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Esercizio sul momento di inerzia – 8

Calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia

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Esercizio sul momento di inerzia – 8

In questo ottavo articolo della raccolta di esercizi sul momento di inerzia presentiamo il calcolo del momento di inerzia di un paraboloide. Segnaliamo anche il precedente esercizio sul momento di inerzia – 7 sul calcolo del momento di inerzia di un altro solido di rotazione e il successivo esercizio sul momento di inerzia – 9 per il calcolo del momento di inerzia di una lamina circolare sottile avente densità variabile.

 

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Testo dell’esercizio

Esercizio 8 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Dati a,b>0, sia T l’insieme dei punti del primo quadrante del piano yz, delimitato dall’asse z, dalla parabola di equazione z=ay^2 (a>0) e dalla retta di equazione z=b (b>0); detto D il solido ottenuto da una rotazione di T intorno all’asse z, calcolare il momento d’inerzia di D, supposto di densità costante \mu, rispetto all’asse z, esprimendo il risultato in termini di \mu.

 

Richiamiamo brevemente i principali risultati teorici utilizzati nell’esercizio.

Richiami teorici.

Il momento d’inerzia è la misura quantitativa dell’inerzia rotazionale di un corpo, ossia la resistenza che un corpo oppone a un’alterazione della propria velocità rotazionale ad opera di un momento esterno. Ciò è evidente nella legge della dinamica rotazionale

(1)   \begin{equation*} \vec{M}^{\text{ext}}=I \vec{\alpha}, \end{equation*}

dove \vec{M}^{\text{ext}} è il momento risultante delle forze esterne applicate al corpo, rispetto a un asse fissato, e \vec{\alpha} è l’accelerazione angolare del corpo considerato rispetto allo stesso asse. Il ruolo di I è quindi molto simile a quello della massa nella seconda legge della dinamica (la resistenza che un corpo oppone ad un’alterazione della propria velocità lineare)

(2)   \begin{equation*} \vec{F}=m\vec{a}, \end{equation*}

dove \vec{F} è la forza risultante applicata al corpo, e \vec{a} è la sua accelerazione. Il momento d’inerzia di un sistema di punti materiali rispetto ad un asse fissato è dato da

(3)   \begin{equation*} I=\sum^N_{i=1}m_ir^2_i, \end{equation*}

dove m_i e r_i rappresentano rispettivamente la massa e la distanza dall’asse di rotazione dell’i-esimo punto materiale. È importante considerare che il momento d’inerzia dipende dalle distanze dall’asse di rotazione, ed al variare dell’asse rispetto a cui lo si calcola, anch’esso varia. Per un corpo solido relativo ad un dominio D \subset \mathbb{R} avente densità \delta \colon D \rightarrow [0,+\infty), e dato un asse \sigma \subset \mathbb{R}, il momento d’inerzia di D rispetto a \sigma è pari a

(4)   \begin{equation*} I= \int_D \delta(x,y,z) r^2_\sigma (x,y,z)\ \mathrm{d}x\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}z, \end{equation*}

dove r^2_\sigma (x,y,z) è il quadrato della distanza del punto (x,y,z) dall’asse \sigma. Se il corpo è costituito da un oggetto sottile assimilabile a un dominio di un piano oppure a una curva, l’integrale precedente viene convenientemente scritto come un integrale di superficie o curvilineo, scegliendo un’opportuna parametrizzazione della stessa.


Possiamo ora presentare lo svolgimento dell’esercizio.

Svolgimento.

Rappresentiamo in figura 8 l’insieme T (con i bordi rimarcati) e il solido D ottenuto dalla sua rotazione intorno all’asse z.

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 8: rappresentazione dell’insieme T, con bordi rimarcati, e del solido D ottenuto dalla sua rotazione.

  Possiamo determinare il momento d’inerzia risolvendo il seguente integrale triplo

(5)   \begin{equation*} I =\mu \iiint_D (x^2+y^2) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z, \end{equation*}

dove x^2+y^2 è il quadrato della distanza del punto (x,y,z) \in D dall’asse z. Osserviamo che, dal dominio D che stiamo considerando, segue che il paraboloide considerato è quello di equazione z=a(x^2+y^2). Parametrizziamo il dominio D, indicando con \Psi \colon [0,2\pi] \times [0,\sqrt{z/a}] \times [0,b] \to D la funzione relativa alla parametrizzazione, applicando le coordinate cilindriche:

    \[\begin{cases} x=\rho \cos \theta\\ y=\rho \sin \theta \qquad \qquad \qquad \qquad \theta \in [0,2\pi], \, \rho \in [0,\sqrt{z/a}], z \in [0,b].\\ z=z \end{cases}\]

Lo Jacobiano di \Psi, nel caso delle coordinate cilindriche, si calcola in accordo con

    \[ |J_\Psi|(\rho,\theta,z) = \begin{vmatrix} \cos\theta & -\rho\sin \theta & 0 \\[1ex] \sin\theta & \rho\cos\theta & 0 \\[1ex] 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=\rho. \]

Risolviamo dunque l’integrale triplo integrando per strati, come segue:

    \[\begin{aligned} I& =\mu \iiint_D (x^2+y^2) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \\ & =\mu \int_0^b \mathrm{d}z \int_0^{2\pi} \mathrm{d} \theta \int_0^{\sqrt{\frac{z}{a}}} \rho \rho^2 \mathrm{d}\rho = \\ & = \mu \int_0^b \mathrm{d}z \, \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{\sqrt{\frac{z}{a}}} \rho^3 \; d\rho= \\ & = \dfrac{\pi}{2} \;\mu \; \int_0^b \frac{z^2}{a^2} \, \mathrm{d}z = \\ & = \dfrac{\pi}{2a^2} \;\mu \; \left[\dfrac{z^3}{3} \right]^b_0. \end{aligned}\]

Dall’ultimo passaggio segue in particolare che il momento d’inerzia richiesto è dato da:

(6)   \begin{equation*} { I =\dfrac{b^3\pi}{6a^2} \; \mu.} \end{equation*}


 
 

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