Esercizi sul centro di massa e sul momento d’inerzia 6

Calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia

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Testi degli esercizi

Esercizio 6   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Un’asta omogenea di massa m è piegata in forma di un arco di cerchio di raggio a e angolo al centro corrispondente all’arco di cerchio considerato 2\alpha, come mostrato in figura.
1. Dimostrare che il centro di massa si trova a una distanza d da O pari a d=a\dfrac{\sin\alpha}{\alpha};
2. Determinare il momento d’inerzia dell’asta rispetto all’asse passante per il centro di massa e ortogonale al piano che contiene l’asta.

 

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Prima di presentare la soluzione, ricordiamo brevemente alcuni concetti teorici che utilizzeremo. Il lettore può utilizzare tali richiami come suggerimento, nel caso desiderasse sapere quali strumenti usare nello svolgimento.

Richiami teorici.

Il centro di massa di un corpo rigido o di un sistema di punti materiali riveste notevole importanza nello studio della statica e nella dinamica di tali oggetti: è noto infatti che, a tal fine, è possibile considerare un sistema di punti materiali o un corpo rigido come un unico punto materiale, situato nel centro di massa, di massa pari alla massa totale del sistema e su cui agisce la risultante delle forze esterne applicate al sistema. Ciò consente di trascurare i cosiddetti moti interni e ottenere una descrizione semplificata, ma per certi versi essenziale, dello stato di moto del corpo. Una volta determinato il moto del centro di massa risulta poi generalmente più semplice determinare i moti delle particelle costituenti il corpo, relativamente a tale centro di massa. Si pensi ad esempio a due palline sferiche di massa m_1 e m_2, legate tramite un’asta rigida o una molla, e si supponga di lanciare questo oggetto in aria. Si osserverà un moto molto complicato delle due palline, ma si può dimostrare che il moto del centro di massa è puramente parabolico. Analogamente avviene nel caso di corpi rigidi, in rotazione, etc. Da queste considerazioni appare essenziale essere in grado di determinare la posizione del centro di massa di sistemi di punti materiali o di corpi solidi. Mentre per un sistema di n punti materiali aventi posizioni \vec{r}_i e masse m_i il centro di massa risulta essere determinato da

(1)   \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}=\frac{\sum^n_{i=1}m_i \vec{r}_i}{\sum^n_{i=1}m_i}, \end{equation*}

per un corpo solido descritto come un dominio D \subset \mathbb{R}^3 avente densità volumica \delta \colon D \rightarrow [0, + \infty), le coordinate del centro di massa si ottengono con le versioni integrali di tali relazioni:

(2)   \begin{equation*} x_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D x \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D x \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} y_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D y \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D y \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} z_{\text{cm}}= \frac{1}{m} \iiint_D z \delta (x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z =  \frac{\iiint_D z \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }{\iiint_D\delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z }, \end{equation*}

dove con m=\iiint_D \delta(x,y,z)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z si è indicata la massa totale del corpo D. Nel caso in cui il corpo è supposto omogeneo, ossia in cui \delta è una funzione costante, essa si semplifica dal calcolo e le formule risultanti coinvolgono soltanto le proprietà geometriche di D, senza alcun riferimento alla sua massa. Chiaramente, a volte il corpo in esame possiede delle proprietà geometriche particolari, ad esempio può essere costituito da una lastra piana sottile o da un’asta sottile, riducendo il calcolo delle coordinate del centro di massa alla risoluzioni rispettivamente di integrali doppi o di superficie, oppure integrali semplici o di linea.  

Il momento d’inerzia è la misura quantitativa dell’inerzia rotazionale di un corpo, ossia la resistenza che un corpo oppone a un’alterazione della propria velocità rotazionale ad opera di un momento esterno. Tale ruolo, evidente nella legge della dinamica rotazionale

(5)   \begin{equation*} M^{\text{ext}}=I \alpha, \end{equation*}

dove M^{\text{ext}} è il momento risultante delle forze esterne applicate, e \alpha è l’accelerazione angolare del corpo considerato, è molto simile al ruolo della massa nella seconda legge della dinamica (la resistenza che un corpo oppone ad un’alterazione della propria velocità lineare)

(6)   \begin{equation*} \vec{F}=m\vec{a}, \end{equation*}

dove \vec{F} è la forza risultante, e \vec{a} è l’accelerazione. Il momento d’inerzia di un sistema di punti materiali è dato da

(7)   \begin{equation*} I=\sum^N_{i=1}m_ir^2_i. \end{equation*}

Per un corpo solido relativo ad un dominio D \subset \mathbb{R}^3 avente densità \delta \colon D \rightarrow [0,+\infty), e dato un asse \sigma \subset \mathbb{R}^3, il momento d’inerzia di D rispetto a \sigma è pari a

(8)   \begin{equation*} I= \int_D \delta(x,y,z) r^2_\sigma (x,y,z)\  \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z, \end{equation*}

dove r^2_\sigma (x,y,z) è il quadrato della distanza del punto (x,y,z) dall’asse \sigma. Se il corpo è costituito da un oggetto sottile assimilabile a una superficie oppure a una curva, l’integrale precedente viene convenientemente scritto come un integrale di superficie o curvilineo, scegliendo un’opportuna parametrizzazione della stessa. Gli esercizi seguenti mirano ad applicare le idee qui descritte, esplorando una sufficiente varietà di situazioni in cui alcune semplificazioni rendono il calcolo più efficiente e immediato.  


Possiamo ora presentare la soluzione dell’esercizio.

Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy in modo che l’asse di simmetria della barretta coincida con l’asse x e il centro della circonferenza su cui giace la stessa coincida con O, come rappresentato nella figura data. In tale sistema di coordinate, i punti della barretta sono rappresentati in coordinate polari da:

(9)   \begin{equation*} (x,y)=(a\cos \theta, a \sin \theta), \ \ \ \ \ \ \ \forall \theta \in [-\alpha,\alpha]. \end{equation*}

Indicando con \gamma la curva su cui giace la barretta e \lambda=\frac{m}{2a\alpha} la densità lineare (costante) della stessa, si ha

(10)   \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}=\frac{ \int_\gamma \vec{r}\, \mathrm{d}m}{\int_\gamma \mathrm{d}m}=\frac{ \int_{-\alpha}^{\alpha} (a\, \hat{x} \cos \theta + a\, \hat{y} \sin \theta) a \lambda\, \mathrm{d}\theta}{\int_{-\alpha}^{\alpha} a \lambda\, \mathrm{d}\theta}=\dfrac{a}{2\alpha} \int_{-\alpha}^{\alpha} ( \hat{x} \cos \theta +  \hat{y} \sin \theta)\,\mathrm{d}\theta=\dfrac{a}{2\alpha} \left[\sin \theta\right]^\alpha_{-\alpha}, \end{equation*}

dove \hat{x} e \hat{y} rappresentano i versori relativi agli assi x e y; nella seconda uguaglianza abbiamo usato dm = a\lambdad\theta, nella terza abbiamo semplificato il fattore a\lambda e nella quarta abbiamo usato che la funzione sin è dispari e dunque il suo integrale su [-\alpha,\alpha] è nullo. Risolvendo, si ottiene quindi

(11)   \begin{equation*} \vec{r}_{\text{cm}}=\left(\frac{a}{\alpha}\sin \alpha,  0\right).\end{equation*}

Al fine di determinare il momento d’inerzia, consideriamo in figura 6a seguente il vettore posizione \vec{r}' di un qualsiasi punto dell’asta rispetto alla posizione del centro di massa; quest’ultimo, in particolare, sarà tale che

(12)   \begin{equation*} \vec{r}=\vec{r}_{\text{cm}}+\vec{r}\ ', \end{equation*}

da cui segue anche che

(13)   \begin{equation*} \vec{r}\ '=\vec{r}-\vec{r}_{\text{cm}}=a\cos \theta\, \hat{x} + a \sin \theta\, \hat{y} - \frac{a}{\alpha} \sin \alpha\, \hat{x}. \end{equation*}

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Figura 6a: rappresentazione dei vettori posizione indicati nel testo.

  Calcoliamo il quadrato del modulo di \vec{r}\ ', ossia

    \[\begin{aligned} |\vec{r}\ '|^2= &\left(a \cos \theta - \frac{a}{\alpha}\sin \alpha\right)^2 + a^2 \sin^2 \theta \\ & = a^2 \left(1-\frac{2}{\alpha} \cos \theta \sin \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\alpha^2}\right) \\ & = a^2 - 2\frac{a^2}{\alpha}\sin \alpha \cos \theta + \frac{a^2}{\alpha^2} \sin^2\alpha. \end{aligned}\]

Il momento d’inerzia è dato da

(14)   \begin{equation*} I=\int_\gamma |\vec{r}\ '|^2 \mathrm{d}m = \int^{\alpha}_{-\alpha}\left(a^2 - 2\frac{a^2}{\alpha}\sin \alpha \cos \theta + \frac{a^2}{\alpha^2} \sin^2\alpha\right) \lambda a\ \mathrm{d}\theta. \end{equation*}

Il primo e il terzo addendo della funzione integranda sono costanti, mentre il secondo dipende solo da \cos \theta. Dunque il momento d’inerzia è pari a

(15)   \begin{equation*} I=\lambda a^3 \left[ \theta - \frac{2\sin \alpha}{\alpha} \cos \theta + \frac{\sin^2 \alpha}{\alpha^2}\theta\right]^{\alpha}_{-\alpha}=\lambda a^3 \left(2\alpha - \frac{4\sin^2 \alpha}{\alpha}+\frac{2\sin^2  \alpha}{\alpha}\right)=ma^2\left(1-\frac{\sin^2 \alpha}{\alpha^2}\right), \end{equation*}

il momento d’inerzia richiesto vale dunque:

(16)   \begin{equation*} I=ma^2\left(1-\frac{\sin^2\alpha}{\alpha^2}\right). \end{equation*}

Si noti che possiamo determinare il momento d’inerzia anche in un altro modo, più rapido del precedente. Osservando la figura 6b seguente, che ogni elemento infinitesimo di massa \mathrm{d}m si trova sempre alla stessa distanza a da O; calcoliamo allora per prima cosa il momento d’inerzia I_O rispetto ad O:

(17)   \begin{equation*} I_O=\int_\gamma a^2 \mathrm{d}m=a^2 m. \end{equation*}

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Figura 6b: individuazione di un elemento infinitesimo di massa \displaystyle \mathrm{d}m sull’asta.

 

Per il teorema di Huygens-Steiner si ha

(18)   \begin{equation*} I_O=I+m|\vec{r}|^2_{\text{cm}}, \end{equation*}

da cui

(19)   \begin{equation*} ma^2=I+ m\left(\frac{a^2\sin^2 \alpha}{\alpha^2}\right), \end{equation*}

e dunque il risultato precedentemente ottenuto, ossia

(20)   \begin{equation*} I=ma^2\left(1-\frac{\sin^2\alpha}{\alpha^2}\right). \end{equation*}