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Continuità della funzione inversa

Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane

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La possibilità di invertire le funzioni è di fondamentale importanza nella matematica. Risulta dunque naturale chiedersi quali proprietà di una funzione si “trasferiscano” alla sua inversa. In questo articolo ci dedichiamo alla continuità: mostriamo che, se una funzione invertibile è continua, allora la sua inversa è una funzione continua.

Questo semplice risultato consente di stabilire facilmente la continuità di tutte le funzioni elementari ottenute mediante inversione di funzioni continue: radici, logaritmi, funzioni trigonometriche inverse sono gli esempi più importanti.

Il testo analizza questi aspetti, illustrando chiaramente e in maniera essenziale il teorema e le sue applicazioni. Vedremo come l’invertibilità di una funzione continua implichi la sua monotonia, immergendoci nel mondo affascinante delle proprietà delle funzioni.

Se desideri scoprire nel dettaglio questi argomenti, non ti resta che leggere questo articolo!

Oltre agli

segnaliamo il materiale di teoria su argomenti affini, estratto dall’esaustiva lista reperibile alla fine dell’articolo:

 

Autori e revisori

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Autori: Daniele Fakhoury, Luigi De Masi, Silvia Lombardi, Giuseppe Palaia.  

Revisori: Valerio Brunetti, Sara Sottile, Sergio Fiorucci, Matteo Talluri, Chiara Bellotti.  

 

Introduzione

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L’invertibilità delle funzioni è un argomento chiave nella teoria e soprattutto nelle applicazioni della Matematica. Infatti, data un’equazione nella variabile x della forma f(x)=c, determinare l’esistenza di soluzioni dell’equazione è in un certo senso equivalente a determinare la suriettività della funzione f. Provare l’eventuale unicità delle soluzioni consiste in qualche modo a provare l’iniettività di f.

In poche parole, lo studio completo dell’equazione f(x)=c, al variare del parametro c, è equivalente allo studio dell’invertibilità della funzione f: l’eventuale unica soluzione x è data da x=f^{-1}(c).

Ci si può quindi chiedere, ulteriormente, se la soluzione x varia con continuità al variare del dato iniziale c. Come si può intuire, ciò è legato alla continuità della funzione inversa f^{-1}.

Queste considerazioni sono già di per sé sufficienti a giustificare gli sforzi nel determinare criteri nell’invertibilità di funzioni e nello studio dell’eventuale continuità della funzione inversa f^{-1}.

Poiché solitamente l’iniettività di una funzione continua su un intervallo discende dalla sua stretta monotonia (vedremo nel lemma 2 che in questo caso le due condizioni sono equivalenti), mentre la sua suriettività può essere facilmente studiata grazie al teorema dei valori intermedi, risulta relativamente semplice stabilire l’invertibilità di tali funzioni.

Una volta provata l’esistenza di f^{-1}, è naturale quindi chiedersi se essa possieda delle proprietà di continuità. Il risultato principale di questo articolo risponde a tale questione stabilendo la continuità della funzione inversa di una funzione continua tra intervalli.

Teorema 1 (continuità della funzione inversa). Siano I,J \subseteq \mathbb{R} intervalli e sia f\colon I \to J una funzione continua e invertibile; allora f^{-1} è continua.

 

Osserviamo che questo risultato è caratteristico della struttura per così dire “unidimensionale” dei numeri reali. Infatti, esso si basa sul prossimo lemma, che stabilisce un legame tra monotonia e iniettività di una funzione continua su un intervallo.

Lemma 2. Sia I \subseteq \mathbb{R} un intervallo e sia f \colon I \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f è iniettiva se e solo se è strettamente monotona, schematicamente:1

(1) \begin{equation*} f \text{ iniettiva} \iff f \text{ strettamente monotona.} \end{equation*}

 

Osserviamo che un’implicazione è banale e non richiede la continuità di f: ogni funzione strettamente monotona è ovviamente iniettiva, mentre in generale il viceversa è falso. Per una funzione continua definita su un intervallo, però, tale implicazione si può invertire e vale quindi l’equivalenza stabilita dal lemma 2.

