Esercizi sul centro di massa e sul momento d’inerzia 12

Calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia

Home » Esercizi sul centro di massa e sul momento d’inerzia 12


 

Testi degli esercizi

Esercizio 12  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).

Calcolare il momento d’inerzia del settore omogeneo di raggio R, ampiezza \alpha e massa m mostrato in figura rispetto all’asse ad esso ortogonale e passante per il centro di massa.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Prima di presentare la soluzione, ricordiamo brevemente alcuni concetti teorici che utilizzeremo. Il lettore può utilizzare tali richiami come suggerimento, nel caso desiderasse sapere quali strumenti usare nello svolgimento.

Richiami teorici.

Il centro di massa di un corpo rigido o di un sistema di punti materiali riveste notevole importanza nello studio della statica e nella dinamica di tali oggetti: è noto infatti che, a tal fine, è possibile considerare un sistema di punti materiali o un corpo rigido come un unico punto materiale, situato nel centro di massa, di massa pari alla massa totale del sistema e su cui agisce la risultante delle forze esterne applicate al sistema. Ciò consente di trascurare i cosiddetti moti interni e ottenere una descrizione semplificata, ma per certi versi essenziale, dello stato di moto del corpo. Una volta determinato il moto del centro di massa risulta poi generalmente più semplice determinare i moti delle particelle costituenti il corpo, relativamente a tale centro di massa. Si pensi ad esempio a due palline sferiche di massa m_1 e m_2, legate tramite un’asta rigida o una molla, e si supponga di lanciare questo oggetto in aria. Si osserverà un moto molto complicato delle due palline, ma si può dimostrare che il moto del centro di massa è puramente parabolico. Analogamente avviene nel caso di corpi rigidi, in rotazione, etc. Da queste considerazioni appare essenziale essere in grado di determinare la posizione del centro di massa di sistemi di punti materiali o di corpi solidi. Mentre per un sistema di n punti materiali aventi posizioni \vec{r}_i e masse m_i il centro di massa risulta essere determinato da

(1)   \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}=\frac{\sum^n_{i=1}m_i \vec{r}_i}{\sum^n_{i=1}m_i}, \end{equation*}

per un corpo solido descritto come un dominio D \subset \mathbb{R}^3 avente densità volumica \delta \colon D \rightarrow [0, + \infty), le coordinate del centro di massa si ottengono con le versioni integrali di tali relazioni:

(2)   \begin{equation*} x_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D x \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D x \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} y_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D y \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D y \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} z_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D z \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D z \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

dove con m=\iiint_D \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z si è indicata la massa totale del corpo D. Nel caso in cui il corpo è supposto omogeneo, ossia in cui \delta è una funzione costante, essa si semplifica dal calcolo e le formule risultanti coinvolgono soltanto le proprietà geometriche di D, senza alcun riferimento alla sua massa. Chiaramente, a volte il corpo in esame possiede delle proprietà geometriche particolari, ad esempio può essere costituito da una lastra piana sottile o da un’asta sottile, riducendo il calcolo delle coordinate del centro di massa alla risoluzioni rispettivamente di integrali doppi o di superficie, oppure integrali semplici o di linea.  

Il momento d’inerzia è la misura quantitativa dell’inerzia rotazionale di un corpo, ossia la resistenza che un corpo oppone a un’alterazione della propria velocità rotazionale ad opera di un momento esterno. Tale ruolo, evidente nella legge della dinamica rotazionale

(5)   \begin{equation*} M^{\text{ext}}=I \alpha, \end{equation*}

dove M^{\text{ext}} è il momento risultante delle forze esterne applicate, e \alpha è l’accelerazione angolare del corpo considerato, è molto simile al ruolo della massa nella seconda legge della dinamica (la resistenza che un corpo oppone ad un’alterazione della propria velocità lineare)

(6)   \begin{equation*} \vec{F}=m\vec{a}, \end{equation*}

dove \vec{F} è la forza risultante, e \vec{a} è l’accelerazione. Il momento d’inerzia di un sistema di punti materiali è dato da

(7)   \begin{equation*} I=\sum^N_{i=1}m_ir^2_i. \end{equation*}

Per un corpo solido relativo ad un dominio D \subset \mathbb{R}^3 avente densità \delta \colon D \rightarrow [0,+\infty), e dato un asse \sigma \subset \mathbb{R}^3, il momento d’inerzia di D rispetto a \sigma è pari a

(8)   \begin{equation*} I= \int_D \delta(x,y,z) r^2_\sigma (x,y,z)\  \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z, \end{equation*}

dove r^2_\sigma (x,y,z) è il quadrato della distanza del punto (x,y,z) dall’asse \sigma. Se il corpo è costituito da un oggetto sottile assimilabile a una superficie oppure a una curva, l’integrale precedente viene convenientemente scritto come un integrale di superficie o curvilineo, scegliendo un’opportuna parametrizzazione della stessa. Gli esercizi seguenti mirano ad applicare le idee qui descritte, esplorando una sufficiente varietà di situazioni in cui alcune semplificazioni rendono il calcolo più efficiente e immediato.


Possiamo ora presentare la soluzione dell’esercizio.

Svolgimento.

Determiniamo per prima cosa la posizione del centro di massa. A tal fine, scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy come quello proposto in figura 12a.

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 12a: introduzione del sistema di riferimento, scelto in modo che l’asse delle ordinate sia bisettrice dell’angolo di ampiezza \displaystyle 2\alpha.

