Statica del corpo rigido: testi degli esercizi svolti

Esercizio 1 . L’estremità di una trave omogenea di massa e lunga è incernierata ad un muro. L’altro estremo è sostenuto da un filo nella posizione indicata in figura 1. Inoltre sia l’angolo formato dalla fune con il muro, come in figura 1.
(a) Trovare la tensione generata dal filo che collega la trave al muro.
(b) Trovare la reazione vincolare generata dalla cerniera per mantenere il sistema in equilibrio.

Esercizio 2 . Il sistema rappresentato in figura 2 è in equilibrio. Una massa di è appesa all’estremità del puntone, che ha una massa di . Gli angoli e sono rappresentati in figura 2. Trovare
(a) la forza di tensione nel cavo;
(b) determinare la forza generata dalla cerniera.

Nota. Supporre il filo inestensibile e di massa trascurabile.

Esercizio 3 .  Un’asta composta da due metà, ciascuna di lunghezza e massa , può ruotare in un piano verticale intorno ad un perno passante per il suo punto medio e posto ad una quota da terra (si veda la figura 3). La metà di sinistra ha densità lineare uniforme, mentre quella di destra ha densità lineare , con distanza dal centro dell’asta. Alla rotazione si oppone un momento frenante .

Determinare:

a) l’angolo che la barra forma con la verticale nella posizione di equilibrio statico;
b) l’energia potenziale della barra in tale posizione, calcolata rispetto a terra.

Effettuare i calcoli con , ,

Esercizio 4 . Due aste e omogenee, di uguale lunghezza e massa , vengono saldate insieme per uno dei loro estremi, una perpendicolarmente all’altra; l’estremo libero dell’asta viene poi incernierato a un punto (vedere la figura 4) intorno al quale l’asta può ruotare senza attrito. Si calcolino i valori dell’angolo formato dall’asta rispetto all’orizzontale in condizioni di equilibrio.

Esercizio 5 . Una scala, la cui massa è distribuita uniformemente lungo tutta la sua lunghezza , poggia con un’estremità su un piano orizzontale scabro () e con l’altra contro una parete verticale liscia. Si determini l’angolo di minima inclinazione che la scala puo’ formare col piano orizzontale senza scivolare al suolo.

Esercizio 6 . Due aste omogenee e uguali, ciascuna di massa , sono saldate insieme per un’estremità e l’angolo compreso tra le due aste è e l’angolo è l’angolo formato dall’asta e il piano orizzontale (guardare figura 6). Il sistema è incernierato senza attrito in ed è in equilibrio nella posizione di figura sotto l’azione della forza verticale applicata in .
Si calcoli l’intensità della forza , esprimendo i risultati in funzione di .

Esercizio 7 . Un’asta omogenea di lunghezza è appoggiata sulla superficie di una semisfera perfettamente liscia di raggio fissata a un piano orizzontale scabro con coefficiente di attrito statico , come mostrato in figura 7. Dimostrare che se il sistema è in equilibrio vale la seguente relazione

(1)  

dove è l’angolo che forma il segmento (raggio della sfera) che congiunge il centro della sfera () e il punto di contatto tra asta e sfera () con il piano orizzontale.

Esercizio 8 . Un’asta omogenea di lunghezza è appoggiata in corrispondenza dello spigolo di un gradino di altezza e di un piano orizzontale scabro con coefficiente di attrito statico , come mostrato nella figura 8>. Se l’asta è in equilibrio, dimostrare che vale la seguente relazione

(2)  

dove è l’angolo che forma l’asta con il piano orizzontale.

Esercizio 9 . Il sistema in figura 9 composto da un disco omogeneo di raggio e massa e da un’asta omogenea di lunghezza e massa . Il disco è appoggiato ad una guida verticale scabra (coincidente con l’asse ). L’estremo dell’asta è incernierato al centro del disco, mentre l’estremo è semplicemente appoggiato su una guida orizzontale liscia (coincidente con l’asse ). Gli assi descritti definiscono un sistema di riferimento fisso , con asse uscente dal piano del disegno. Il sistema è contenuto nel piano verticale , dove agisce l’accelerazione di gravità . L’asta forma un angolo con la guida orizzontale. Una molla ideale di costante elastica e lunghezza a riposo nulla collega l’origine al punto , e una coppia di momento è applicata al disco ( denota il versore dell’asse ). Il momento può essere applicato rispetto ad un qualsiasi polo. Si richiede di determinare la reazione vincolare sull’asta nel punto e il valore della coppia affinché il sistema sia in equilibrio.

Esercizio 10 . Il sistema in figura 10 è formato da tre aste di uguale lunghezza , incernierate agli estremi. Le aste e hanno
massa , distribuita in modo omogeneo, mentre l’asta ha massa trascurabile. Le cerniere in e sono mobili, la cerniera in è fissa nel sistema di riferimento fisso mostrato in figura 10. La cerniera in è vincolata tramite un carrello a muoversi lungo l’asse orizzontale . Tutti i vincoli sono lisci. Una molla ideale, con massa trascurabile, lunghezza a riposo nulla e di costante elastica collega il punto fisso al carrello . All’asta è applicato un momento esterno (dove è il versore dell’asse ) nel polo . Determinare i valori della costante e del momento per i quali la configurazione di equilibrio del sistema sia quella con l’asta parallela all’asse orizzontale (come mostrato in figura 10) e l’asta che forma con l’asse un angolo .