Possiamo quindi considerare questo lemma come un criterio preliminare di invertibilità per funzioni continue definite su un intervallo. Infatti, la stretta monotonia è in generale più semplice da verificare rispetto all’iniettività; costituisce quindi un vantaggio potersi limitare a testare la prima rispetto alla seconda.

Il lavoro è così organizzato: nella sezione 1 presentiamo le definizioni e i risultati necessari alla trattazione che segue. Nella sezione 2 dimostriamo il lemma 2 e teorema 1, mentre nella sezione 3 utilizziamo gli strumenti teorici costruiti per dimostrare l’esistenza e la continuità delle inverse di alcune funzioni elementari: le radici n-esime, i logaritmi e le funzioni trigonometriche inverse.

 

   

\[\]

  1. Si veda [Teoria delle funzioni, sezione 2.9] per una trattazione completa sulla monotonia delle funzioni. ↩

 

Risultati preliminari

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Uno dei risultati che utilizziamo è il teorema dei valori intermedi [2, Funzioni continue, teorema 5.9]; esso afferma che una funzione f continua su un intervallo [a,b] assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b).

Teorema 3 (dei valori intermedi). Sia f\colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua e sia c un valore compreso tra f(a) e f(b). Allora esiste x_0 \in [a,b] tale che f(x_0) = c.

 

Dimostrazione del teorema 1

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In questa sezione dimostriamo prima il lemma 2, che utilizzeremo poi nella dimostrazione del teorema 1.

Lemma 2.

   

 

Figura 1: rappresentazione del fatto che, se f(a)<f(b) e x_0 \in (a,b), allora f(x_0)< f(b). Infatti, se valesse la disuguaglianza opposta, allora esisterebbero x_1,x_2 distinti e tali che f(x_1)=f(x_2), contraddicendo l’iniettività di f.

   

Dimostrazione del lemma 2. Chiaramente, se f è strettamente monotona, essa è iniettiva. Nella restante parte della dimostrazione, proviamo quindi l’implicazione inversa, assumendo cioè che f sia iniettiva e provando che essa è strettamente monotona.

Sia a,b \in I con a < b e supponiamo che f(a) < f(b). Mostreremo che f è crescente in [a,b], che mostrerà poi che f è crescente in I. Se invece f(a)<f(b), in maniera simile si mostra che f è decrescente in I.

Dato x_0 \in (a,b), mostriamo che

(2) \begin{equation*} f(a) < f(x_0) < f(b). \end{equation*}

Infatti, se fosse f(x_0)> f(b), si fissi c \in (f(b),f(x_0)) \subset (f(a),f(x_0)) e, per il teorema 3 applicato agli intervalli (f(a),f(x_0)) e (f(b),f(x_0)), esisterebbero x_1 \in (a,x_0) e x_2 \in (x_0,b) tali che

(3) \begin{equation*} f(x_1)=f(x_2)=c, \end{equation*}

che contraddirebbe l’iniettività di f, si veda la figura 1. Tale contraddizione mostra che f(x_0)<f(b). Analogamente si prova che f(a) <f(x_0).

Scegliendo y \in (a,b) \setminus \{x\}, da (2) e dal ragionamento precedente applicato agli intervalli [a,x] e [x,b] segue che

(4) \begin{equation*} \begin{cases} f(a) < f(y) < f(x) & \text{se } y \in (a,x)\\ f(x) < f(y) <f(b) & \text{se } y \in (x,b). \end{cases} \end{equation*}

In particolare, per l’arbitrarietà di x,y \in (a,b), f è crescente in [a,b].

Se [c,d] \subseteq I è tale che [a,b] \subseteq [c,d], per il ragionamento di sopra f è monotona su [c,d], quindi deve essere crescente. Per l’arbitrarietà dell’intervallo [c,d] \subseteq I, f è crescente in I.


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