Esercizio statica 4

Statica in Meccanica classica

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Esercizio 4  (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due aste AB e CD omogenee, di lunghezza \ell e massa m uguale, vengono saldate insieme per uno dei loro estremi, una perpendicolarmente all’altra; l’estremo libero dell’asta AB viene poi incernierato a un punto O (vedere la figura a lato) intorno al quale l’asta puo’ ruotare senza attrito. Si calcoli il valore dell’angolo \alpha formato dall’asta AB rispetto all’orizzontale in condizioni di equilibrio.

 

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Svolgimento. Scriviamo l’energia potenziale del sistema in funzione di \alpha

    \[U(\alpha) = \dfrac{\ell}{2} \sin \alpha + \dfrac{\ell}{2} \cos\alpha + \ell \, \sin \alpha\]

e derivando rispetto ad \alpha otteniamo

    \[U^\prime(\alpha) = \dfrac{\ell}{2} \left(3 \cos \alpha - \sin \alpha \right)\]

Per cui

    \[U^\prime(\alpha) \ge 0 \quad \Leftrightarrow \quad 3 \cos \alpha - \sin \alpha \ge 0\]

    \[\begin{cases} 3 \cos \alpha = \sin \alpha \\ \left(\cos \alpha\right)^2+\left( \sin \alpha \right)^2 = 1\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3 \cos \alpha = \sin \alpha \quad \Leftrightarrow \quad \sin \alpha =\pm \dfrac{3}{\sqrt{10}}\\\\ 10 \,\cos^2 \alpha = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \cos \alpha = \pm \dfrac{1}{\sqrt{10}} \end{cases}\]

Si osserva che per \alpha=\arctan(3) l’energia potenziale è minima, in particolare si ha un equilibrio stabile.

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Fonte: S.Rosati, R.Casali – Problemi di fisica generale – S.Rosati, R.Casali, Ambrosiana (1998).