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Derivate: teoria

Derivate

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La nozione di derivata è una delle più importanti dell’Analisi Matematica. Essa formalizza l’idea intuitiva di “tasso di variazione puntuale” di una funzione. Infatti, la derivata f'(x_0) esprime il rapporto tra la variazione di f(x) e quella di x per dei valori x “molto vicini a x_0”.

Questo strumento possiede applicazioni nella descrizione di quasi tutti i fenomeni in cui sia necessario quantificare l’evoluzione di una grandezza in funzione di un’altra, risultando dunque onnipresente nelle scienze naturali e applicate.

Questa dispensa è un’approfondita risorsa per chiunque sia interessato a comprendere i fondamenti sulle derivate, che si focalizza sui seguenti punti fondamentali:

  • Cosa sono il rapporto incrementale e la derivata e qual è il loro significato geometrico?
  • Quale relazione esiste tra continuità e derivabilità?
  • Quali sono le principali regole di derivazione e come si calcolano le derivate delle funzioni elementari?
  • Punti di non derivabilità e loro classificazione;
  • Quali relazioni esistono tra segno della derivata e monotonia di una funzione?
  • Derivate di ordine superiore e convessità.

Il testo è ulteriormente arricchito da esempi pratici, grafici ed esercizi svolti. Si rivela dunque un eccellente punto di partenza per studenti e appassionati che vogliono esplorare questo argomento essenziale.

Consigliamo la lettura delle seguenti risorse di esercizi sulle derivate:

Seganliamo inoltre il seguente materiale su argomenti di teoria collegata, di cui è possibile reperire un’esaustiva lista alla fine dell’articolo:

 

Autori e revisori

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Autori: Jacopo Garofali

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri.


 
 

Prerequisiti

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In queste note si presuppone la conoscenza di alcuni concetti di base dell’analisi matematica, in particolare del concetto di funzione, di limite e di continuità di una funzione.

 
 

Notazioni

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\mathbb{N}=\{ 0,1, \dots \}      Insieme dei numeri naturali;
\mathbb{Z}      Insieme dei numeri interi relativi;
\mathbb{R}      Insieme dei numeri reali;
r_{f,x_0}(x)      Rapporto incrementale della funzione f in un punto x_0;
\Delta x      Incremento della variabile indipendente;
\Delta f (x_0)      Incremento della funzione f in un punto x_0 relativo all’incremento \Delta x;
f^\prime ( risp. \dfrac{df}{dx},\quad \dfrac{d}{dx}f,\quad Df)      Derivata prima della funzione f;
-A=\{ -x\colon x \in A \}      Insieme simmetrico di A \subset \mathbb{R} rispetto lo 0;
|f|      Modulo della funzione f.


 
 

Introduzione

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Il concetto di derivata è uno dei cardini dell’analisi matematica. Esso fu sviluppato all’inizio del XVIII secolo da Sir Isaac Newton (1642 – 1727) e da Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716). Il significato pratico di derivata è il tasso di variazione di una certa grandezza presa in considerazione. Un esempio concreto è la variazione della posizione di un oggetto rispetto al tempo: la velocità istantanea. Il concetto di derivata ha applicazioni in svariate discipline come in fisica, in ingegneria e in generale dovunque si cerchi la variazione istantanea di una certa grandezza presa in considerazione.

Nel primo capitolo di questa dispensa introduciamo il concetto di derivata prima di una funzione. Nel secondo capitolo esponiamo le principali tecniche per calcolare la derivata di una funzione. Il terzo capitolo è dedicato allo studio delle proprietà della derivata prima. Il quarto capitolo presenta il concetto di derivata di ordine superiore di una funzione e intende descrivere le principali proprietà della derivata seconda di una funzione. Il quinto e ultimo capitolo è una raccolta di esercizi svolti in cui si guida il lettore in maniera graduale verso l’applicazione delle regole di calcolo esposte nel secondo capitolo.


 
 

Il calcolo differenziale

Definizione di rapporto incrementale.

