Esercizi sul centro di massa e sul momento d’inerzia 2

Calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia

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Testo dell’ esercizio

Esercizio 2   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Si trovi la posizione del centro di massa di una lamina piana omogenea di spessore trascurabile, avente la forma di un semicerchio di raggio R.

 

Richiami teorici.

  Il centro di massa di un corpo rigido o di un sistema di punti materiali riveste notevole importanza nello studio della statica e nella dinamica di tali oggetti: è noto infatti che, a tal fine, è possibile considerare un sistema di punti materiali o un corpo rigido come un unico punto materiale, situato nel centro di massa, di massa pari alla massa totale del sistema e su cui agisce la risultante delle forze esterne applicate al sistema. Ciò consente di trascurare i cosiddetti moti interni e ottenere una descrizione semplificata, ma per certi versi essenziale, dello stato di moto del corpo. Una volta determinato il moto del centro di massa risulta poi generalmente più semplice determinare i moti delle particelle costituenti il corpo, relativamente a tale centro di massa. Si pensi ad esempio a due palline sferiche di massa m_1 e m_2, legate tramite un’asta rigida o una molla, e si supponga di lanciare questo oggetto in aria. Si osserverà un moto molto complicato delle due palline, ma si può dimostrare che il moto del centro di massa è puramente parabolico. Analogamente avviene nel caso di corpi rigidi, in rotazione, etc. Da queste considerazioni appare essenziale essere in grado di determinare la posizione del centro di massa di sistemi di punti materiali o di corpi solidi. Mentre per un sistema di n punti materiali aventi posizioni \vec{r}_i e masse m_i il centro di massa risulta essere determinato da

(1)   \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}=\frac{\sum^n_{i=1}m_i \vec{r}_i}{\sum^n_{i=1}m_i}, \end{equation*}

per un corpo solido descritto come un dominio D \subset \mathbb{R}^3 avente densità volumica \delta \colon D \rightarrow [0, + \infty), le coordinate del centro di massa si ottengono con le versioni integrali di tali relazioni:

(2)   \begin{equation*} x_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D x \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D x \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} y_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D y \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D y \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} z_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D z \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D z \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

dove con m=\iiint_D \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z si è indicata la massa totale del corpo D. Nel caso in cui il corpo è supposto omogeneo, ossia in cui \delta è una funzione costante, essa si semplifica dal calcolo e le formule risultanti coinvolgono soltanto le proprietà geometriche di D, senza alcun riferimento alla sua massa. Chiaramente, a volte il corpo in esame possiede delle proprietà geometriche particolari, ad esempio può essere costituito da una lastra piana sottile o da un’asta sottile, riducendo il calcolo delle coordinate del centro di massa alla risoluzioni rispettivamente di integrali doppi o di superficie, oppure integrali semplici o di linea.  


Possiamo ora presentare la soluzione dell’esercizio.

Svolgimento.

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Figura 2: rappresentazione della lamina di forma semicircolare; indicheremo con \displaystyle \theta l’angolo convesso formato dal vettore posizione e dal semiasse positivo delle ascisse.

 

Fissiamo un sistema di riferimento fisso Oxy come in figura 2, in modo da far coincidere l’origine del sistema con il centro della semicirconferenza. Possiamo scrivere in coordinate polari le coordinate (x,y) di un generico punto P appartenente alla lamina come segue:

    \[\begin{cases} x=\rho \cos \theta\\ \qquad \qquad \qquad \theta \in[0,2\pi], \, \rho \in [0,R].\\ y=\rho \sin \theta \end{cases}\]

Ricordiamo inoltre che, nel passaggio alle coordinate polari, la superficie infinitesima \mathrm{d}x\mathrm{d}y si trasforma come segue:

(5)   \begin{equation*} \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y=\rho\, \mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\theta. \end{equation*}

Il centro di massa sarà dunque dato dal seguente integrale doppio esteso all’intera superficie S

(6)   \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}= \dfrac{ \iint_S \vec{r}\sigma \, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y}{ \iint_S \sigma\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y}=\dfrac{2}{\pi R^2}\iint_S \vec{r}\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y, \end{equation*}

dove si è identificata con \sigma la densità superficiale della lamina, e con \mathrm{d}x\mathrm{d}y la superficie infinitesima; essendo \sigma costante, si è scelto di semplificare quest’ultima nell’ultimo passaggio. Segue, passando alle coordinate polari e usando l’equazione (5),

(7)   \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}= \dfrac{2}{\pi R^2}\int^\pi_0 \mathrm{d}\theta \int_0^R (\rho \cos \theta\, \hat{x}+\rho \sin \theta\, \hat{y})\rho\, \mathrm{d}\rho=\dfrac{2}{\pi R^2}\int^\pi_0 \mathrm{d}\theta \int_0^R (\rho^2)( \cos \theta\, \hat{x}+ \sin \theta\, \hat{y})\, \mathrm{d}\rho, \end{equation*}

dove \hat{x} e \hat{y} sono i versori relativi agli assi. Effettuando l’integrazione rispetto alla coordinata radiale si ottiene

(8)   \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}= \dfrac{2}{\pi R^2}\int^\pi_0 \dfrac{R^3}{3} ( \cos \theta\, \hat{x}+ \sin \theta\, \hat{y}) \mathrm{d}\theta, \end{equation*}

da cui segue, integrando rispetto a \theta,

(9)   \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}= \dfrac{2}{\pi R^2}\dfrac{R^3}{3}\left([\sin\theta\,\hat{x}]_0^\pi-[\cos\theta\, \hat{y}]_0^\pi\right)=\dfrac{2R}{3\pi}2\hat{y}, \end{equation*}

Il centro di massa avrà dunque coordinate:

(10)   \begin{equation*} 					\vec{r}_{\text{cm}}=\left(0,\dfrac{4R}{3\pi}\right), \end{equation*}

in cui, come nell’esercizio precedente, la componente x è nulla per la simmetria del problema.

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