Esercizio statica 2

Statica in Meccanica classica

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Esercizio 2  (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Il sistema rappresentato in figura è in equilibrio. Una massa di m_1 è appesa all’estremità del puntone, che ha una massa di m_2. Gli angoli \theta_1 e \theta_2 sono rappresentati in figura. Trovare
(a) la forza di tensione T nel cavo;
(b) determinare la forza \vec{R} generata dalla cerniera.

Nota. Supporre il filo inestensibile e di massa trascurabile.

 

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Svolgimento punto a. Ricordiamo la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt} \end{cases} \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutte le forze esterne, \vec{P}_t è la quantità di moto totale del sistema, \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni, \vec{v}_O è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_O è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O.
Poichè tutto deve rimanere in quiete, il sistema (1) diventa:

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \vec{0}\\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \vec{0}. \end{cases} \end{equation*}

Ora torniamo al nostro problema e rappresentiamo lo schema delle forze presenti nel sistema scegliendo un sistema di riferimento fisso Oxyz, come in figura, con l’asse z orientato secondo la regola della mano destra(asse z uscente):

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dove \vec{T} è la tensione che si genera poichè il filo che collega il puntone al punto O, m_2\vec{g} è la forza peso del puntone, \vec{R} è la reazione vincolare generata dalla cerneria e infine m_1\vec{g} è la forza peso della massa attaccata al puntone.
Sia \ell la lunghezza del puntone e, scegliendo come polo O^\prime, il momento della tensione \vec{T}, denotato con \vec{M}_T, è pari a

    \[\vec{M}_T = (\ell \cos \theta_2 \, \hat{x} + \ell \sin \theta_2 \, \hat{y}) \wedge (-T \cos \theta_1 \, \hat{x} - T \sin \theta_1 \; \hat{y}) = T\ell \, (- \cos \theta_2 \sin \theta_1 + \sin \theta_2 \cos \theta_1 ) \, \hat{z}.\]

Calcoliamo ora il momento di m_1\vec{g}, denotato con \vec{M}_1, sempre rispetto al polo O^\prime:

    \[\vec{M}_1 =\left( \ell \cos \theta_2 \; \hat{x} + \ell \sin \theta_2 \, \hat{y} \right) \wedge (-m_1 g \; \hat{y}) = - m_1 \, g \ell \cos \theta_2 \; \hat{z}.\]

Analogamente facciamo per m_2 \vec{g}:

    \[\vec{M}_2 =\left( \dfrac{\ell}{2} \cos \theta_2 \; \hat{x} +\dfrac{\ell}{2} \sin \theta_2 \; \hat{y}\right) \wedge (-m_2 g \; \hat{y}) = -m_2 \, g \dfrac{\ell}{2} \cos \theta_2 \; \hat{z}.\]

Notiamo che il momento della forza \vec{R} è nulla rispetto al polo O^\prime perchè è applicata proprio sul polo stesso.
Applichiamo ora (2)_2 ottenendo

    \[\left( - T \ell \cos \theta_2 \sin \theta_1 + T \ell \sin \theta_2 \cos \theta_1 - m_2 g \dfrac{\ell}{2} \cos \theta_2 -m_1 g \ell \cos \theta_2 \right) \; \hat{z} =\vec{0}\, [N\cdot m]\]

dove [N\cdot m]=Newton\cdotmetri
e dividendo tutto per \ell ci possiamo ricavare la tensione T:

    \[T = \dfrac{\dfrac{1}{2}m_2 g \cos \theta_2 + m_1 g \cos \theta_2}{- \cos \theta_2 \sin \theta_1 + \sin \theta_2 \cos \theta_1}\]

e quindi ne concludiamo che

    \[\boxcolorato{fisica}{ T = \dfrac{\dfrac{1}{2}m_2 g \cos \theta_2 + m_1 g \cos \theta_2}{- \cos \theta_2 \sin \theta_1 + \sin \theta_2 \cos \theta_1}.}\]

Punto b e c. Applichiamo (2)_1 e osserviamo che le forze esterne applicate al sistema, composto dal puntone e dalla massa m_1, sono la tensione \vec{T}, le forze peso m_1\vec{g}, m_2\vec{g} e infine \vec{R}, per cui abbiamo

(3)   \begin{equation*} \vec{R}+m_2\vec{g}+m_1\vec{g}+\vec{T}=\vec{0}\,[N] \end{equation*}

dove [N]=Newton.
Consideriamo ora la seguente figura

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Come si può osservare dalla figura 2, l’angolo la tensione (rappresentata in figura 1) forma con il filo è dato \theta_3+\theta_4. Consideriamo il triangolo rettangolo OAB e osserviamo che \theta_3+\theta_4=90^\circ-\theta_1, per cui, sempre tenendo in riferimento il sistema Oxyz, possiamo scrivere

    \[\vec{R}-m_2g\, \hat{y}-m_1g\, \hat{y}-T\cos \left( 90^\circ -\theta_1 \right) \, \hat{y}-T\sin \left( 90^\circ -\theta_1 \right) \, \hat{x}=\vec{0}\, [N].\]

Dunque

    \[\vec{R}-m_2g\, \hat{y}-m_1g\, \hat{y}-T\sin \left( \theta_1 \right) \, \hat{y}-T\cos \left(\theta_1 \right) \, \hat{x}=\vec{0}\, [N]\]

da cui

    \[\vec{R} = T \cos \theta_1 \; \hat{x} + (m_2g + m_1g + T \sin \theta_1) \; \hat{y}.\]

Si conclude che il vettore \vec{R} è quello che segue

    \[\boxcolorato{fisica}{ \vec{R} = T \cos \theta_1 \; \hat{x} + (m_2g + m_1g + T \sin \theta_1) \; \hat{y} }\]

 

Fonte: D.Halliday, R.Resnick, J.Walker – Fondamenti di fisica, Meccanica, Zanichelli.