Esercizi sul momento d’inerzia 4

Calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia

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Testo dell’esercizio

Esercizio 4  (\bigstar\largewhitestar\larghwhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Calcolare il momento d’inerzia di una sfera piena di raggio R e massa m rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa con l’ipotesi che la massa sia distribuita in modo omogeneo.

 
Richiamiamo brevemente i principali risultati teorici utilizzati nell’esercizio.

Richiami teorici.

Il momento d’inerzia è la misura quantitativa dell’inerzia rotazionale di un corpo, ossia la resistenza che un corpo oppone a un’alterazione della propria velocità rotazionale ad opera di un momento esterno. Ciò è evidente nella legge della dinamica rotazionale

(1)   \begin{equation*} \vec{M}^{\text{ext}}=I \vec{\alpha}, \end{equation*}

dove \vec{M}^{\text{ext}} è il momento risultante delle forze esterne applicate al corpo, rispetto a un asse fissato, e \vec{\alpha} è l’accelerazione angolare del corpo considerato rispetto allo stesso asse. Il ruolo di I è quindi molto simile a quello della massa nella seconda legge della dinamica (la resistenza che un corpo oppone ad un’alterazione della propria velocità lineare)

(2)   \begin{equation*} \vec{F}=m\vec{a}, \end{equation*}

dove \vec{F} è la forza risultante applicata al corpo, e \vec{a} è la sua accelerazione. Il momento d’inerzia di un sistema di punti materiali rispetto ad un asse fissato è dato da

(3)   \begin{equation*} I=\sum^N_{i=1}m_ir^2_i, \end{equation*}

dove m_i e r_i rappresentano rispettivamente la massa e la distanza dall’asse di rotazione dell’i-esimo punto materiale. È importante considerare che il momento d’inerzia dipende dalle distanze dall’asse di rotazione, ed al variare dell’asse rispetto a cui lo si calcola, anch’esso varia. Per un corpo solido relativo ad un dominio D \subset \mathbb{R} avente densità \delta \colon D \rightarrow [0,+\infty), e dato un asse \sigma \subset \mathbb{R}, il momento d’inerzia di D rispetto a \sigma è pari a

(4)   \begin{equation*} I= \int_D \delta(x,y,z) r^2_\sigma (x,y,z)\  \mathrm{d}x\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}z, \end{equation*}

dove r^2_\sigma (x,y,z) è il quadrato della distanza del punto (x,y,z) dall’asse \sigma. Se il corpo è costituito da un oggetto sottile assimilabile a un dominio di un piano oppure a una curva, l’integrale precedente viene convenientemente scritto come un integrale di superficie o curvilineo, scegliendo un’opportuna parametrizzazione della stessa. In questo esercizio si renderà necessario calcolare il centro di massa delle figure considerate. Ricordiamo che, mentre per un sistema di n punti materiali aventi posizioni \vec{r}_i e masse m_i il centro di massa risulta essere determinato da

(5)   \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}=\frac{\sum^n_{i=1}m_i \vec{r}_i}{\sum^n_{i=1}m_i}, \end{equation*}

per un corpo solido descritto come un dominio D \subset \mathbb{R}^3 avente densità volumica \delta \colon D \rightarrow [0, + \infty), le coordinate del centro di massa si ottengono con le versioni integrali di tali relazioni:

(6)   \begin{equation*} x_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D x \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D x \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

(7)   \begin{equation*} y_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D y \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D y \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

(8)   \begin{equation*} z_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D z \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D z \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

dove con m=\iiint_D \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z si è indicata la massa totale del corpo D. Nel caso in cui il corpo è supposto omogeneo, ossia in cui \delta è una funzione costante, essa si semplifica dal calcolo e le formule risultanti coinvolgono soltanto le proprietà geometriche di D, senza alcun riferimento alla sua massa.


Possiamo ora presentare lo svolgimento dell’esercizio.

Svolgimento.

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Figura 4: rappresentazione della sfera piena di raggio R.

  Dopo aver introdotto un sistema di riferimento fisso Oxyz con origine sul centro della sfera come in figura 4, calcoleremo il momento d’inerzia in accordo con

(9)   \begin{equation*} I = \iiint_{B} \delta(x,y,z)r^2(x,y,z)\,  \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \frac{3m}{4\pi R^3} \iiint_B (x^2+y^2)\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z, \end{equation*}

dove abbiamo denotato con B il dominio tridimensionale rappresentativo della sfera, e cioè

(10)   \begin{equation*} B= \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2 \le R^2 \right\}, \end{equation*}

e r^2(x,y,z)=x^2+y^2 è la distanza del punto (x,y,z) dall’asse z. Poiché la funzione densità \delta è costante, essa è stata portata fuori dal segno di integrale e il suo valore è pari a \delta=\frac{m}{|B|}=\frac{3m}{4\pi R^3}. Parametrizziamo B applicando le coordinate sferiche, indicando con \Psi \colon [0,R] \times [0,2\pi] \times [0,\pi] \to B la parametrizzazione, la quale è data da

    \[\begin{cases} x= \rho \sin \phi \, \cos \theta\\ y= \rho \sin \phi \, \sin \theta, \qquad \qquad \rho \in [0,R], \theta \in [0,2\pi[, \phi \in[0,\pi]\\ z = \rho \cos \phi \end{cases}\]

