{\frac{1}{x}};\\[10pt] &3.\quad \lim_{x\to0^+}\dfrac{\arccos(1-x^2)}{x};\\[10pt] &4.\quad \lim_{x\to a}\left(2-\dfrac{x}{a} \right)^{\displaystyle\tan\left(\frac{\pi x}{2a} \right)}, \qquad a \in \mathbb{R}\setminus\{0\};\\[10pt] &5.\quad \lim_{x\to 0^+} \dfrac{(\sin x)^x-1}{x^x-1}.\end{aligned}\]

 
Svolgimento esercizio 8.

 

Esercizio 9  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

\[\begin{aligned} &1.\quad \lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{2\arctan x}{\pi} \right)^{\pi x};\\[10pt] & 2.\quad \lim_{x \to +\infty} \left(\underbrace{\sqrt{ x +\sqrt{x +\dots + \sqrt{x}}}}_{n-volte}-\sqrt{x}\right);\\[10pt] &3.\quad \lim_{x \to +\infty} \left(3^{\dfrac{1}{x}}\sqrt{x^2+x+1}-x\right) ;\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\sqrt{x^2-1}\left(\sqrt{x^2+\lambda}+x\right), \qquad \lambda \in \mathbb{R};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left((\log(\log(x))^{\log x} - x (\log x)^{\log(\log x)} \right) \end{aligned}\]

 
Svolgimento esercizio 9.

 

Esercizio 10  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare i seguenti limiti con il metodo del confronto locale:

\[\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos x-\cos 2x}{1-\cos x};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{4}}\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin 4x};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(\sqrt{2})^x-1}{2x+\sin x};\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^{\sin^3 x}-1}{\log(1-x^3)};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1-\cos 2x}{\log(1-x)+\log(1+x)}; \end{aligned}\]

 
Svolgimento esercizio 10.

 
 

Esercizio 11  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare i seguenti limiti con il metodo del confronto locale:

\[\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^{\cos^2 x-1}-\sin x-1}{\tan x(1+\cos x)};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\log(\cos x)}{x^2};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^2+3\sin 2x}{x-2\sin 3x};\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{\tan^3 x}-1}{x\left(\cos x-e^{x^2}\right)};\\[10pt] &5.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin(\pi\cos x)}{x\sin x}. \end{aligned}\]

 
Svolgimento esercizio 11.

 

Esercizio 12  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare i seguenti limiti con il metodo del confronto locale:

\[\begin{aligned} &1.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{9+\sin(2^x-1)}-3}{x};\\[10pt] & 2.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt[n]{1+\sin^2 x}-\cos x}{\log(1+\sin^2 x)},\qquad n\in \mathbb{N} \setminus\{0\};\\[10pt] &3.\quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[3]{1+\sqrt{1+\tan x}}-\sqrt[3]{2}\cos x}{3^{\sin x}-\cos x};\\[10pt] &4.\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\displaystyle\log\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}- \sqrt[3]{\left(\cos\sqrt{x}\right)}+1\right)\right)}{e^{\cos(\sin x)}-e^{\sqrt[4]{1+x^2}}};\\[10pt] &5.\quad \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{1+3\sin\left(\dfrac{2}{x}\right)+5x+x^2}+x\sqrt{1+7\sin \left(\dfrac{3}{x} \right)} \right). \end{aligned}\]

 
Svolgimento esercizio 12.

 

Esercizio 13  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar). Siano k>1 e p\geq 2 due numeri interi e sia (x_n)_{n\in \mathbb{N}) una successione di numeri reali positivi tale che

\[\lim_{n \to +\infty} \dfrac{x_n}{\sqrt[p]{n}}= L \in (0,+\infty).\]

Si calcoli

\[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{x_n+x_{n+1}+\dots+x_{kn}}{n x_n}.\]

 
Svolgimento esercizio 13.

 

Esercizio 14  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar). Sia n\geq 1 un numero naturale e si definisca

\[f_n(x) = x^{x^{x^{\dots^{x}}}},\]

dove il numero delle x in f_n è pari ad n (ad esempio, f_1(x) =x, f_2(x)=x^x, f_3(x)=x^{x^x}, e così via).
Si calcoli il limite

\[\lim_{x \to 1} \dfrac{f_n(x) - f_{n-1}(x)}{(1-x)^n}.\]

 
Svolgimento esercizio 14.

 

Esercizio 15  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar). Sia f :\mathbb{R} \to \matbb{R} una funzione derivabile due volte con derivata seconda continua tale che

\[\lim_{x \to +\infty} f''(x) = 0.\]

Si provi che

\[\lim_{n\to + \infty} (f(n+1) - 2f(n) + f(n-1)) = 0.\]

 
Svolgimento esercizio 15.

 

Esercizio 16  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar). Sia f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} derivabile, si mostri con un esempio che l’esistenza dei due limiti

\[\lim_{{x\to +\infty}}f^\prime (x)=m\]

e

\[\lim_{x\to +\infty}\left(f(x)-mx\right)=q,\]

non implica l’esistenza del limite

\[\lim_{x\to +\infty}\left(f(x)-xf^\prime(x)\right).\]

 
Svolgimento esercizio 16.

 

Esercizio 17  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar). Sia f: \mathbb{R}\to (0,+\infty) tale che f(0)=1. Supponiamo che f^\prime esista in un intorno di x=0 e che sia continua in x=0, si mostri che

\[\lim_{x\to 0 }\left(f(x)\right)^{1/x}=e^{f^\prime(0)}.\]

 
Svolgimento esercizio 17.

 

Esercizio 18 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar). Sia f: (0,+\infty)\to\mathbb{R} una funzione derivabile con \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f^\prime(x)=0. Si mostri che

\[\lim_{{x\to +\infty}}\left(f(x+1)-f(x)\right)=0.\]

 
Svolgimento esercizio 18.

 

Esercizio 19 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar). Siano

\[f_1(x)=\lfloor x^2\rfloor,\,f_2(x)=\lfloor-x^2\rfloor ,\,f_3(x)=\lfloor x^3\rfloor \quad (x\in\mathbb{R}),\]

dove \lfloor \cdot \rfloor è la funzione “parte intera”, che associa ad ogni x\in \mathbb{R} il più grande intero \le x. Calcolare, se esistono:

\[\lim_{x\to0}f_1(x),\quad \lim_{x\to0}f_2(x),\quad \lim_{x\to0}f_3(x).\]

 
Svolgimento esercizio 19.

 
 

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In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.


 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.