Esercizi sul centro di massa e sul momento d’inerzia 9

Calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia

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Testi degli esercizi

Esercizio 9  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).

Determinare il centro di massa della superficie piana omogenea a forma di arco rappresentata in figura considerando i dati ivi illustrati.

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Prima di presentare la soluzione, ricordiamo brevemente alcuni concetti teorici che utilizzeremo. Il lettore può utilizzare tali richiami come suggerimento, nel caso desiderasse sapere quali strumenti usare nello svolgimento.

Richiami teorici.

Il centro di massa di un corpo rigido o di un sistema di punti materiali riveste notevole importanza nello studio della statica e nella dinamica di tali oggetti: è noto infatti che, a tal fine, è possibile considerare un sistema di punti materiali o un corpo rigido come un unico punto materiale, situato nel centro di massa, di massa pari alla massa totale del sistema e su cui agisce la risultante delle forze esterne applicate al sistema. Ciò consente di trascurare i cosiddetti moti interni e ottenere una descrizione semplificata, ma per certi versi essenziale, dello stato di moto del corpo. Una volta determinato il moto del centro di massa risulta poi generalmente più semplice determinare i moti delle particelle costituenti il corpo, relativamente a tale centro di massa. Si pensi ad esempio a due palline sferiche di massa m_1 e m_2, legate tramite un’asta rigida o una molla, e si supponga di lanciare questo oggetto in aria. Si osserverà un moto molto complicato delle due palline, ma si può dimostrare che il moto del centro di massa è puramente parabolico. Analogamente avviene nel caso di corpi rigidi, in rotazione, etc. Da queste considerazioni appare essenziale essere in grado di determinare la posizione del centro di massa di sistemi di punti materiali o di corpi solidi. Mentre per un sistema di n punti materiali aventi posizioni \vec{r}_i e masse m_i il centro di massa risulta essere determinato da

(1)   \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}=\frac{\sum^n_{i=1}m_i \vec{r}_i}{\sum^n_{i=1}m_i}, \end{equation*}

per un corpo solido descritto come un dominio D \subset \mathbb{R}^3 avente densità volumica \delta \colon D \rightarrow [0, + \infty), le coordinate del centro di massa si ottengono con le versioni integrali di tali relazioni:

(2)   \begin{equation*} x_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D x \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \frac{\iiint_D x \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} y_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D y \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \frac{\iiint_D y \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} z_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D z \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \frac{\iiint_D z \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

dove con m=\iiint_D \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z si è indicata la massa totale del corpo D. Nel caso in cui il corpo è supposto omogeneo, ossia in cui \delta è una funzione costante, essa si semplifica dal calcolo e le formule risultanti coinvolgono soltanto le proprietà geometriche di D, senza alcun riferimento alla sua massa. Chiaramente, a volte il corpo in esame possiede delle proprietà geometriche particolari, ad esempio può essere costituito da una lastra piana sottile o da un’asta sottile, riducendo il calcolo delle coordinate del centro di massa alla risoluzioni rispettivamente di integrali doppi o di superficie, oppure integrali semplici o di linea.

 


Possiamo ora presentare la soluzione dell’esercizio.

Svolgimento.

Dopo aver introdotto un sistema di riferimento fisso Oxy come nella figura data, facciamo alcune considerazioni sulla superficie in esame. Anzitutto, essa è simmetrica rispetto all’asse y, pertanto il centro di massa deve avere ascissa x_{\text{cm}}=0. Ci concentreremo dunque sulla determinazione dell’ordinata del centro di massa, tralasciando i calcoli relativi all’ascissa. Possiamo poi immaginare che la superficie data sia l’unione di tre superfici diverse: i due rettangoli di altezza h e il tratto di corona circolare giacente nel semipiano superiore. I due rettangoli, per simmetria, avranno centro di massa coincidente con il centro di simmetria della figura; per entrambi, l’ordinata del centro di massa sarà y_{\text{cm}_1}=y_{\text{cm}_2}=-\dfrac{h}{2}. Consideriamo l’ordinata del centro di massa del tratto di corona circolare; per calcolare quest’ultima possiamo riferirci all’esercizio 8 ed applicarne qui il risultato; si ha, in particolare

(5)   \begin{equation*} y'_{\text{cm}}=\frac{14}{9}\frac{R}{\pi}. \end{equation*}

Possiamo a questo punto determinare l’ordinata del centro di massa dell’intera superficie usando la proprietà distributiva del centro di massa:

(6)   \begin{equation*} y_{\text{cm}}=\dfrac{m_1 y_{\text{cm}_1} + m_2 y_{\text{cm}_2} + m' y'_{\text{cm}}}{m_1+m_2+m'}, \end{equation*}

dove si sono indicate con m_1 ed m_2 le masse dei due rettangoli. Considerando che l’area di questi ultimi è \dfrac{R}{2}h, avremo

(7)   \begin{equation*} y_{\text{cm}}=\dfrac{-\dfrac{h}{2} \sigma \dfrac{R}{2}h -\dfrac{h}{2} \sigma \dfrac{R}{2}h + \sigma \dfrac{3\pi}{8}R^2 \dfrac{14}{9} \dfrac{R}{\pi}}{\sigma \dfrac{R}{2}h+\sigma \dfrac{R}{2}h+\sigma \dfrac{3\pi}{8}R^2}, \end{equation*}

dove \sigma è la densità superficiale della figura. Da quest’ultima equazione, semplificando per \sigma ed R, segue

(8)   \begin{equation*} y_{\text{cm}}=\dfrac{-\dfrac{h^2}{2}+\dfrac{7}{12}R^2}{h+\dfrac{3\pi}{8}R}=\frac{2}{3} \frac{7R^2-6h^2}{8h + 3\pi R}. \end{equation*}

In definitiva, dunque, la posizione del centro di massa è

(9)   \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}= \left( 0, \frac{2}{3} \frac{7R^2-6h^2}{8h + 3\pi R} \right). \end{equation*}

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