Esercizi sul momento d’inerzia 5

Calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia

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Testo dell’esercizio

Esercizio 5  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Calcolare il momento d’inerzia di un’asta sottile, di lunghezza d, rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare ad essa, ipotizzando che la massa sia distribuita in modo omogeneo rispetto al proprio centro di massa.

 
Richiamiamo brevemente i principali risultati teorici utilizzati nell’esercizio.

Richiami teorici.

Il momento d’inerzia è la misura quantitativa dell’inerzia rotazionale di un corpo, ossia la resistenza che un corpo oppone a un’alterazione della propria velocità rotazionale ad opera di un momento esterno. Ciò è evidente nella legge della dinamica rotazionale

(1)   \begin{equation*} \vec{M}^{\text{ext}}=I \vec{\alpha}, \end{equation*}

dove \vec{M}^{\text{ext}} è il momento risultante delle forze esterne applicate al corpo, rispetto a un asse fissato, e \vec{\alpha} è l’accelerazione angolare del corpo considerato rispetto allo stesso asse. Il ruolo di I è quindi molto simile a quello della massa nella seconda legge della dinamica (la resistenza che un corpo oppone ad un’alterazione della propria velocità lineare)

(2)   \begin{equation*} \vec{F}=m\vec{a}, \end{equation*}

dove \vec{F} è la forza risultante applicata al corpo, e \vec{a} è la sua accelerazione. Il momento d’inerzia di un sistema di punti materiali rispetto ad un asse fissato è dato da

(3)   \begin{equation*} I=\sum^N_{i=1}m_ir^2_i, \end{equation*}

dove m_i e r_i rappresentano rispettivamente la massa e la distanza dall’asse di rotazione dell’i-esimo punto materiale. È importante considerare che il momento d’inerzia dipende dalle distanze dall’asse di rotazione, ed al variare dell’asse rispetto a cui lo si calcola, anch’esso varia. Per un corpo solido relativo ad un dominio D \subset \mathbb{R} avente densità \delta \colon D \rightarrow [0,+\infty), e dato un asse \sigma \subset \mathbb{R}, il momento d’inerzia di D rispetto a \sigma è pari a

(4)   \begin{equation*} I= \int_D \delta(x,y,z) r^2_\sigma (x,y,z)\  \mathrm{d}x\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}z, \end{equation*}

dove r^2_\sigma (x,y,z) è il quadrato della distanza del punto (x,y,z) dall’asse \sigma. Se il corpo è costituito da un oggetto sottile assimilabile a un dominio di un piano oppure a una curva, l’integrale precedente viene convenientemente scritto come un integrale di superficie o curvilineo, scegliendo un’opportuna parametrizzazione della stessa. In questo esercizio si renderà necessario calcolare il centro di massa delle figure considerate. Ricordiamo che, mentre per un sistema di n punti materiali aventi posizioni \vec{r}_i e masse m_i il centro di massa risulta essere determinato da

(5)   \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}=\frac{\sum^n_{i=1}m_i \vec{r}_i}{\sum^n_{i=1}m_i}, \end{equation*}

per un corpo solido descritto come un dominio D \subset \mathbb{R}^3 avente densità volumica \delta \colon D \rightarrow [0, + \infty), le coordinate del centro di massa si ottengono con le versioni integrali di tali relazioni:

(6)   \begin{equation*} x_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D x \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D x \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

(7)   \begin{equation*} y_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D y \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D y \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

(8)   \begin{equation*} z_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D z \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D z \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

dove con m=\iiint_D \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z si è indicata la massa totale del corpo D. Nel caso in cui il corpo è supposto omogeneo, ossia in cui \delta è una funzione costante, essa si semplifica dal calcolo e le formule risultanti coinvolgono soltanto le proprietà geometriche di D, senza alcun riferimento alla sua massa.


Possiamo ora presentare lo svolgimento dell’esercizio.

Svolgimento.

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Figura 5: rappresentazione dell’asta di lunghezza d.

  Introduciamo un conveniente sistema di riferimento fisso Oxyz con origine sul centro di massa dell’asta, in modo che l’asta giaccia lungo l’asse delle y, come in figura 5; l’asse rispetto a cui si vuole calcolare il momento di inerzia è, per simmetria, una retta qualsiasi del piano xz passante per l’origine, e quindi si può scegliere l’asse z. Nell’ipotesi di massa distribuita in modo omogeneo, si ha che la densità lineare \lambda può essere espressa come

(9)   \begin{equation*} \lambda = \dfrac{m}{d}. \end{equation*}

Il momento d’inerzia dell’asta sarà dato da

(10)   \begin{equation*} I= \int_\gamma \lambda(\ell) r^2(\ell) \, \mathrm{d}\ell = \frac{m}{d} \int_\gamma r^2(\ell) \mathrm{d}\ell, \end{equation*}

dove \gamma è la curva che descrive l’asta e r(\ell) è la distanza dell’elemento \gamma(\ell) dall’asse z. Una possibile parametrizzazione di \gamma è quella che segue

    \[\vec{\gamma}(y) = (0,y,0), \qquad \mbox{con } y \in \left[-\frac{d}{2}, \frac{d}{2} \right].\]

Il momento d’inerzia è dunque un integrale di linea di prima specie

    \[\begin{aligned} I & = \frac{m}{d} \int_\gamma r^2(\ell) \mathrm{d}\ell =\frac{m}{d} \int_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}} y^2 \; \mathrm{d}y = \frac{m}{d} \left[\dfrac{y^3}{3}\right]_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}} =  \dfrac{m}{3d}\dfrac{d^3}{8} \, 2. \end{aligned}\]

Semplificando avremo, dunque, il momento d’inerzia richiesto:

(11)   \begin{equation*} I = \dfrac{md^2}{12}.  \end{equation*}