Supponiamo di avere una funzione che rappresenta la posizione di un punto materiale su una retta al variare del tempo. Sull’asse delle ascisse abbiamo il tempo, sulle asse delle ordinate troviamo la posizione del punto materiale sulla retta. Ci si può chiedere la variazione di posizione in un certo arco di tempo, quella che comunemente viene chiamata velocità media. Supponiamo quindi che un punto materiale si trovi al tempo t_0 nella posizione s(t_0) e che al tempo t_0 + \Delta t si trovi nella posizione s(t_0 + \Delta t). Lo spazio percorso nell’intervallo temporale (t_0,t_0+\Delta t) di ampiezza \Delta t è

\[\Delta s \coloneqq s(t_0+\Delta t)-s(t_0).\]

Definiamo dunque la velocità media (in una qualche unità di misura non specificata) del punto materiale nell’intervallo di tempo (t_0,t_0+\Delta t) come il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato per percorrere un tale spazio, ovvero

\[\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t} =\frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}.\]

Data una qualunque funzione y=f(x), è facile generalizzare quanto appena visto nella seguente definizione.

\[\quad\]

Definizione 1.1 (rapporto incrementale). Siano f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}, x_0\in A. Si definisce rapporto incrementale di f in x_{0} la funzione r_{f,x_0}\colon A \setminus \{ x_0 \} \to \mathbb{R} data da

\[r_{f,x_0}(x)=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_0}.\]

\[\quad\]

Il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta secante al grafico della funzione f passante per i punti (x_0,f(x_0)) e (x,f(x)).

Osservazione 1.2. Nella pratica spesso si utilizza un cambio di variabile, ovvero si riscrive il rapporto incrementale in funzione dell’incremento \Delta x= x-x_0, sostituendo cioè x=x_0+\Delta x nell’espressione data sopra. Siano f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}, x_0\in A. Supponendo che esista \delta >0 tale per cui se |\Delta x| < \delta si ha x_0+\Delta x \in A, possiamo definire la funzione \tilde{r}_{f,x_0}\colon (-\delta,\delta) \to \mathbb{R} data da

\[\tilde{r}_{f,x_0}(\Delta x)=r_{f,x_0}(x_0+\Delta x)=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x},\]

detta anch’essa rapporto incrementale di f in x_{0}. Spesso per brevità si è soliti denotare con h l’incremento. Segnaliamo inoltre, in analogia con l’esempio della velocità media, la notazione

\[\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]

per indicare il rapporto incrementale in x.

\[\quad\]

\[\quad\]

\[\quad\]

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\[\quad\]

\[\quad\]

Figura 1: Rappresentazione grafica del rapporto incrementale come coefficiente angolare della retta secante passante per (x_0,f(x_0)) e (x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x)). Per \Delta x abbastanza piccolo tale retta approssima la retta tangente al grafico di f nel punto (x_0,f(x_0)) (tratteggiata in blu).

Il dominio di definizione del rapporto incrementale non è particolarmente rilevante. Quello che ci interessa veramente è il comportamento di questa funzione in un intorno (destro, sinistro o circolare) sufficientemente piccolo di x_0.


Definizione di derivata.

Diamo ora la definizioni di derivata, cf. [2, definizione 7.3]. Rimandiamo inoltre il lettore alla lettura di [1], [3] o del classico [4].

Definizione 1.3 (derivabilità). Siano f\colon A\subseteq\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e x_{0} \in A un punto di accumulazione per A. Si dice che f è derivabile in x_{0} se esiste finito il limite del rapporto incrementale:

(1) \begin{equation*} f'(x_{0})=\lim_{x \to x_0} r_{f,x_0}(x)=\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_0}. \end{equation*}

Se f è derivabile in x_0 allora il valore f'(x_{0}) viene detto derivata di f in x_0.

\[\quad\]

La derivata f'(x_0) rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto (x_0,f(x_0)). Spesso si utilizza il cambio di variabile introdotto in precedenza e si definisce in maniera equivalente

\[f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.\]

Graficamente si intuisce che facendo tendere l’incremento \Delta x a zero, il valore f(x_{0}+\Delta x) si avvicina a f(x_{0}); in questo modo la retta secante tende alla retta tangente al grafico di f nel punto (x_{0}, f(x_0)).

Definizione 1.4 (retta tangente). Siano f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} e x_0\in A un punto di accumulazione per A. Una retta di equazione y=mx+q si dice retta tangente al grafico di f nel suo punto (x_0,f(x_0)) se si ha

(2) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-mx-q}{x-x_0}=0. \end{equation*}

Inoltre, se f è continua in x=x_0 e il limite del rapporto incrementale esiste me è infinito, diremo che la retta di equazione x=x_0 è retta tangente verticale al grafico di f nel punto (x_0,f(x_0)).

\[\quad\]

Osservazione 1.5. Si vede facilmente che la retta che soddisfa (2), se esiste, è unica e diremo che essa rappresenta la migliore approssimazione lineare al grafico di f nell’intorno del punto (x_0,f(x_0)). Notiamo che dalla definizione 1.4 si deduce che f è derivabile in x_0 se e solo se esiste la retta tangente al grafico di f nel suo punto (x_0,f(x_0)) e inoltre che questa ha equazione

\[\boxcolorato{analisi}{{ y= f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). }}\]

Infatti, sostituendo la (3) in (2) abbiamo

\[\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-(f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0))}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0}\left( \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}- f'(x_0) \right)=0.\]

\[\quad\]

Definizione 1.6 (funzione derivata prima). Sia A \subseteq \mathbb{R} e sia f\colon A \to \mathbb{R} una funzione. Diciamo che f è derivabile in A se è derivabile in x_0 per ogni x_{0} \in A. In questo caso viene ad essere definita una nuova funzione, la funzione derivata prima

\[f'\colon A \to \mathbb{R},\]

che assegna ad ogni punto x\in A la derivata f'(x) della funzione f in tale punto.

\[\quad\]

Le notazioni utilizzate in letteratura per la funzione derivata sono varie; riportiamo di seguito le più comuni:

\[f^\prime,\quad \dfrac{df}{dx},\quad \dfrac{d}{dx}f,\quad Df.\]

Quando, più in generale, il punto x_0 nella definizione 1.3 è soltanto un punto di accumulazione destro o sinistro per A, possiamo parlare di derivata destra f_{+}^{\prime}(x_{0}) o di derivata sinistra f_{-}^{\prime}(x_{0}) di f in x_{0}, che corrispondono rispettivamente al limite destro e al limite sinistro del rapporto incrementale.

\[\quad\]

Definizione 1.7 (derivata destra e sinistra). Sia f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} una funzione. Supponiamo che x_0 \in A sia un punto di accumulazione a destra per A. Se esiste finito il seguente limite

(3) \begin{equation*} f^\prime_+(x_0)=\lim_{h\to 0^+}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \end{equation*}

allora f si dice derivabile a destra in x_0 e (3) si definisce derivata destra di f in x_0. Analogamente, supponiamo che x_0 \in A sia un punto di accumulazione a sinistra per A. Se esiste finito il seguente limite

(4) \begin{equation*} f^\prime_-(x_0)=\lim_{h\to 0^-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \end{equation*}

allora f si dice derivabile a sinistra in x_0 (4) si definisce derivata sinistra di f in x_0.

\[\quad\]

Notiamo che f è derivabile in x_{0} se e solo se f ammette derivata destra e sinistra e queste due coincidono.

Notazione 1.8. Nell’ipotesi in cui i limiti (3) o (4) esistano ma siano infiniti, useremo la notazione f^\prime_+(x_0)=\pm\infty e f^\prime_-(x_0)=\pm\infty.

\[\quad\]

Definizione 1.9 (funzione di classe C^1). Data una funzione f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} derivabile in A, se la funzione derivata prima f'\colon A \to \mathbb{R} risulta essere continua in A, si dice che f è di classe C^1 in A e si scrive f\in C^1(A).

\[\quad\]

Presentiamo di seguito alcuni esempi.

Esempio 1.10. Sia f\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^3+4x+1. Dimostriamo che f è derivabile e determiniamo l’espressione della derivata applicando la definizione.

Sia x \in \mathbb{R}. Applicando la definizione di derivata si ha

\begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^3 + 4(x+h)+1 - (x^3+4x+1)}{h} =\\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{x^3}+h^3+3hx^2+3xh^2 + \cancel{4x}+4h+\cancel{1} - \cancel{x^3}-\cancel{4x}-\cancel{1}}{h} = \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{h^3+3hx^2+3xh^2 +4h}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}(h^2+3x^2+3xh+4)}{\cancel{h}} = 3x^2+4. \end{aligned} \end{equation*}

Quindi, \forall x \in \mathbb{R}

\[\boxcolorato{analisi}{{ f^\prime(x) = 3x^2+4. }}\]

Esempio 1.11. Sia f\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^2-1. Dimostriamo che f è derivabile e determiniamo l’espressione della derivata applicando la definizione.

Sia x \in \mathbb{R}. Applicando la definizione di derivata si ha

(5) \begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^2-1-(x^2-1)}{h} = \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{x^2}+h^2+2hx-\cancel{1}-\cancel{x^2}+\cancel{1}}{h} = \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{h^2+2hx}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}(h+2x)}{\cancel{h}} = 2x. \end{aligned} \end{equation*}

Quindi, \forall x \in \mathbb{R}

\[\boxcolorato{analisi}{{ f^\prime(x) = 2x. }}\]

Esempio 1.12. Sia f\colon\mathbb{R}\setminus \{ 0 \}\rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \dfrac{1}{x}. Dimostriamo che f è derivabile e determiniamo l’espressione della derivata applicando la definizione.

Sia x \in \mathbb{R}\setminus \{ 0 \}. Applicando la definizione di derivata si ha:

(6) \begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{(x+h)}-\dfrac{1}{x}}{h} = \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{x}- \cancel{x}-h}{hx(x+h)} = -\frac{1}{x^2}. \end{aligned} \end{equation*}

Quindi, \forall x \in \mathbb{R}\setminus \{ 0 \}

\[\boxcolorato{analisi}{{ f^\prime(x) = -\frac{1}{x^2}. }}\]


Relazioni tra derivabilità e continuità.

Vediamo adesso che relazioni ci sono tra la derivabilità e la continuità di una funzione. Seguendo l’intuito possiamo già capire che, se una funzione non è continua in un punto, allora potrebbe non essere derivabile in quel punto: pensiamo ad esempio ad un punto di discontinuità “di salto”, non sembra possibile parlare di retta tangente in quel punto.

\[\quad\]

Proposizione 1.13. Sia f\colon A\subseteq\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} una funzione derivabile in x_{0} \in A. Allora f è continua in x_{0}.

\[\quad\]

Dimostrazione. Per x \neq x_0 riscriviamo f(x) come segue:

\begin{equation*} \begin{split} f(x) & = f(x_{0}) \ + \ f(x) - f(x_{0}) \\ & = f(x_{0}) \ + \underbrace{\frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}}}_\text{rapporto incrementale} (x-x_{0}). \end{split} \end{equation*}

Quindi passando al limite per x \to x_{0} ad entrambi i membri dell’equazione, il rapporto incrementale tende a f'(x_{0}) \in \mathbb{R}, mentre (x-x_{0}) tende a 0 e quindi il loro prodotto tende a 0; dunque f(x) tende a f(x_{0}), che è quello che dovevamo dimostrare.

Viene naturale chiedersi se vale l’implicazione inversa, cioè se una funzione continua in un punto è derivabile in quel punto. La risposta è negativa, e per dimostrare questo fatto proponiamo un controesempio.

Esempio 1.14 (funzione continua e non derivabile in un punto). Consideriamo la funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=|x| e notiamo che essa è continua su tutto \mathbb{R}. Vogliamo mostrare che f non è derivabile in x_0=0. Infatti, abbiamo

\[f'_+(0)=\lim_{x \to 0^+} \dfrac{|x|-0}{x-0}=\lim_{x \to 0^+} \dfrac{x}{x}=1,\]

mentre

\[f'_-(0)=\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|x|-0}{x-0}=\lim_{x \to 0^-} \dfrac{-x}{x}=-1.\]

Concludiamo che la funzione è derivabile a destra e a sinistra in x_0=0, ma non è derivabile in x_0=0, poiché i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale non coincidono.

Nell’esempio precedente abbiamo visto una funzione che è derivabile a destra e a sinistra, ma che non è derivabile. Esistono anche versioni più “patologiche” di funzioni continue ma non derivabili in un punto. Nel prossimo esempio mostreremo una funzione per cui non esiste nè il limite destro nè il limite sinistro del rapporto incrementale.

Esempio 1.15. Sia f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} la funzione definita da

\[ f(x) = \begin{cases} x\sin \left( \dfrac{1}{x} \right), &\quad\text{se } \ x \neq 0;\\ 0, &\quad\text{se } x = 0.\\ \end{cases} \]

La funzione è continua su \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} in quanto composizione di funzioni continue. Inoltre, è continua in 0 perchè \left\vert x\sin \left( \dfrac{1}{x} \right) \right\vert \leq |x| e quindi \lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0) per il teorema del confronto. Mostriamo adesso che il limite per x \to 0 del rapporto incrementale di f non esiste:

\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} \ = \ \lim_{x \to 0} \dfrac{x\sin \left( \dfrac{1}{x} \right) - 0}{x} \\ = \ \lim_{x \to 0} \sin \left( \dfrac{1}{x} \right). \end{equation*}

Si dimostra facilmente che tale limite non esiste e quindi f non è derivabile in 0.

Abbiamo quindi mostrato con questi due esempi e con la proposizione 4.9 che la continuità è una condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità.

Osservazione 1.16. Supponiamo che ci venga richiesto di determinare se una funzione f sia derivabile in un punto x_0 del proprio dominio. Se notiamo che in tale punto non è continua, possiamo concludere che la funzione non è derivabile in tale punto per la proposizione 4.9.

Osservazione 1.17. La proposizione 4.9 si generalizza facilmente come segue: se f è derivabile da destra o da sinistra in un punto x_0 del suo dominio allora f è continua da destra o da sinistra in x_0. La dimostrazione è analoga ed è lasciata al lettore.


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