Esercizi sul momento d’inerzia 10

Calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia

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Testo dell’esercizio

Esercizio 10  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Data una lamina piana ellittica sottile di semiassi a e b, calcolarne il momento d’inerzia rispetto a un asse passante per il centro e perpendicolare alla lamina, nell’ipotesi che la densità sia proporzionale al quadrato della distanza dal centro stesso; esprimere il risultato trovato in termini della massa m della lamina.

 
Richiamiamo brevemente i principali risultati teorici utilizzati nell’esercizio.

Richiami teorici.

Il momento d’inerzia è la misura quantitativa dell’inerzia rotazionale di un corpo, ossia la resistenza che un corpo oppone a un’alterazione della propria velocità rotazionale ad opera di un momento esterno. Ciò è evidente nella legge della dinamica rotazionale

(1)   \begin{equation*} \vec{M}^{\text{ext}}=I \vec{\alpha}, \end{equation*}

dove \vec{M}^{\text{ext}} è il momento risultante delle forze esterne applicate al corpo, rispetto a un asse fissato, e \vec{\alpha} è l’accelerazione angolare del corpo considerato rispetto allo stesso asse. Il ruolo di I è quindi molto simile a quello della massa nella seconda legge della dinamica (la resistenza che un corpo oppone ad un’alterazione della propria velocità lineare)

(2)   \begin{equation*} \vec{F}=m\vec{a}, \end{equation*}

dove \vec{F} è la forza risultante applicata al corpo, e \vec{a} è la sua accelerazione. Il momento d’inerzia di un sistema di punti materiali rispetto ad un asse fissato è dato da

(3)   \begin{equation*} I=\sum^N_{i=1}m_ir^2_i, \end{equation*}

dove m_i e r_i rappresentano rispettivamente la massa e la distanza dall’asse di rotazione dell’i-esimo punto materiale. È importante considerare che il momento d’inerzia dipende dalle distanze dall’asse di rotazione, ed al variare dell’asse rispetto a cui lo si calcola, anch’esso varia. Per un corpo solido relativo ad un dominio D \subset \mathbb{R} avente densità \delta \colon D \rightarrow [0,+\infty), e dato un asse \sigma \subset \mathbb{R}, il momento d’inerzia di D rispetto a \sigma è pari a

(4)   \begin{equation*} I= \int_D \delta(x,y,z) r^2_\sigma (x,y,z)\  \mathrm{d}x\ \mathrm{d}y\ \mathrm{d}z, \end{equation*}

dove r^2_\sigma (x,y,z) è il quadrato della distanza del punto (x,y,z) dall’asse \sigma. Se il corpo è costituito da un oggetto sottile assimilabile a un dominio di un piano oppure a una curva, l’integrale precedente viene convenientemente scritto come un integrale di superficie o curvilineo, scegliendo un’opportuna parametrizzazione della stessa.

Possiamo ora presentare lo svolgimento dell’esercizio.

Svolgimento.

Fissiamo a,b\neq 0. Il dominio D in esame, che rappresentiamo in figura 10, si scrive quindi come

(5)   \begin{equation*} D=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \, \colon \, \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} \le 1, \; a,b \neq 0 \right\}. \end{equation*}

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Figura 10: rappresentazione del dominio D.

  Ricordiamo che il momento d’inerzia è definito come segue

(6)   \begin{equation*} I = \iint_D (x^2+y^2)\sigma(x,y)\mathrm{d}x \, \mathrm{d}y,\\ \end{equation*}

dove \sigma(x,y)=k(x^2+y^2) per una certa costante k>0. Calcoliamo la massa totale della lamina:

(7)   \begin{equation*} m = \iint_D k\left(x^2+y^2\right) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y. \end{equation*}

Parametrizziamo D applicando le coordinate ellittiche \Psi \colon [0,1] \times [0,2\pi] \to D definite da:

    \[\begin{cases} x = a \,\rho \, \cos \theta \\ \hspace{4cm} \rho \in [0,1], \theta \in [0,2\pi].\\ y = b \, \rho \, \sin \theta \end{cases}\]

Lo jacobiano del cambio di coordinate \Psi è quindi

(8)   \begin{equation*} J_\Psi(\rho,\theta) = \begin{vmatrix}  a \cos\theta  &      -  a \rho \sin \theta  \\[1ex]   b \sin\theta &    b  \rho \cos \theta    \end{vmatrix}= a b \rho, \end{equation*}

