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Il teorema dei valori intermedi

Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane

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La nozione di funzione continua formalizza l’idea di una funzione il cui grafico sia appunto costituito da una linea senza interruzioni. Il teorema dei valori intermedi esprime una proprietà delle funzioni continue che sembra tanto ovvia da non meritare neppure una dimostrazione: se una linea continua possiede dei punti in entrambi i semipiani divisi da una retta, allora essa dovrà necessariamente attraversare la retta.

Questa semplice proprietà possiede innumerevoli applicazioni a problemi pratici dell’ingegneria e della fisica, ad esempio l’esistenza di soluzioni di varie equazioni che non risultano determinabili in maniera esplicita.

In questo articolo mostreremo il teorema basandoci sul teorema di esistenza degli zeri; vedremo inoltre alcune proprietà equivalenti a quella dei valori intermedi; mostreremo infine che la proprietà dei valori intermedi, pur essendo una conseguenza della continuità, non è ad essa equivalente.

Se desideri scoprire tutti i risvolti di questo affascinante campo dell’Analisi Matematica, questo è l’articolo che cercavi!

Oltre agli

segnaliamo il materiale di teoria su argomenti affini, estratto dall’esaustiva lista reperibile alla fine dell’articolo:

Autori e revisori

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Autori: Daniele Fakhoury, Luigi De Masi, Silvia Lombardi, Giuseppe Palaia.  

Revisori: Valerio Brunetti, Sara Sottile , Sergio Fiorucci, Matteo Talluri, Chiara Bellotti.  

 

Introduzione

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Il teorema dei valori intermedi è una generalizzazione del teorema di esistenza degli zeri [2, Funzioni continue, teorema 5.3]; esso afferma che una funzione f continua su un intervallo [a,b] assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b).

L’intuizione dietro questo teorema è che, tracciando una linea continua che cominci da una parte di una retta e termini dall’altra, la linea deve attraversare la retta. Qui la retta è quella orizzontale di equazione y=c, con c il valore compreso tra f(a) e f(b) che si vuole che f assuma.

Il risultato principale di questo articolo, il teorema dei valori intermedi, è quindi la formalizzazione di questa idea intuitiva.

Teorema 1 (dei valori intermedi). Sia I\subset \mathbb{R} un intervallo e sia f\colon I \to \mathbb{R} una funzione continua. Siano

\[m = \inf_I f, \qquad M = \sup_I f\]

l’estremo inferiore e l’estremo superiore dei valori assunti da f in I, rispettivamente.1

Allora per ogni c \in (m, M) esiste x_0 \in I tale che f(x_0) = c. In altri termini la funzione assume tutti i valori compresi tra m e M.

 

Quindi, non soltanto f assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b), ma tutti quelli compresi tra il suo estremo inferiore m e il suo estremo superiore M. m e M possono appartenere o meno all’immagine di f.

Un modo sostanzialmente equivalente per esprimere il teorema dei valori intermedi consiste nel dire che l’immagine tramite una funzione continua di un intervallo è un intervallo. Lo presentiamo come corollario del teorema 1.

 

Corollario 2. Sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione continua e sia I \subseteq A un intervallo. Allora f (I) è un intervallo.

 

Il lavoro è così organizzato: nella sezione 1 presentiamo le definizioni e i risultati necessari alla trattazione che segue. Nella sezione 2 dimostriamo il teorema 1 e il corollario 2. Nella sezione 3 presentiamo un esempio di applicazione del teorema 1 al calcolo dell’immagine di una funzione, mentre nella sezione 4 mostriamo, con un esempio, che la proprietà dei valori intermedi non è equivalente alla continuità.

   

\[\]

  1. Si veda [1, Teoria sulle funzioni, sezione 2.8] per la definizione di estremi inferiore e superiore di una funzione e una trattazione completa dell’argomento.. ↩

 

Risultati preliminari

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In questa sezione richiamiamo, per comodità del lettore, il teorema di esistenza degli zeri. Rimandiamo a [2, Funzioni continue, sezione 5.2] per due dimostrazioni di questo risultato.

Teorema 3 (teorema di esistenza degli zeri). Sia f\colon [a,b]\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione continua e si supponga che f(a)\cdot f(b) < 0. Allora esiste x_0\in \left(a,b\right) tale che f(x_0)=0.

 

In altre parole, se una funzione f \colon [a,b] \to \mathbb{R} continua assume valori di segno opposto agli estremi dell’intervallo (la condizione f(a)\cdot f(b) < 0 esprime proprio questo), allora f assume il valore 0.

 

Dimostrazione del teorema dei valori intermedi

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