Esercizi sul momento d’inerzia 9

Calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia

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Testo dell’esercizio

Esercizio 9  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Data una lamina piana circolare sottile di raggio R, calcolarne il momento d’inerzia rispetto a un asse passante per il centro e perpendicolare alla lamina, nell’ipotesi che la densità sia proporzionale al cubo della distanza dal centro stesso; esprimere il risultato trovato in termini della massa m della lamina.

 

Richiamiamo brevemente i principali risultati teorici utilizzati nell’esercizio.

Richiami teorici.

Il momento d’inerzia è la misura quantitativa dell’inerzia rotazionale di un corpo, ossia la resistenza che un corpo oppone a un’alterazione della propria velocità rotazionale ad opera di un momento esterno. Ciò è evidente nella legge della dinamica rotazionale

(1)   \begin{equation*} \vec{M}^{\text{ext}}=I \vec{\alpha}, \end{equation*}

dove \vec{M}^{\text{ext}} è il momento risultante delle forze esterne applicate al corpo, rispetto a un asse fissato, e \vec{\alpha} è l’accelerazione angolare del corpo considerato rispetto allo stesso asse. Il ruolo di I è quindi molto simile a quello della massa nella seconda legge della dinamica (la resistenza che un corpo oppone ad un’alterazione della propria velocità lineare)

(2)   \begin{equation*} \vec{F}=m\vec{a}, \end{equation*}

dove \vec{F} è la forza risultante applicata al corpo, e \vec{a} è la sua accelerazione. Il momento d’inerzia di un sistema di punti materiali rispetto ad un asse fissato è dato da

(3)   \begin{equation*} I=\sum^N_{i=1}m_ir^2_i, \end{equation*}

dove m_i e r_i rappresentano rispettivamente la massa e la distanza dall’asse di rotazione dell’i-esimo punto materiale. È importante considerare che il momento d’inerzia dipende dalle distanze dall’asse di rotazione, ed al variare dell’asse rispetto a cui lo si calcola, anch’esso varia. Per un corpo solido relativo ad un dominio D \subset \mathbb{R} avente densità \delta \colon D \rightarrow [0,+\infty), e dato un asse \sigma \subset \mathbb{R}, il momento d’inerzia di D rispetto a \sigma è pari a

(4)   \begin{equation*} I= \int_D \delta(x,y,z) r^2_\sigma (x,y,z)\  \mathrm{d}x\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}z, \end{equation*}

dove r^2_\sigma (x,y,z) è il quadrato della distanza del punto (x,y,z) dall’asse \sigma. Se il corpo è costituito da un oggetto sottile assimilabile a un dominio di un piano oppure a una curva, l’integrale precedente viene convenientemente scritto come un integrale di superficie o curvilineo, scegliendo un’opportuna parametrizzazione della stessa.


Possiamo ora presentare lo svolgimento dell’esercizio.

Svolgimento.

Possiamo scrivere il dominio occupato dalla lamina come

    \[D=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \, \colon \, x^2+y^2 \le R^2\right\}\]

rappresentato in figura 9.

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Figura 9: rappresentazione del dominio D.

  Ricordiamo che il momento d’inerzia rispetto all’asse passante per O e perpendicolare al piano xy è definito come segue:

(5)   \begin{equation*} I = \iint_D (x^2+y^2) \sigma(x,y) \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y. \end{equation*}

dove \sigma(x,y)=k(x^2+y^2)^{\frac{3}{2} } per un certo k \in (0+\infty) fissato; per determinare la massa totale della lamina, pertanto, occorrerà risolvere

(6)   \begin{equation*} m = \iint_D k\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y. \end{equation*}

Parametrizziamo D applicando le coordinate polari; in particolare, sia \Psi \colon [0,R] \times [0,2\pi] \to D la funzione relativa al cambiamento di coordinate, definita da:

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} x = \rho \, \cos \theta \\ \hspace{4cm} \rho \in [0,R], \theta \in [0,2\pi],\\ y = \rho \, \sin \theta \end{cases} \end{equation*}

e, ricordando che il determinante Jacobiano associato alla trasformazione è |J_\Psi|=\rho, possiamo ricavare la massa totale dell’oggetto:

(8)   \begin{equation*} m = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^R k \rho \left(\rho^2 \cos^2 \theta + \rho^2 \, \sin^2 \theta \right)^{\frac{3}{2}} \; \mathrm{d}\rho = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^R k \rho^4 \, \mathrm{d}\rho=2 \pi \left[\dfrac{\rho^5}{5}\right]^R_0=\dfrac{2k\pi R^5}{5}, \end{equation*}

da cui ricaviamo che la costante k è data da

(9)   \begin{equation*}  k = \dfrac{5m}{2 \pi R^5}. \end{equation*}

Calcoliamo adesso il momento d’inerzia, risolvendo il relativo integrale (5) doppio in coordinate polari:

    \[\begin{aligned} I & = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^R k \rho \left(\rho^2 \cos^2 \theta + \rho^2 \sin^2 \theta \right)^{\frac{5}{2}} \; \mathrm{d}\rho = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^R k \rho^6 \, \mathrm{d}\rho = \dfrac{2k \pi R^7}{7}, \end{aligned}\]

in cui possiamo sostituire il valore di k determinato precedentemente per ricavare il momento d’inerzia richiesto:

(10)   \begin{equation*}  { I =\dfrac{5}{7}m R^2.}  \end{equation*}

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