Studiando il determinante Jacobiano relativo alla trasformazione di coordinate, si ha

    \[ |J_\Psi|(\rho,\theta,\phi) = \begin{vmatrix}   \cos\theta \sin \phi &      \rho \cos \theta \cos \phi &      -\rho \sin \theta \sin \phi \\[1ex]    \sin\theta \sin \phi &      \rho \sin \theta \cos \phi &      \rho \cos \theta \sin \phi \\[1ex]   \cos \phi &      -\rho \sin \phi &      0 \end{vmatrix}= \rho^2 \sin \phi, \]

e, pertanto, l’elemento infinitesimo di volume si trasforma in accordo con

(11)   \begin{equation*} \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \rho^2 \sin \phi \, \mathrm{d}\rho \, \mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\phi \end{equation*}

Torniamo dunque alla risoluzione dell’integrale triplo (9); applicando le coordinate sferiche e le precedenti considerazioni, in accordo con r^2(x,y,z)=x^2+y^2=\rho^2 \sin^2\phi, si ha

(12)   \begin{equation*} r = \rho \sin \phi. \end{equation*}

Inserendo ciò, (11) e (12) in (9), si ottiene

    \[\begin{aligned} I & = \frac{3m}{4\pi R^3} \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{\pi} \mathrm{d}\phi \int_0^R (\rho \sin \phi)^2 \, \rho^2 \sin \phi \, \mathrm{d}\rho = \\ & =\frac{3m}{4\pi R^3}\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{\pi} \mathrm{d}\phi \int_0^R \rho^4 \; \sin^3 \phi \, \mathrm{d}\rho = \\ & = \frac{3m}{4\pi R^3} \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{\pi} \mathrm{d}\phi \int_0^R \rho^4 \; \left(\sin \phi - \sin \phi \cos^2\phi\right) \, \mathrm{d}\rho = \\ & = \frac{3m}{4\pi R^3}  \, 2\pi \, \dfrac{R^5}{5} \int_0^{\pi}\left(\sin \phi - \sin \phi \cos^2\phi\right) \, \mathrm{d} \phi = \\ & = \frac{3m}{4\pi R^3}  \, 2\pi \, \dfrac{R^5}{5} \left[-\cos \phi + \dfrac{\cos^3 \phi}{3}\right]_0^\pi =\\ & = \dfrac{R^2}{5}m \; \dfrac{3}{2} \; \left(1-\dfrac{1}{3}+1-\dfrac{1}{3}\right),  \end{aligned}\]

dove abbiamo prima effettuato l’integrazione rispetto a \theta e \rho e per ultimo abbiamo integrato rispetto a \phi. In definitiva, segue che il momento d’inerzia richiesto è dato da:

(13)   \begin{equation*} I= \dfrac{2}{5} \; mR^2. \end{equation*}

La soluzione si poteva determinare anche utilizzando la conclusione dell’esercizio 3. Infatti, si può pensare la sfera piena come l’unione di gusci sferici cavi di raggio \rho al variare di \rho \in [0, R], e quindi

(14)   \begin{equation*} I=\int_0^R I_\rho \mathrm{d}\rho = \int_0^R \frac{2}{3} \mu(\rho)\rho^2 \mathrm{d}\rho, \end{equation*}

dove I_\rho= \frac{2}{3} \mu(\rho)\rho^2 è il momento di inerzia del guscio sferico di raggio \rho e massa \mu(\rho). La funzione \mu(\rho) si può determinare osservando che la massa totale deve essere pari all’integrale delle masse \mu(\rho) e che, poiché la densità della sfera piena è costante, \mu(\rho) è proporzionale alla superficie sferica del guscio, cioè \mu(\rho)=\beta \rho^2 per un certo parametro \beta > 0:

(15)   \begin{equation*} m=\int_0^R \mu(\rho)\mathrm{d}\rho= \int_0^R \mu(\rho) \mathrm{d}\rho = \int_0^R \beta \rho^2 \mathrm{d}\rho = \frac{\beta R^3}{3}, \end{equation*}

da cui segue \beta=\frac{3m}{R^3}. Dunque \mu(\rho)= \frac{3m}{R^3}\rho^2 e, sostituendo in (14), si ottiene

(16)   \begin{equation*} I=\int_0^R \frac{2}{3} \frac{3m}{R^3} \rho^4 \mathrm{d}\rho = \frac{2m}{R^3} \left[\frac{\rho^5}{5}\right]^R_0=\frac{2}{5}mR^2. \end{equation*}

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