Il teorema delle contrazioni: teoria
Dimostrazione del teorema delle contrazioni scaricabile.
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Descrizione
In questo articolo è possibile scaricare la dimostrazione del teorema delle contrazioni. La costante di Lipschitz di una funzione 
misura quanto essa dilati le distanze tra i punti di 
. Quando questa costante è minore di 1, la funzione riduce le distanze e si chiama \emph{contrazione}. Applicando 
ripetutamente a un punto iniziale 
, la successione tende a \emph{stabilizzarsi}. Se è un insieme chiuso, questa successione converge a un punto 
, che è un \emph{punto fisso}, ovvero 
. Questo punto fisso è unico.
Il Teorema delle Contrazioni
Il teorema delle contrazioni, elaborato da Stefan Banach (1892–1945) e Renato Caccioppoli (1904–1959), formalizza questa proprietà. Questo criterio risulta fondamentale per determinare l’esistenza di punti fissi in spazi metrici.
Dimostrazione e Generalizzazione
In questo articolo troverai una dimostrazione costruttiva del teorema e una sua leggera generalizzazione. Approfondisci questo potente strumento dell’Analisi Matematica scaricando il file!
Autori e revisori
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Revisore: Valerio Brunetti.
Il teorema delle contrazioni: introduzione
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In queste note ci occupiamo di un noto teorema di analisi matematica: il Teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli, o Teorema delle Contrazioni, un importante strumento nella teoria degli spazi metrici; garantisce l’esistenza e l’unicità di un punto fisso per determinate mappe di spazi metrici su sé stessi, e la sua dimostrazione fornisce un metodo costruttivo per trovarli. Il teorema prende il nome da Stefan Banach (1892-1945) e da Renato Caccioppoli (1904-1959), ed è stato formulato la prima volta da Banach nel 1922. Caccioppoli giungerà autonomamente a questo risultato nel 1931. In breve, il teorema afferma che una contrazione, ovvero una funzione che soddisfa una particolare proprietà, avente come dominio e codominio lo stesso spazio metrico ammette sempre almeno un punto fisso, ovvero un punto che viene mappato in sé stesso. Inoltre, se lo spazio metrico è completo, il punto fisso è unico. Ricordiamo che è possibile immaginare una funzione che mappa un insieme in sé stesso come una trasformazione spaziale dell’insieme. In quest’ottica, il teorema afferma che dato uno spazio metrico e una contrazione su di esso, allora esiste almeno un punto che non viene spostato dalla trasformazione e che rimane dunque fermo nella sua posizione iniziale.
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