Esercizio statica 6

Statica in Meccanica classica

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Esercizio 23  (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due aste omogenee e uguali, ciascuna di massa m, sono saldate insieme per un’estremità e l’angolo compreso tra le due aste è \alpha e l’angolo \beta è l’angolo formato dall’asta AB e il piano orizzontale (guardare figuraaha). Il sistema è incernierato senza attrito in A ed è in equilibrio nella posizione di figura sotto l’azione della forza verticale \bm{F} applicata in C.
Si calcoli l’intensità della forza \bm{F}, esprimendo i risultati in funzione di \beta \,\, \text{e} \,\, \alpha.

 

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Svolgimento. Consideriamo la figura che segue

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Dalla geometria del problema è ovvio che

    \[360^\circ = \alpha+90^\circ -\beta + 90^\circ + \gamma \quad \Leftrightarrow \quad \gamma = 180^\circ - \alpha + \beta.\]

Scelto come polo A e ponendo \ell la lunghezza di ogni asta, dalla seconda legge cardinale dei corpi rigidi si ha

    \[\begin{aligned} & F \ell (\cos \beta + \cos \gamma) - mg \left(\ell \cos \beta + \dfrac{\ell}{2}\cos \gamma\right) -mg \dfrac{\ell}{2}\cos \beta=0 \quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad F (\cos \beta + \cos \gamma) - mg \left( \cos \beta + \dfrac{1}{2}\cos \gamma\right) -mg \dfrac{1}{2}\cos \beta=0 \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad F = \dfrac{mg \left(\dfrac{3}{2}\cos \beta - \dfrac{1}{2}\cos (\alpha-\beta)\right)}{\cos \beta - \cos (\alpha-\beta)}. \end{aligned}\]

Si conclude che la forza cercata è

    \[\boxcolorato{fisica}{F = \dfrac{mg \left(\dfrac{3}{2}\cos \beta - \dfrac{1}{2}\cos (\alpha-\beta)\right)}{\cos \beta - \cos (\alpha-\beta)}.}\]

 

Fonte: S.Rosati, R.Casali – Problemi di fisica generale, Ambrosiana (1998).