Il teorema delle contrazioni

Revisore: Valerio Brunetti.  

In queste note ci occupiamo di un noto teorema di analisi matematica: il Teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli, o Teorema delle Contrazioni, un importante strumento nella teoria degli spazi metrici; garantisce l’esistenza e l’unicità di un punto fisso per determinate mappe di spazi metrici su sé stessi, e la sua dimostrazione fornisce un metodo costruttivo per trovarli. Il teorema prende il nome da Stefan Banach (1892-1945) e da Renato Caccioppoli (1904-1959), ed è stato formulato la prima volta da Banach nel 1922. Caccioppoli giungerà autonomamente a questo risultato nel 1931. In breve, il teorema afferma che una contrazione, ovvero una funzione che soddisfa una particolare proprietà, avente come dominio e codominio lo stesso spazio metrico ammette sempre almeno un punto fisso, ovvero un punto che viene mappato in sé stesso. Inoltre, se lo spazio metrico è completo, il punto fisso è unico. Ricordiamo che è possibile immaginare una funzione che mappa un insieme in sé stesso come una trasformazione spaziale dell’insieme. In quest’ottica, il teorema afferma che dato uno spazio metrico e una contrazione su di esso, allora esiste almeno un punto che non viene spostato dalla trasformazione e che rimane dunque fermo nella sua posizione iniziale. Tra i vari risultati notevoli circa l’esistenza di punti fissi citiamo solamente il teorema del punto fisso di Brouwer, il quale permette, ad esempio, di dimostrare che ci sono almeno due punti sulla terra con la stessa temperatura, oppure che mescolando una tazzina di caffè ci sarà almeno un punto che si trova nella stessa posizione iniziale. Nel seguito lavoriamo prima con uno spazio metrico semplice, ovvero l’insieme dei numeri reali. Gli enunciati e le relative dimostrazioni date in termini di valore assoluto saranno poi generalizzate utilizzando la nozione di distanza negli spazi metrici.