Esercizio sul centro di massa – 12

Calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia

Home » Esercizio sul centro di massa – 12

Esercizio sul centro di massa – 12

In questo dodicesimo articolo della raccolta di esercizi sul centro di massa presentiamo il calcolo del momento di inerzia di un settore circolare relativo a un asse passante per il suo centro di massa. Segnaliamo anche il precedente esercizio sul centro di massa – 11 e il successivo esercizio sul centro di massa – 13 per ulteriore materiale sul medesimo argomento.

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 15 esercizi risolti, contenuti in 28 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione del centro di massa.

Testo dell’esercizio

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ .

Calcolare il momento d’inerzia del settore omogeneo di raggio $R$ , ampiezza $\alpha$ e massa $m$ mostrato in figura rispetto all’asse ad esso ortogonale e passante per il centro di massa.

Rendered by QuickLaTeX.com

Prima di presentare la soluzione, ricordiamo brevemente alcuni concetti teorici che utilizzeremo. Il lettore può utilizzare tali richiami come suggerimento, nel caso desiderasse sapere quali strumenti usare nello svolgimento.

Richiami teorici.

Il centro di massa di un corpo rigido o di un sistema di punti materiali riveste notevole importanza nello studio della statica e nella dinamica di tali oggetti: è noto infatti che, a tal fine, è possibile considerare un sistema di punti materiali o un corpo rigido come un unico punto materiale, situato nel centro di massa, di massa pari alla massa totale del sistema e su cui agisce la risultante delle forze esterne applicate al sistema. Ciò consente di trascurare i cosiddetti moti interni e ottenere una descrizione semplificata, ma per certi versi essenziale, dello stato di moto del corpo. Una volta determinato il moto del centro di massa risulta poi generalmente più semplice determinare i moti delle particelle costituenti il corpo, relativamente a tale centro di massa. Si pensi ad esempio a due palline sferiche di massa $m_1$ e $m_2$ , legate tramite un’asta rigida o una molla, e si supponga di lanciare questo oggetto in aria. Si osserverà un moto molto complicato delle due palline, ma si può dimostrare che il moto del centro di massa è puramente parabolico. Analogamente avviene nel caso di corpi rigidi, in rotazione, etc. Da queste considerazioni appare essenziale essere in grado di determinare la posizione del centro di massa di sistemi di punti materiali o di corpi solidi. Mentre per un sistema di $n$ punti materiali aventi posizioni $\vec{r}_i$ e masse $m_i$ il centro di massa risulta essere determinato da

(1) $\begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}=\frac{\sum^n_{i=1}m_i \vec{r}_i}{\sum^n_{i=1}m_i}, \end{equation*}$

per un corpo solido descritto come un dominio $D \subset \mathbb{R}^3$ avente densità volumica $\delta \colon D \rightarrow [0, + \infty)$ , le coordinate del centro di massa si ottengono con le versioni integrali di tali relazioni:

(2) $\begin{equation*} x_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D x \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \frac{\iiint_D x \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} y_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D y \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \frac{\iiint_D y \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} z_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D z \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = \frac{\iiint_D z \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}$

dove con $m=\iiint_D \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z$ si è indicata la massa totale del corpo $D$ . Nel caso in cui il corpo è supposto omogeneo, ossia in cui $\delta$ è una funzione costante, essa si semplifica dal calcolo e le formule risultanti coinvolgono soltanto le proprietà geometriche di $D$ , senza alcun riferimento alla sua massa. Chiaramente, a volte il corpo in esame possiede delle proprietà geometriche particolari, ad esempio può essere costituito da una lastra piana sottile o da un’asta sottile, riducendo il calcolo delle coordinate del centro di massa alla risoluzioni rispettivamente di integrali doppi o di superficie, oppure integrali semplici o di linea.

Il momento d’inerzia è la misura quantitativa dell’inerzia rotazionale di un corpo, ossia la resistenza che un corpo oppone a un’alterazione della propria velocità rotazionale ad opera di un momento esterno. Tale ruolo, evidente nella legge della dinamica rotazionale

(5) $\begin{equation*} M^{\text{ext}}=I \alpha, \end{equation*}$

dove $M^{\text{ext}}$ è il momento risultante delle forze esterne applicate, e $\alpha$ è l’accelerazione angolare del corpo considerato, è molto simile al ruolo della massa nella seconda legge della dinamica (la resistenza che un corpo oppone ad un’alterazione della propria velocità lineare)

(6) $\begin{equation*} \vec{F}=m\vec{a}, \end{equation*}$

dove $\vec{F}$ è la forza risultante, e $\vec{a}$ è l’accelerazione. Il momento d’inerzia di un sistema di punti materiali è dato da