  Osserviamo dunque che il problema può essere svolto in coordinate polari, essendo

    \[\begin{cases} x=\rho \cos\theta\\ y=\rho \sin \theta, \end{cases}\]

dove \theta \in [\frac{\pi}{2}-\alpha,\frac{\pi}{2}+\alpha] e \rho \in [0,R]. Come per gli esercizi precedenti, la posizione del centro di massa sarà data da

(9)   \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}=\frac{1}{|D|} \iint_D \vec{r} \mathrm{d}x \mathrm{d}y=\frac{1}{|D|} \iint_D (x\, \hat{x} + y\, \hat{y}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y, \end{equation*}

dove si è espressa la misura dell’area relativa al dominio con |D| e si è esplicitato il vettore posizione \vec{r}=x\, \hat{x} + y\, \hat{y} riferito a un generico punto appartenente al dominio D occupato dal settore circolare; quest’ultimo, in coordinate polari, corrisponde al rettangolo [0,R] \times [\frac{\pi}{2}-\alpha,\frac{\pi}{2}+\alpha]. Passando alle coordinate polari, l’integrale doppio dell’equazione (9) può essere scritto come

    \[\begin{aligned} \vec{r}_{\text{cm}} & =\frac{1}{|D|} \int^{\frac{\pi}{2}+\alpha}_{\frac{\pi}{2}-\alpha} \mathrm{d}\theta \int_0^R (\hat{x} \rho^2\cos\theta+\hat{y} \rho^2\sin\theta ) \mathrm{d} \rho=\\ &= \frac{1}{|D|} \frac{R^3}{3} \int  ^{\frac{\pi}{2}+\alpha}_{\frac{\pi}{2}-\alpha} (\hat{x}\cos\theta+\hat{y}\sin\theta) \mathrm{d}\theta=\\ &= \frac{R^3}{3\alpha R^2} \Big[\hat{x} \sin \theta  - \hat{y} \cos \theta  \Big]_{\pi/2-\alpha}^{\pi/2+\alpha} =\\ &=  \frac{2R}{3\alpha} \hat{y} \sin \alpha. \end{aligned}\]

Data la simmetria del problema, dunque, il centro di massa si trova sull’asse delle ordinate. Definiamo ora \vec{r}'=\vec{r}- \vec{r}_{\text{cm}} come in figura 12b seguente.

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 12b: rappresentazione dei vettori posizione indicati nel testo.

  Si ha dunque

(10)   \begin{equation*} \vec{r}\ '=\vec{r}_{\text{cm}}-\vec{r}= \left(\frac{2R}{3\alpha}\sin \alpha - r\sin \theta\right)\, \hat{y}- r\cos \theta\, \hat{x}, \end{equation*}

da cui è possibile calcolare il quadrato del modulo di tale vettore:

(11)   \begin{equation*} |\vec{r}\ '|^2 = \frac{4R^2}{9\alpha^2}\sin^2\alpha + r^2 - \frac{4Rr}{3\alpha}\sin \alpha \sin \theta. \end{equation*}

Possiamo a questo punto calcolare il momento d’inerzia in accordo con

(12)   \begin{equation*} I= \iint_D \sigma(x,y) |r| dxdy = \frac{m}{|D|} \iint_D |\vec{r}\ '|^2 \mathrm{d}x \mathrm{d}y, \end{equation*}

dove si è usato che la densità \sigma(x,y) è costante per l’omogeneità del corpo, e vale \frac{m}{|D|}. Possiamo riscrivere l’integrale precedente usando le coordinate polari:

(13)   \begin{equation*} I= \frac{m}{|D|} \int^{\frac{\pi}{2}+\alpha}_{\frac{\pi}{2}-\alpha} \mathrm{d}\theta \int^R_0 \left(\frac{4R^2}{9\alpha^2}\sin^2\alpha + r^2 - \frac{4Rr}{3\alpha}\sin \alpha \sin \theta\right) r \mathrm{d}r. \end{equation*}

Ancora una volta, possiamo considerare la somma di tre integrali doppi, uno per ogni termine della funzione integranda. Osserviamo anche che i primi due termini sono costanti rispetto a \theta, per cui l’integrazione è più semplice rispetto all’ultimo termine; in particolare, si ha

    \[\begin{aligned} I&=\frac{m}{|D|} \left( \frac{4R^2}{9\alpha^2} \sin^2 \alpha \frac{R^2}{2}2\alpha \right)+ \frac{m}{|D|} \frac{R^4}{4}2\alpha - \frac{4R}{3\alpha} \frac{m}{|D|} \frac{R^3}{3} \sin \alpha \int^{\frac{\pi}{2}+\alpha}_{\frac{\pi}{2}-\alpha}   \sin \theta \mathrm{d}\theta=\\ &= \frac{4}{9} \frac{\sin^2\alpha}{\alpha^2}R^2 m + \frac{1}{2}R^2m- \frac{8}{9} \frac{\sin^2\alpha}{\alpha^2}R^2 m= \\ &= \frac{1}{2} mR^2 - \frac{4}{9} \frac{\sin^2\alpha}{\alpha^2}mR^2, \end{aligned}\]

dove si è usato |D|=R^2 \alpha. In definitiva, dunque, il momento d’inerzia richiesto vale:

(14)   \begin{equation*} I=\frac{1}{2}mR^2 \left(1-\frac{8}{9}\frac{\sin^2\alpha}{\alpha^2}\right). \end{equation*}

Come per l’esercizio 6, è possibile risolvere il problema anche usando il teorema di Huygens-Steiner.

error: Il contenuto è protetto!!