Esercizi sul centro di massa e sul momento d’inerzia 14

Calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia

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Testi degli esercizi

Esercizio 14  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).

Una lamina quadrata di lato l=20\ \mathrm{cm} ha spessore trascurabile ed è disposta nel piano xy come è mostrato in figura. La densità superficiale varia da punto a punto secondo la legge \sigma(x,y)=\sigma_0 + \gamma(x+y), con \sigma_0= 5 \ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2 e \gamma=10\  \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3. Si calcoli la massa della lamina e le coordinate del centro di massa.

 

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Prima di presentare la soluzione, ricordiamo brevemente alcuni concetti teorici che utilizzeremo. Il lettore può utilizzare tali richiami come suggerimento, nel caso desiderasse sapere quali strumenti usare nello svolgimento.

Richiami teorici.

  Il centro di massa di un corpo rigido o di un sistema di punti materiali riveste notevole importanza nello studio della statica e nella dinamica di tali oggetti: è noto infatti che, a tal fine, è possibile considerare un sistema di punti materiali o un corpo rigido come un unico punto materiale, situato nel centro di massa, di massa pari alla massa totale del sistema e su cui agisce la risultante delle forze esterne applicate al sistema. Ciò consente di trascurare i cosiddetti moti interni e ottenere una descrizione semplificata, ma per certi versi essenziale, dello stato di moto del corpo. Una volta determinato il moto del centro di massa risulta poi generalmente più semplice determinare i moti delle particelle costituenti il corpo, relativamente a tale centro di massa. Si pensi ad esempio a due palline sferiche di massa m_1 e m_2, legate tramite un’asta rigida o una molla, e si supponga di lanciare questo oggetto in aria. Si osserverà un moto molto complicato delle due palline, ma si può dimostrare che il moto del centro di massa è puramente parabolico. Analogamente avviene nel caso di corpi rigidi, in rotazione, etc. Da queste considerazioni appare essenziale essere in grado di determinare la posizione del centro di massa di sistemi di punti materiali o di corpi solidi. Mentre per un sistema di n punti materiali aventi posizioni \vec{r}_i e masse m_i il centro di massa risulta essere determinato da

(1)   \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}=\frac{\sum^n_{i=1}m_i \vec{r}_i}{\sum^n_{i=1}m_i}, \end{equation*}

per un corpo solido descritto come un dominio D \subset \mathbb{R}^3 avente densità volumica \delta \colon D \rightarrow [0, + \infty), le coordinate del centro di massa si ottengono con le versioni integrali di tali relazioni:

(2)   \begin{equation*} x_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D x \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D x \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} y_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D y \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D y \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} z_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D z \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D z \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

dove con m=\iiint_D \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z si è indicata la massa totale del corpo D. Nel caso in cui il corpo è supposto omogeneo, ossia in cui \delta è una funzione costante, essa si semplifica dal calcolo e le formule risultanti coinvolgono soltanto le proprietà geometriche di D, senza alcun riferimento alla sua massa. Chiaramente, a volte il corpo in esame possiede delle proprietà geometriche particolari, ad esempio può essere costituito da una lastra piana sottile o da un’asta sottile, riducendo il calcolo delle coordinate del centro di massa alla risoluzioni rispettivamente di integrali doppi o di superficie, oppure integrali semplici o di linea.  


Possiamo ora presentare la soluzione dell’esercizio.

Svolgimento.

Introduciamo un sistema di riferimento fisso Oxy come nella figura data. Dalla definizione di densità superficiale segue

(5)   \begin{equation*} \mathrm{d}m=\sigma(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y. \end{equation*}

Per determinare la massa totale occorre integrare la massa infinitesima \mathrm{d}m in tutto lo spazio occupato dalla lamina. Occorre dunque risolvere l’integrale doppio seguente

(6)   \begin{equation*} m=\int_0^l \mathrm{d}x \int_0^l \sigma(x,y) \mathrm{d}y=\int_0^l \mathrm{d}x \int_0^l [\sigma_0+ \gamma(x+y)]\mathrm{d}y. \end{equation*}

Integriamo prima rispetto alla variabile y; avremo pertanto

(7)   \begin{equation*} m=\int_0^l \left[\sigma_0 y+ \gamma xy + \gamma \frac{y^2}{2}\right]^l_0 \mathrm{d}x=\int_0^l \left(\sigma_0 l+ \gamma l x+ \gamma \frac{l^2}{2}\right) \mathrm{d}x. \end{equation*}

Integriamo a questo punto rispetto alla variabile x:

(8)   \begin{equation*} m= \left[\sigma_0 l x+ \gamma l \frac{x^2}{2}+ \gamma \frac{l^2}{2}x \right]^l_0 = \sigma_0 l^2+ \gamma \frac{l^3}{2}+ \gamma \frac{l^3}{2}=\sigma_0 l^2+\gamma l^3. \end{equation*}

La massa totale risulta pertanto essere

(9)   \begin{equation*} m= l^2(\sigma_0 +\gamma l). \end{equation*}

Per determinare il centro di massa della lamina, iniziamo considerando la definizione di centro di massa, ossia

(10)   \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}=\frac{1}{m}\iint_D \vec{r} \sigma \mathrm{d}x \mathrm{d}y, \end{equation*}

dove \vec{r}_{\text{cm}},\vec{r}=x\, \hat{x} + y\, \hat{y} e D rappresentano rispettivamente la posizione del centro di massa, la posizione di un generico elemento \mathrm{d}m della lamina e il dominio spaziale

(11)   \begin{equation*} D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \colon 0 \leq x \leq l,\, 0 \leq y \leq l\} \end{equation*}

occupato dalla lamina. Occorre pertanto risolvere l’integrale doppio seguente, dove indichiamo con \hat{x} e \hat{y} i versori relativi agli assi:

    \[\begin{aligned} \vec{r}_{\text{cm}}&=\frac{1}{m}\int^l_0 \mathrm{d}x \int^l_0 (x\, \hat{x} + y\, \hat{y}) [\sigma_0+ \gamma(x+y)] \mathrm{d}y=\\ &=\frac{\hat{x}}{m}\int^l_0 \mathrm{d}x \int^l_0 [\sigma_0 x + \gamma(x^2+xy)]\mathrm{d}y +\frac{ \hat{y}}{m}\int^l_0 \mathrm{d}x \int^l_0 [\sigma_0 y + \gamma( xy + y^2)]\mathrm{d}y, \end{aligned}\]

dove dall’ultimo passaggio si evince che le componenti x e y del vettore \vec{r}_{\text{cm}} risulteranno dalla risoluzione dei due integrali doppi. Effettuiamo per prima l’integrazione rispetto a y in entrambi gli integrali:

    \[\begin{aligned} \vec{r}_{\text{cm}}&=\frac{\hat{x}}{m}\int^l_0 \left[\sigma_0 xy + \gamma\left(x^2y+x\frac{y^2}{2} \right)\right]^l_0 \mathrm{d}x +\frac{\hat{y}}{m}\int^l_0 \left[\sigma_0 \frac{y^2}{2} + \gamma\left( x\frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3}\right)\right]^l_0\mathrm{d}x =\\ &=\frac{\hat{x}}{m}\int^l_0 \sigma_0 l x + \gamma \left(x^2l+x\frac{l^2}{2} \right) \mathrm{d}x +\frac{\hat{y}}{m}\int^l_0 \sigma_0 \frac{l^2}{2} + \gamma\left( x\frac{l^2}{2} + \frac{l^3}{3}\right)\mathrm{d}x. \end{aligned}\]

Procediamo integrando rispetto alla variabile x:

    \[\begin{aligned} \vec{r}_{\text{cm}}&=\frac{\hat{x}}{m} \left[ \sigma_0 l \frac{x^2}{2} + \gamma \left(\frac{x^3}{3}l+l^2\frac{x^2}{4} \right) \right]^l_0 +\frac{\hat{y}}{m}\left[ \sigma_0 \frac{l^2}{2}x + \gamma\left( x^2\frac{l^2}{4} + \frac{l^3}{3}x\right) \right]^l_0=\\ &=\frac{\hat{x}}{m} \left[ \sigma_0 \frac{l^3}{2} + \gamma \left(\frac{l^4}{3}+\frac{l^4}{4} \right) \right]+\frac{\hat{y}}{m}\left[ \sigma_0 \frac{l^3}{2} + \gamma\left( \frac{l^4}{4} + \frac{l^4}{3}\right) \right]\\ &=\frac{\hat{x}}{m} \left(\sigma_0 \frac{l^3}{2}+\frac{7}{12}l^4 \gamma \right)+\frac{\hat{y}}{m} \left(\sigma_0 \frac{l^3}{2} + \frac{7}{12} l^4 \gamma\right). \end{aligned}\]

Abbiamo determinato che le componenti sono uguali tra loro, e ciò non è sorprendente, data la simmetria del problema. Se sostituiamo m=l^2 (\sigma_0 + \gamma l) e semplifichiamo, avremo, in definitiva,

(12)   \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}= \frac{l(6\sigma_0 + 7  l\gamma)}{12 ( \sigma_0 + \gamma l)} ( \hat{x}+ \hat{y}). \end{equation*}