(7) $\begin{equation*} I=\sum^N_{i=1}m_ir^2_i. \end{equation*}$

Per un corpo solido relativo ad un dominio $D \subset \mathbb{R}^3$ avente densità $\delta \colon D \rightarrow [0,+\infty)$ , e dato un asse $\sigma \subset \mathbb{R}^3$ , il momento d’inerzia di $D$ rispetto a $\sigma$ è pari a

(8) $\begin{equation*} I= \int_D \delta(x,y,z) r^2_\sigma (x,y,z)\ \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z, \end{equation*}$

dove $r^2_\sigma (x,y,z)$ è il quadrato della distanza del punto $(x,y,z)$ dall’asse $\sigma$ . Se il corpo è costituito da un oggetto sottile assimilabile a una superficie oppure a una curva, l’integrale precedente viene convenientemente scritto come un integrale di superficie o curvilineo, scegliendo un’opportuna parametrizzazione della stessa. Gli esercizi seguenti mirano ad applicare le idee qui descritte, esplorando una sufficiente varietà di situazioni in cui alcune semplificazioni rendono il calcolo più efficiente e immediato.

Possiamo ora presentare la soluzione dell’esercizio.

Svolgimento.

Determiniamo per prima cosa la posizione del centro di massa. A tal fine, scegliamo un sistema di riferimento fisso $Oxy$ come quello proposto in figura 12a.

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 12a: introduzione del sistema di riferimento, scelto in modo che l’asse delle ordinate sia bisettrice dell’angolo di ampiezza $\displaystyle 2\alpha$ .

Osserviamo dunque che il problema può essere svolto in coordinate polari, essendo

$\begin{cases} x=\rho \cos\theta\\ y=\rho \sin \theta, \end{cases}$

dove $\theta \in [\frac{\pi}{2}-\alpha,\frac{\pi}{2}+\alpha]$ e $\rho \in [0,R]$ . Come per gli esercizi precedenti, la posizione del centro di massa sarà data da

(9) $\begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}=\frac{1}{|D|} \iint_D \vec{r} \mathrm{d}x \mathrm{d}y=\frac{1}{|D|} \iint_D (x\, \hat{x} + y\, \hat{y}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y, \end{equation*}$

dove si è espressa la misura dell’area relativa al dominio con $|D|$ e si è esplicitato il vettore posizione $\vec{r}=x\, \hat{x} + y\, \hat{y}$ riferito a un generico punto appartenente al dominio $D$ occupato dal settore circolare; quest’ultimo, in coordinate polari, corrisponde al rettangolo $[0,R] \times [\frac{\pi}{2}-\alpha,\frac{\pi}{2}+\alpha]$ . Passando alle coordinate polari, l’integrale doppio dell’equazione (9) può essere scritto come

$\begin{aligned} \vec{r}_{\text{cm}} & =\frac{1}{|D|} \int^{\frac{\pi}{2}+\alpha}_{\frac{\pi}{2}-\alpha} \mathrm{d}\theta \int_0^R (\hat{x} \rho^2\cos\theta+\hat{y} \rho^2\sin\theta ) \mathrm{d} \rho=\\ &= \frac{1}{|D|} \frac{R^3}{3} \int ^{\frac{\pi}{2}+\alpha}_{\frac{\pi}{2}-\alpha} (\hat{x}\cos\theta+\hat{y}\sin\theta) \mathrm{d}\theta=\\ &= \frac{R^3}{3\alpha R^2} \Big[\hat{x} \sin \theta - \hat{y} \cos \theta \Big]_{\pi/2-\alpha}^{\pi/2+\alpha} =\\ &= \frac{2R}{3\alpha} \hat{y} \sin \alpha. \end{aligned}$

Data la simmetria del problema, dunque, il centro di massa si trova sull’asse delle ordinate. Definiamo ora $\vec{r}'=\vec{r}- \vec{r}_{\text{cm}}$ come in figura 12b seguente.

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 12b: rappresentazione dei vettori posizione indicati nel testo.

Si ha dunque

(10) $\begin{equation*} \vec{r}\ '=\vec{r}_{\text{cm}}-\vec{r}= \left(\frac{2R}{3\alpha}\sin \alpha - r\sin \theta\right)\, \hat{y}- r\cos \theta\, \hat{x}, \end{equation*}$

da cui è possibile calcolare il quadrato del modulo di tale vettore:

(11) $\begin{equation*} |\vec{r}\ '|^2 = \frac{4R^2}{9\alpha^2}\sin^2\alpha + r^2 - \frac{4Rr}{3\alpha}\sin \alpha \sin \theta. \end{equation*}$

Possiamo a questo punto calcolare il momento d’inerzia in accordo con

(12) $\begin{equation*} I= \iint_D \sigma(x,y) |r| dxdy = \frac{m}{|D|} \iint_D |\vec{r}\ '|^2 \mathrm{d}x \mathrm{d}y, \end{equation*}$

dove si è usato che la densità $\sigma(x,y)$ è costante per l’omogeneità del corpo, e vale $\frac{m}{|D|}$ . Possiamo riscrivere l’integrale precedente usando le coordinate polari:

(13) $\begin{equation*} I= \frac{m}{|D|} \int^{\frac{\pi}{2}+\alpha}_{\frac{\pi}{2}-\alpha} \mathrm{d}\theta \int^R_0 \left(\frac{4R^2}{9\alpha^2}\sin^2\alpha + r^2 - \frac{4Rr}{3\alpha}\sin \alpha \sin \theta\right) r \mathrm{d}r. \end{equation*}$

Ancora una volta, possiamo considerare la somma di tre integrali doppi, uno per ogni termine della funzione integranda. Osserviamo anche che i primi due termini sono costanti rispetto a $\theta$ , per cui l’integrazione è più semplice rispetto all’ultimo termine; in particolare, si ha

$\begin{aligned} I&=\frac{m}{|D|} \left( \frac{4R^2}{9\alpha^2} \sin^2 \alpha \frac{R^2}{2}2\alpha \right)+ \frac{m}{|D|} \frac{R^4}{4}2\alpha - \frac{4R}{3\alpha} \frac{m}{|D|} \frac{R^3}{3} \sin \alpha \int^{\frac{\pi}{2}+\alpha}_{\frac{\pi}{2}-\alpha} \sin \theta \mathrm{d}\theta=\\ &= \frac{4}{9} \frac{\sin^2\alpha}{\alpha^2}R^2 m + \frac{1}{2}R^2m- \frac{8}{9} \frac{\sin^2\alpha}{\alpha^2}R^2 m= \\ &= \frac{1}{2} mR^2 - \frac{4}{9} \frac{\sin^2\alpha}{\alpha^2}mR^2, \end{aligned}$

dove si è usato $|D|=R^2 \alpha$ . In definitiva, dunque, il momento d’inerzia richiesto vale:

(14) $\begin{equation*} I=\frac{1}{2}mR^2 \left(1-\frac{8}{9}\frac{\sin^2\alpha}{\alpha^2}\right). \end{equation*}$

Come per l’esercizio 6, è possibile risolvere il problema anche usando il teorema di Huygens-Steiner.

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..

Esercizi di Meccanica razionale

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi...

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

Document

Alessio Fulvi

2024-07-17

Un sito molto utile, professionale e chiaro, che approfondisce vari argomenti. Ho utilizzato questo sito per prepararmi a diversi esami, lo stesso mi ha fornito di strumenti adatti e specifici, permettendomi di colmare lacune che mi portavo avanti dai tempi del liceo. Il sito web è adatto ad una ricerca e risoluzione rapida di ogni quesito inerente alle materie trattate, facile ed intuitivo da utilizzare. Grazie e ben fatto.

Diego Aracri

2024-07-09

ho trovato questo sito mentre preparavo analisi 1 ed ho deciso di consultarlo. mi sono trovato benissimo, ha molto materiale da consultare, sia teorico che pratico, e ogni esercizio è spiegato nei minimi dettagli. consigliatissimo, dubito che altrimenti avrei passato l'esame!

Alessandro Morra

2024-06-20

Grazie, molto rigoroso e chiaro

martina toro

2024-06-13

Sito meraviglioso! Ho scoperto per caso questo sito perché cercavo le soluzioni degli esercizi di Fisica del libro "Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde" del Mazzoldi. Riescono a spiegare in modo chiaro ed esaustivo come si svolgono i problemi. Sono un'ottima risorsa per chi sta affrontando per la prima volta gli esercizi, ma anche per chi ha già una preparazione e vuole chiarire alcuni dubbi. Inoltre sono molto gentili e disponibili. Veramente un'ottima scoperta, consiglio a tutti.

Ugo Cozzi

2024-06-02

Uno dei più bei siti online di matematica e fisica. Dispense ben fatte. Impaginazione perfetta con Latex

antonio elia

2024-05-29

Sito ben fatto e con tanto materiale consultabile, sono cinquantenne autodidatta, ed ho trovato un valido aiuto

Francesco Doria

Un sito bellissimo sia per chi è all'università che alle superiori. Un lavoro fatto con passione e lungo, decisamente da tenere sempre in mente come riferimento, e non solo per gli esercizi. Un grande grazie.

Stefano Parisi

Un sito ben fatto, moltissimi argomenti trattati a diversi livelli di difficoltà, ottimo sia per la teoria che per gli esercizi.

50% di sconto su tutto fino al 31/12/2024

Menu

Chiudi

Esercizio sul centro di massa – 12

Esercizio sul centro di massa – 12

Scarica gli esercizi svolti

Testo dell’esercizio

Richiami teorici.

Svolgimento.

Esercizi di Meccanica classica

Leggi..

Esercizi di Meccanica razionale

Leggi...

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

Suggerimenti, refusi ed errori