La massa totale m sarà dunque data da

    \[\begin{aligned} m & = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^1 k \rho a b \left(\rho^2 a^2 \cos^2 \theta + \rho^2  b^2  \sin^2 \theta \right) \; \mathrm{d}\rho = \\ & = kab \int_0^{2\pi} \left( a^2 \cos^2 \theta + b^2  \sin^2 \theta \right) \mathrm{d}\theta \int_0^1 \rho^3  \; \mathrm{d}\rho =\\ & = \dfrac{kab}{4} \int_0^{2\pi} \left( a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta \right)\, \mathrm{d}\theta = \\  &= \dfrac{kab \pi (a^2+b^2)}{4}, \end{aligned},\]

dove nell’ultima uguaglianza si sono usate le seguenti uguaglianze, verificabili integrando per parti, o usando le formule di bisezione:

    \[\int_{0}^{2\pi}\sin^2x \, \mathrm{d}x= \int_{0}^{2\pi}\cos^2x \,\mathrm{d}x=\pi.\]

Otteniamo pertanto che la costante k può essere scritta come

(9)   \begin{equation*} k = \dfrac{4m}{ab\pi(a^2+b^2)}. \end{equation*}

Risolviamo adesso l’integrale doppio relativo al momento d’inerzia:

    \[\begin{aligned} I & = \iint_D k (x^2+y^2)^2\, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \\ & = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^1 k\rho a b \; \left(\rho^2 a^2 \cos^2 \theta + \rho^2 b^2 \sin^2 \theta \right)^2 \; \mathrm{d}\rho =\\ & = \dfrac{kab}{6} \int_0^{2\pi}\left( a^4 \cos^4 \theta + 2a^2b^2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + b^4 \sin^4  \theta \right) \; \mathrm{d}\theta. \end{aligned}\]

Ricordiamo la seguente proprietà:

    \[\begin{aligned} &{\displaystyle \int \sin ^{n}(cx)\cos ^{m}(cx)\;\mathrm {d} x=-{\frac {\sin ^{n-1}(cx)\cos ^{m+1}(cx)}{c(n+m)}}+{\frac {n-1}{n+m}}\int \sin ^{n-2}(cx)\cos ^{m}(cx)\;\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(per }}m,n>0{\mbox{)}}}, \end{aligned}\]

dove c è una costante reale non nulla, ed applichiamola per il secondo dei tre termini presenti all’interno dell’integrale; per il primo e terzo termine, dunque rispettivamente a^4\cos \theta e b^4\sin \theta, usiamo invece

    \[\begin{aligned} \cos^4 x & = \cos^2 x \cos^2 x = \\ & = \frac{1}{4} (1+\cos(2x)) \cdot (1+\cos(2x)) =\\ & = \frac{1}{4} (1 + 2 \cos(2x) + \cos^2(2x)) = \\ & = \frac{1}{4} \left(1+2\cos(2x) + \frac{1}{2} (1+ \cos(4x)) \right) = \\ & = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x), \end{aligned}\]

e

    \[\begin{aligned} \sin^4 x & = \sin^2 x \sin^2 x = \\ & = \frac{1}{4} (1-\cos(2x)) \cdot (1-\cos(2x)) =\\ & = \frac{1}{4} (1 - 2 \cos(2x) + \cos^2(2x)) = \\ & = \frac{1}{4} \left(1-2\cos(2x) + \frac{1}{2} (1+ \cos(4x)) \right) = \\ & = \frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x). \end{aligned}\]

Il calcolo dell’integrale si effettua allora come segue:

    \[\begin{aligned} I & =\dfrac{kab}{6} \int_0^{2\pi}\left( a^4 \cos^4 \theta + 2a^2b^2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + b^4 \sin^4  \theta \right) \; \mathrm{d}\theta=\\ &= \dfrac{kab}{6} \int_0^{2\pi} a^4\left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos(2\theta) + \frac{1}{8}\cos(4\theta)\right) + 2a^2b^2\sin^2\theta\cos^2\theta + b^4\left(\frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cos(2\theta) + \frac{1}{8}\cos(4\theta)\right) \mathrm{d}\theta = \\ &=\dfrac{kab}{6} \left\lbrace a^4\left[\frac{3}{8}\theta + \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta + \frac{1}{32}\sin 4 \theta \right]^{2\pi}_0 + 2a^2b^2\frac{\pi}{4} +  b^4\left[\frac{3}{8}\theta - \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta + \frac{1}{32}\sin 4 \theta \right]^{2\pi}_0\right\rbrace =\\ &=\dfrac{kab}{6} \left(a^4\; \dfrac{3}{4} \pi + 2a^2b^2 \; \dfrac{\pi}{4} + b^4 \; \dfrac{3}{4}\pi\right)  = \\ & = \dfrac{kab\pi}{24} \left(3a^4+2a^2b^2+3b^4\right), \end{aligned}\]

da cui possiamo sostituire il valore di k determinato in (9) per ricavare il momento d’inerzia richiesto:

(10)   \begin{equation*}  { I =\dfrac{m}{6(a^2+b^2)} \left(3a^4+2a^2b^2+3b^4\right).}  \end{equation*}