Benvenuti nella dispensa dedicata agli esercizi riguardanti il calcolo di momenti d’inerzia.

All’interno di questa dispensa troverete una selezione accurata di 11 esercizi svolti. Ciascun esercizio è stato scelto per stimolare e migliorare la vostra comprensione, mentre le soluzioni dettagliate e le spiegazioni vi accompagneranno attraverso concetti complessi in modo chiaro e intuitivo.

 

Esercizio 1   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Calcolare il momento d’inerzia di un anello sottile di raggio R e massa m rispetto ad un asse passante per il centro di massa e perpendicolare al piano su cui giace l’anello nell’ipotesi che la massa sia distribuita in modo omogeneo.

 
Svolgimento esercizio 1
 

Esercizio 2   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Calcolare il momento d’inerzia di un guscio cilindrico sottile di raggio R e altezza h rispetto all’asse di simmetria del cilindro, ipotizzando che la massa sia distribuita in modo omogeneo.

 
Svolgimento esercizio 2
 

Esercizio 3   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Calcolare il momento d’inerzia di un guscio sferico sottile di raggio R e massa m rispetto ad un asse passante per il centro di massa ipotizzando che la massa sia distribuita in modo omogeneo.

 

Svolgimento esercizio 3
 

Esercizio 4  (\bigstar\largewhitestar\larghwhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Calcolare il momento d’inerzia di una sfera piena di raggio R e massa m rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa con l’ipotesi che la massa sia distribuita in modo omogeneo.

 

Svolgimento esercizio 4
 

Esercizio 5  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Calcolare il momento d’inerzia di un’asta sottile, di lunghezza d, rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare ad essa, ipotizzando che la massa sia distribuita in modo omogeneo rispetto al proprio centro di massa.

 

Svolgimento esercizio 5
 

Esercizio 6  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Dati a,b,c \in \mathbb{R}\setminus\{0\}, si consideri l’ellissoide

    \[D = \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; \colon \; \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2} \le 1\right\}\]

la cui massa è distribuita in modo omogeneo. Calcolare il momento d’inerzia di D rispetto all’asse x, esprimendo il risultato in termini della massa m del solido stesso. Calcolare successivamente il momento d’inerzia di D rispetto all’asse y.

 

Svolgimento esercizio 6
 

Esercizio 7  (\bigstar\bigstar\whitestarstar\largewhitestar\largewhitestar).

Dati R>0 e \alpha>0, sia T il settore circolare nel piano yz delimitato dal semiasse positivo z, dalla circonferenza di equazione y^2+z^2=R^2 e dalla semiretta uscente da O, giacente nel primo quadrante, che forma un angolo \alpha \left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right) con il semiasse z positivo. Detto D il solido ottenuto da una rotazione di T intorno all’asse z, calcolare il momento di inerzia di D, supposto di densità costante \mu, rispetto all’asse z, esprimendo il risultato in termini di \mu.

 
Svolgimento esercizio 7
 

Esercizio 8  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Dati a,b>0, sia T l’insieme dei punti del primo quadrante del piano yz, delimitato dall’asse z, dalla parabola di equazione z=ay^2 (a>0) e dalla retta di equazione z=b (b>0); detto D il solido ottenuto da una rotazione di T intorno all’asse z, calcolare il momento d’inerzia di D, supposto di densità costante \mu, rispetto all’asse z, esprimendo il risultato in termini di \mu.

 
Svolgimento esercizio 8
 

Esercizio 9  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Data una lamina piana circolare sottile di raggio R, calcolarne il momento d’inerzia rispetto a un asse passante per il centro e perpendicolare alla lamina, nell’ipotesi che la densità sia proporzionale al cubo della distanza dal centro stesso; esprimere il risultato trovato in termini della massa m della lamina.

 

Svolgimento esercizio 9
 

Esercizio 10  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Data una lamina piana ellittica sottile di semiassi a e b, calcolarne il momento d’inerzia rispetto a un asse passante per il centro e perpendicolare alla lamina, nell’ipotesi che la densità sia proporzionale al quadrato della distanza dal centro stesso; esprimere il risultato trovato in termini della massa m della lamina.

 
Svolgimento esercizio 10
 

Esercizio 11  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).

Dimostrare che il momento d’inerzia di un triangolo rettangolo omogeneo di massa m e di cateti a e b rispetto ad un asse ad esso ortogonale e passante per il proprio centro di massa è \frac{m}{18}(a^2+b^2).

 
Svolgimento esercizio 11