Esercizi sul momento d’inerzia 7

Calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia

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Testo dell’esercizio

Esercizio 7  (\bigstar\bigstar\whitestarstar\largewhitestar\largewhitestar).

Dati R>0 e \alpha>0, sia T il settore circolare nel piano yz delimitato dal semiasse positivo z, dalla circonferenza di equazione y^2+z^2=R^2 e dalla semiretta uscente da O, giacente nel primo quadrante, che forma un angolo \alpha \left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right) con il semiasse z positivo. Detto D il solido ottenuto da una rotazione di T intorno all’asse z, calcolare il momento di inerzia di D, supposto di densità costante \mu, rispetto all’asse z, esprimendo il risultato in termini di \mu.

 
Richiamiamo brevemente i principali risultati teorici utilizzati nell’esercizio.

Richiami teorici.

Il momento d’inerzia è la misura quantitativa dell’inerzia rotazionale di un corpo, ossia la resistenza che un corpo oppone a un’alterazione della propria velocità rotazionale ad opera di un momento esterno. Ciò è evidente nella legge della dinamica rotazionale

(1)   \begin{equation*} \vec{M}^{\text{ext}}=I \vec{\alpha}, \end{equation*}

dove \vec{M}^{\text{ext}} è il momento risultante delle forze esterne applicate al corpo, rispetto a un asse fissato, e \vec{\alpha} è l’accelerazione angolare del corpo considerato rispetto allo stesso asse. Il ruolo di I è quindi molto simile a quello della massa nella seconda legge della dinamica (la resistenza che un corpo oppone ad un’alterazione della propria velocità lineare)

(2)   \begin{equation*} \vec{F}=m\vec{a}, \end{equation*}

dove \vec{F} è la forza risultante applicata al corpo, e \vec{a} è la sua accelerazione. Il momento d’inerzia di un sistema di punti materiali rispetto ad un asse fissato è dato da

(3)   \begin{equation*} I=\sum^N_{i=1}m_ir^2_i, \end{equation*}

dove m_i e r_i rappresentano rispettivamente la massa e la distanza dall’asse di rotazione dell’i-esimo punto materiale. È importante considerare che il momento d’inerzia dipende dalle distanze dall’asse di rotazione, ed al variare dell’asse rispetto a cui lo si calcola, anch’esso varia. Per un corpo solido relativo ad un dominio D \subset \mathbb{R} avente densità \delta \colon D \rightarrow [0,+\infty), e dato un asse \sigma \subset \mathbb{R}, il momento d’inerzia di D rispetto a \sigma è pari a

(4)   \begin{equation*} I= \int_D \delta(x,y,z) r^2_\sigma (x,y,z)\  \mathrm{d}x\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}z, \end{equation*}

dove r^2_\sigma (x,y,z) è il quadrato della distanza del punto (x,y,z) dall’asse \sigma. Se il corpo è costituito da un oggetto sottile assimilabile a un dominio di un piano oppure a una curva, l’integrale precedente viene convenientemente scritto come un integrale di superficie o curvilineo, scegliendo un’opportuna parametrizzazione della stessa.


Possiamo ora presentare lo svolgimento dell’esercizio.

Svolgimento.

Rappresentiamo in figura 7 l’insieme T (con i bordi rimarcati) e il solido D ottenuto dalla sua rotazione intorno all’asse z:

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Figura 7: rappresentazione dell’insieme T, con bordi rimarcati, e del solido D ottenuto dalla sua rotazione.

  Possiamo determinare il momento d’inerzia risolvendo il seguente integrale triplo, in accordo con l’equazione (4):

(5)   \begin{equation*} I =\mu \iiint_D (x^2+y^2) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z, \end{equation*}

dove x^2+y^2 è il quadrato della distanza del punto (x,y,z) \in D dall’asse z. Parametrizziamo il dominio D, indicando con \Psi \colon [0,R] \times [0,\alpha] \times [0,2\pi[ \to D la funzione relativa alla parametrizzazione, applicando le coordinate sferiche

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} x = \rho \sin \phi \, \cos \theta\\ y = \rho \sin \phi \, \sin \theta, \qquad \quad \rho \in [0,R], \phi \in [0,\alpha], \theta \in [0,2\pi],\\ z = \rho \, \cos \phi \end{cases} \end{equation*}

osservando anche che lo Jacobiano di \Psi, come già visto nell’esercizio 4 è |J_\Psi|=\rho^2 \sin \phi. Applicando la trasformazione (6) all’integrale (5) otteniamo

    \[\begin{aligned} I &= \mu \iiint_D (x^2+y^2) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z  = \\ & = \mu \int_0^\alpha \mathrm{d}\phi \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^R (\rho^2 \cos^2 \theta \sin^2 \phi + \rho^2 \sin^2 \theta \sin^2 \phi) \; \rho^2 \sin \phi \; \mathrm{d}\rho=\\ & = 2\pi \mu \int_0^\alpha \sin^3 \phi \; \mathrm{d} \phi \;\int_0^R \rho^4 \; \mathrm{d}\rho, \end{aligned}\]

in cui abbiamo, nell’ultimo passaggio, dopo aver sfruttato la relazione \cos^2 \theta+\sin^2\theta=1, effettuato l’integrazione rispetto alla variabile \theta. Possiamo a questo punto integrare rispetto a \rho, prima, e \phi, subito dopo; sfruttiamo ancora una volta l’equazione goniometrica fondamentale per sostituire \sin^3\phi=\sin \phi (1-\cos^2\phi) e risolviamo:

    \[\begin{aligned} I &= 2\pi\mu \; \left[\dfrac{\rho^5}{5}\right]_0^R \; \int_0^{\alpha} (\sin \phi - \sin \phi \; \cos^2 \phi) \, \mathrm{d}\phi = \\ &=  \dfrac{2\pi \mu  R^5}{5 } \left[-\cos \phi + \dfrac{\cos^3 \phi}{3}\right]_0^\alpha= \\ &=\dfrac{2\pi \mu  R^5}{5 }\left(-\cos\alpha+1+\dfrac{\cos^3 \alpha}{3}-\dfrac{1}{3}\right). \end{aligned}\]

In definitiva, il momento d’inerzia richiesto è:

(7)   \begin{equation*}  { I =\dfrac{2\pi \mu R^5}{15} \left( \cos^3 \alpha -3\cos \alpha +2 \right).}  \end{equation*}

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