Esercizi sul centro di massa

Benvenuti nella dispensa dedicata agli esercizi riguardanti la determinazione del centro di massa di figure piane e solide, oltre ad alcuni esercizi che riguardano anche il calcolo di momenti d’inerzia.

All’interno di questa dispensa troverete una selezione accurata di 15 esercizi svolti sul calcolo del centro di massa. Ciascun esercizio è stato scelto per stimolare e migliorare la vostra comprensione, mentre le soluzioni dettagliate e le spiegazioni vi accompagneranno attraverso concetti complessi in modo chiaro e intuitivo. Segnaliamo inoltre la raccolta di esercizi sul momento d’inerzia.

Esercizio 1  .

Si calcoli la posizione del centro di massa di un semianello rigido sottile, omogeneo, di raggio .

 
Svolgimento esercizio 1
 

Esercizio 2  .

Si trovi la posizione del centro di massa di una lamina piana omogenea di spessore trascurabile, avente la forma di un semicerchio di raggio .

 
Svolgimento esercizio 2
 

Esercizio 3  .

Si consideri la bacchetta rettilinea di lunghezza e massa rappresentata in figura. Si
calcoli la posizione del centro di massa nei casi seguenti.
1. La bacchetta è omogenea;
 
2. La densità lineare in un punto a distanza dall’estremo sinistro della bacchetta è
 
3. La densità lineare in un punto a distanza dall’estremo sinistro della bacchetta è

Svolgimento esercizio 3
 

Esercizio 4 .

Un telaio rettangolare è formato da quattro aste omogenee saldate come in figura: ed identiche, di massa e lunghezza , , di massa e lunghezza e , di massa e lunghezza . Determinare la posizione del centro di massa del corpo.

Svolgimento esercizio 4
 

Esercizio 5 .

Si determini la posizione del centro di massa di una bacchetta di lunghezza , la cui densità lineare è nel primo tratto lungo e nel secondo tratto lungo .

 
Svolgimento esercizio 5
 

Esercizio 6 .

Un’asta omogenea di massa è piegata in forma di un arco di cerchio di raggio e angolo al centro corrispondente all’arco di cerchio considerato , come mostrato in figura.
1. Dimostrare che il centro di massa si trova a una distanza da pari a ;
2. Determinare il momento d’inerzia dell’asta rispetto all’asse passante per il centro di massa e ortogonale al piano che contiene l’asta.

Svolgimento esercizio 6
 

Esercizio 7 .

Determinare il centro di massa di un arco di circonferenza di raggio e angolo al centro corrispondente all’arco di cerchio considerato , supponendo che la densità, in un suo punto generico , sia

(1)  

essendo un parametro positivo avente le dimensioni di una densità lineare, e la lunghezza dell’arco di cerchio da a .

 
Svolgimento esercizio 7
 

Esercizio 8 .

Determinare il centro di massa di un tratto, sotteso dall’angolo al centro , di una corona circolare piena omogenea compresa fra le circonferenze di raggio ed (con ).

 
Svolgimento esercizio 8
 

Esercizio 9 .

Determinare il centro di massa della superficie piana omogenea a forma di arco rappresentata in figura considerando i dati ivi illustrati.

Svolgimento esercizio 9
 

Esercizio 10 .

Dato , determinare il centro di massa di un tetraedro omogeneo delimitato dai piani , , e .

 
Svolgimento esercizio 10
 

Esercizio 11 .

Determinare il centro di massa di una semisfera solida omogenea di raggio .

 
Svolgimento esercizio 11
 

Esercizio 12 .

Calcolare il momento d’inerzia del settore omogeneo di raggio , ampiezza e massa mostrato in figura rispetto all’asse ad esso ortogonale e passante per il centro di massa.

Svolgimento esercizio 12
 

Esercizio 13 .

Dimostrare che il momento d’inerzia di un triangolo rettangolo omogeneo di massa e di cateti e rispetto ad un asse ad esso ortogonale e passante per il proprio centro di massa è .

 
Svolgimento esercizio 13
 

Esercizio 14 .

Una lamina quadrata di lato ha spessore trascurabile ed è disposta nel piano come è mostrato in figura. La densità superficiale varia da punto a punto secondo la legge , con e . Si calcoli la massa della lamina e le coordinate del centro di massa.

Svolgimento esercizio 14
 

Esercizio 15 .

Su un piano verticale si trova una lamina omogenea di massa , con spessore trascurabile e sagomata a forma di cerchio di centro e raggio con un foro, anch’esso circolare, di centro e raggio ; i centri e distano tra loro . Si determini la posizione del centro di massa della lamina e i moduli dei momenti della forza peso relativi ai poli e ; si consideri che la forza peso agisce in direzione dell’asse rappresentato nella figura.

Svolgimento esercizio 15
 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Esercizi di Meccanica razionale

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica